高中数学选修高中数学选修2-2第一章第一章 导数及其应用导数及其应用.知知识识网网络络微微积积分分导导数数定定积积分分概概念念运运算算应应用用函数的瞬时变化率函数的瞬时变化率运动的瞬时速度运动的瞬时速度曲线切线的斜率曲线切线的斜率基本初等函数求导基本初等函数求导导数四则运算法则导数四则运算法则简单复合函数求导简单复合函数求导函数的单调性函数的单调性函数的极值与最值函数的极值与最值曲线的切线曲线的切线变速运动的速度变速运动的速度最优化问题最优化问题定理定理概念概念曲边梯形的面积曲边梯形的面积变力做功变力做功微积分基本定理微积分基本定理基本定理的应用基本定理的应用函数的平均变化率函数的平均变化率运动的平均速度运动的平均速度曲线割线的斜率曲线割线的斜率.要点归纳要点归纳一、导数的概念与运算一、导数的概念与运算1、导数的概念及其几何意义、导数的概念及其几何意义2、基本初等函数的导数、基本初等函数的导数0.要点归纳要点归纳3、导数的运算法则、导数的运算法则4、简单复合函数的导数、简单复合函数的导数设设设设 , , 则复合函数则复合函数则复合函数则复合函数 的导数为的导数为的导数为的导数为.要点归纳要点归纳二、导数的应用二、导数的应用1、讨论函数的单调性、讨论函数的单调性2、求函数的极值与最值、求函数的极值与最值3、解决最优化问题、解决最优化问题函数函数函数函数 y = f(x) y = f(x)在区间在区间在区间在区间(a, b)(a, b)上可导上可导上可导上可导函数函数函数函数 y = f(x) y = f(x)在区间在区间在区间在区间(a, b)(a, b)上单调递上单调递上单调递上单调递增增增增函数函数函数函数 y = f(x) y = f(x)在区间在区间在区间在区间(a, b)(a, b)上单调递上单调递上单调递上单调递减减减减求导求导求导求导单调性单调性单调性单调性极值极值极值极值最值最值最值最值审题审题审题审题建模建模建模建模解模解模解模解模检验检验检验检验答题答题答题答题.要点归纳要点归纳三、定积分及其应用三、定积分及其应用1、定积分的概念、定积分的概念(曲边梯形的面积曲边梯形的面积)2、定积分的性质、定积分的性质, k, k为常数为常数为常数为常数, a, ac cb b= S曲边梯形曲边梯形.要点归纳要点归纳3、微积分基本定理、微积分基本定理(牛顿牛顿-莱布尼兹公式莱布尼兹公式)如果如果如果如果f(x)f(x)是区间是区间是区间是区间a, ba, b上的连续函数上的连续函数上的连续函数上的连续函数, ,且且且且, , 那么那么那么那么4、定积分的应用、定积分的应用(1)(1)(1)(1)定积分几何意义的应用定积分几何意义的应用定积分几何意义的应用定积分几何意义的应用: : : :(2)(2)(2)(2)定积分在物理中的应用定积分在物理中的应用定积分在物理中的应用定积分在物理中的应用: : : :求由几条曲线围成的平面图形的面积求由几条曲线围成的平面图形的面积求由几条曲线围成的平面图形的面积求由几条曲线围成的平面图形的面积. . . . 作变速直线运动的物体所经过的路程作变速直线运动的物体所经过的路程作变速直线运动的物体所经过的路程作变速直线运动的物体所经过的路程S,S,S,S,等于等于等于等于其速度函数其速度函数其速度函数其速度函数v =v(t)v =v(t)v =v(t)v =v(t)在时间在时间在时间在时间a,ba,ba,ba,b上的定积分上的定积分上的定积分上的定积分. . . .即即即即.例题选讲例题选讲例例例例1 1 一个物体在某一受力状态下的位移一个物体在某一受力状态下的位移一个物体在某一受力状态下的位移一个物体在某一受力状态下的位移S S与运动与运动与运动与运动时间时间时间时间 t t 的关系为的关系为的关系为的关系为S = t 3. (1)S = t 3. (1)利用导数的定义求利用导数的定义求利用导数的定义求利用导数的定义求 ; ; (2)(2)求该物体在求该物体在求该物体在求该物体在t =2t =2时的瞬时速度时的瞬时速度时的瞬时速度时的瞬时速度v(2).v(2).(1)(1)(1)(1)(2)(2)(2)(2).例题选讲例题选讲 例例例例2 2 求下列函数的导数求下列函数的导数求下列函数的导数求下列函数的导数: : (1)(1)(1)(1)(2)(2)(2)(2)(3)(3)(3)(3) 例例例例3 3 已知函数已知函数已知函数已知函数 . .(1)(1)(1)(1)求曲线求曲线求曲线求曲线 在点在点在点在点(2,-6)(2,-6)(2,-6)(2,-6)处的切线方程处的切线方程处的切线方程处的切线方程; ; ; ;(2)(2)(2)(2)直线直线直线直线l l l l为曲线为曲线为曲线为曲线 的切线的切线的切线的切线, , , ,且经过原点且经过原点且经过原点且经过原点, , , ,求直线求直线求直线求直线l l l l的方程及切点坐标的方程及切点坐标的方程及切点坐标的方程及切点坐标. . . .(1)(1)(1)(1)(2)(2)(2)(2)(-2,-26)(-2,-26)(-2,-26)(-2,-26)转练习一转练习一转练习一转练习一.例题选讲例题选讲 例例例例4 4 求下列函数的单调区间求下列函数的单调区间求下列函数的单调区间求下列函数的单调区间: : (1)(1)(1)(1)(2)(2)(2)(2)增增增增 减减减减增增增增 减减减减例例例例5 5 求下列函数的极值求下列函数的极值求下列函数的极值求下列函数的极值: : (1)(1)(1)(1)(2)(2)(2)(2)(1)(1)(1)(1)当当当当x =-1x =-1x =-1x =-1时时时时, , , ,有极小值有极小值有极小值有极小值-3;-3;-3;-3;当当当当x =1x =1x =1x =1时时时时, , , ,有极大值有极大值有极大值有极大值- - - -1.1.1.1.(2)(2)(2)(2)当当当当x =0x =0x =0x =0时时时时, , , ,有极小值有极小值有极小值有极小值0;0;0;0;没有极大值没有极大值没有极大值没有极大值. . . .转练习二转练习二转练习二转练习二.例题选讲例题选讲例例例例6 6 计算下列定积分计算下列定积分计算下列定积分计算下列定积分: : (1)(1)(1)(1)(2)(2)(2)(2)知知知知 , , , ,求求求求=22=22=22=22= = = =例例例例7 7 求曲线求曲线求曲线求曲线 及及及及 所围成所围成所围成所围成的平面图形的面积的平面图形的面积的平面图形的面积的平面图形的面积. . 转练习三转练习三转练习三转练习三.练习一练习一1. 1. 函数函数函数函数 的导数是的导数是的导数是的导数是( ).( ).A. B.A. B.C. D.C. D.A2. 2. 曲线曲线曲线曲线y=x3y=x3在点在点在点在点P P处的切线斜率为处的切线斜率为处的切线斜率为处的切线斜率为3, 3, 则点则点则点则点P P的坐的坐的坐的坐标为标为标为标为( ).( ).A. (-2,-8) B. (-1,-1)A. (-2,-8) B. (-1,-1)或或或或(1,1)(1,1)BC. (2,8) D.C. (2,8) D.4. 4. 求下列函数的导数求下列函数的导数求下列函数的导数求下列函数的导数: :(1)(1)(1)(1)(2)(2)(2)(2)(3)(3)(3)(3)回例回例回例回例4 43. 3. 曲线曲线曲线曲线 和和和和 y=x2 y=x2 在它们的交点处的两条切线在它们的交点处的两条切线在它们的交点处的两条切线在它们的交点处的两条切线与与与与x x轴围成的三角形的面积为轴围成的三角形的面积为轴围成的三角形的面积为轴围成的三角形的面积为 . .( (续练习一续练习一) ).练习二练习二1. 1. 求下列函数的单调递减区间求下列函数的单调递减区间求下列函数的单调递减区间求下列函数的单调递减区间: :(1)(1)(1)(1)(2)(2)(2)(2)(3)(3)(3)(3)2. 2. 求函数求函数求函数求函数 在在在在 上的最大上的最大上的最大上的最大值和最小值值和最小值值和最小值值和最小值. .当当当当x=1x=1时时时时, ,函数取最大值函数取最大值函数取最大值函数取最大值 ; ; 当当当当x=0x=0时时时时, ,函数取最小值函数取最小值函数取最小值函数取最小值0.0.( (续练习二续练习二) )3. 3. 用长度为用长度为用长度为用长度为18m18m的钢条围成一个长方体形状的框的钢条围成一个长方体形状的框的钢条围成一个长方体形状的框的钢条围成一个长方体形状的框架要求长方体长与宽的比为架要求长方体长与宽的比为架要求长方体长与宽的比为架要求长方体长与宽的比为2:1,2:1,问该长方体的长、问该长方体的长、问该长方体的长、问该长方体的长、宽、高各为多少时，其体积最大？最大体积是多宽、高各为多少时，其体积最大？最大体积是多宽、高各为多少时，其体积最大？最大体积是多宽、高各为多少时，其体积最大？最大体积是多少？少？少？少？解解解解: : 设长方体的宽为设长方体的宽为设长方体的宽为设长方体的宽为xm, xm, 则长为则长为则长为则长为2xm,2xm,高为高为高为高为(m)(m)(m)(m)(m3)(m3)(m3)(m3) 当当当当x=1x=1x=1x=1时时时时, V(x), V(x), V(x), V(x)取得最大值取得最大值取得最大值取得最大值. . . .则当长方体的则当长方体的则当长方体的则当长方体的长为长为长为长为2m,2m,2m,2m,宽为宽为宽为宽为1m,1m,1m,1m,高为高为高为高为1.5m1.5m1.5m1.5m时体积最大为时体积最大为时体积最大为时体积最大为3m3.3m3.3m3.3m3.回例回例回例回例6 6.练习三练习三1. 1. 计算下列定积分计算下列定积分计算下列定积分计算下列定积分: :(1)(1)(1)(1)(2)(2)(2)(2)2. 2. 假设假设假设假设 , , 则正数则正数则正数则正数mm的值为的值为的值为的值为 . .3.O Ox xy y1 13. 3. 求曲线求曲线求曲线求曲线y=x2y=x2、x x轴与曲线轴与曲线轴与曲线轴与曲线y=x2y=x2在在在在x=1x=1处的切线处的切线处的切线处的切线所围成的平面图形的面积所围成的平面图形的面积所围成的平面图形的面积所围成的平面图形的面积. .