第二节三、反函数的求导法则三、反函数的求导法则 四、复合函数求导法则四、复合函数求导法则 （含幂指函数求导（含幂指函数求导顶起来）顶起来）二、四则运算求导法则二、四则运算求导法则 机动 目录 上页 下页 返回 结束 导数的计算 第二章 一、定义求导一、定义求导五、隐函数的导数（含幂指函数求导五、隐函数的导数（含幂指函数求导取对数）取对数）六、由参数方程确定的函数的导数六、由参数方程确定的函数的导数 七、高阶导数七、高阶导数思路思路:(定义式定义式 )求导法则求导法则其它基本初等其它基本初等函数求导公式函数求导公式证明中利用了证明中利用了两个重要极限两个重要极限初等函数求导问题初等函数求导问题本节内容本节内容机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 初等函数求导法则初等函数求导法则机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 一、定义求导：一、定义求导：（见上节）见上节）二、四则运算求导法则二、四则运算求导法则 定理定理1.的和、的和、 差、差、 积、积、 商商 (除分母除分母为为 0的点外的点外) 都在点都在点 x 可导可导, 且且下面分三部分加以证明下面分三部分加以证明,并同时给出相应的推论和并同时给出相应的推论和例题例题 .机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 注意：注意： 的导数存在的导数存在分母的导数不为零分母的导数不为零此法则可推广到任意有限项的情形此法则可推广到任意有限项的情形.证证: 设设, 则则故结论成立故结论成立.机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 (2)证证: 设设则有则有故结论成立故结论成立.推论推论:机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 ( C为常数为常数 )(3)证证: 设设则有则有故结论成立故结论成立.推论推论:机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 ( C为常数为常数 )公式公式7、公式、公式8、公式、公式9公式公式10. 求证求证证证: 类似可证类似可证:机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 小结小结:机动 目录 上页 下页 返回 结束 导数四则运算练习导数四则运算练习:(1)机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 求下列导数求下列导数:（课本例（课本例1）(2)（课本例（课本例2）(3)练：练：练：练：二、反函数的求导法则二、反函数的求导法则 定理定理2. y 的某邻域内单调可导的某邻域内单调可导, 证证:略略机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 反函数的导数和原函数的导数互为倒数反函数的导数和原函数的导数互为倒数 公式公式11、公式、公式12、公式、公式13、公式、公式14. 求反三角函数求反三角函数.解解: 设设则则类似可求得类似可求得, 则则机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 设设则则特别当特别当时时,机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 公式公式3、公式、公式4. 指数函数的导数指数函数的导数小结小结:机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 在点在点 x 可导可导,三、复合函数求导法则三、复合函数求导法则定理定理3.在点在点可导可导复合函数复合函数且且在点在点 x 可导可导,证证:略略机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 复合函数链式求导法则：复合函数链式求导法则：是先把函数对中间变量是先把函数对中间变量求导再乘以中间变量对自变量的导数求导再乘以中间变量对自变量的导数例如例如,关键关键: 搞清复合函数结构搞清复合函数结构, 由外向内逐层求导由外向内逐层求导.推广：推广：此法则可推广到多个中间变量的情形此法则可推广到多个中间变量的情形.机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 解解: (1)(2)机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 例例. 设设求求解解:思考思考: 若若存在存在 , 如何求如何求的导数的导数?这两个记号含义不同这两个记号含义不同练习练习: 设设机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 解：解：2 . 设设解解:其中其中可导可导, 求求求求机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 1复合函数求导例题复合函数求导例题:例例. 设设解解:机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 初等函数的求导问题初等函数的求导问题 1. 常数和基本初等函数的导数常数和基本初等函数的导数 (P35)机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 2. 有限次四则运算的求导法则有限次四则运算的求导法则( C为常数为常数 )3. 复合函数求导法则复合函数求导法则5. 初等函数初等函数在定义区间内可导在定义区间内可导,且导数仍为初等函数且导数仍为初等函数机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 4. 反函数求导法则反函数求导法则例例7. 求解解:例例8. 设解解:求机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例9. 求求解解:关键关键: 搞清复合函数结构搞清复合函数结构 由外向内逐层求导由外向内逐层求导机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 例例10. 设设求求解解:机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 内容小结内容小结求导公式求导公式 (见见 P35)2）复合函数）复合函数 由外向内逐层求导由外向内逐层求导 .1.思考与练习思考与练习对吗对吗? ?机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 3）反函数）反函数 由原函数求导由原函数求导.1）四则运算求导）四则运算求导2. 设设其中其中在在因因故故正确解法正确解法:时时, 下列做法是否正确下列做法是否正确?在求在求处连续处连续,机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 3. 求下列函数的导数求下列函数的导数解解: (1)(2)或或机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 4. 设设求求解解: 方法方法1 利用导数定义利用导数定义.方法方法2 利用求导公式利用求导公式.机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 作业作业练习册练习册函数求导法则函数求导法则A卷卷一、一、110 二、三、（一）二、三、（一）B卷卷一、一、14 二、（一二、（一) 第三节第三节 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 五、隐函数的导数五、隐函数的导数若由方程若由方程可确定可确定 y 是是 x 的函数的函数 ,由由表示的函数表示的函数 , 称为称为显函数显函数 .例如例如,可确定显函数可确定显函数可确定可确定 y 是是 x 的函数的函数 ,但此隐函数不能显化但此隐函数不能显化 .函数为函数为隐函数隐函数 .则称此则称此隐函数隐函数求导方法求导方法: 两边对两边对 x 求导求导(含导数含导数 的方程的方程)机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例1. 求由方程求由方程在在 x = 0 处的导数处的导数解解: 方程两边对方程两边对 x 求导求导得得因因 x = 0 时时 y = 0 , 故故确定的隐函数确定的隐函数机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例2. 求由方程求由方程在在 x = 0 处的导数处的导数解解: 方程两边对方程两边对 x 求导求导得得因因 x = 0 时时 y = 0 , 故故确定的隐函数确定的隐函数机动 目录 上页 下页 返回 结束 课本例18例例3. 求椭圆求椭圆在点在点处的切线方程处的切线方程.解解: 椭圆方程两边对椭圆方程两边对 x 求导求导故切线方程为故切线方程为即即机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例4. 求求的导数的导数 . 解解: 两边取对数两边取对数 , 化为隐函数的形式化为隐函数的形式两边对两边对 x 求导求导机动 目录 上页 下页 返回 结束 课本例14 1) 对幂指函数对幂指函数可用对数求导法求导可用对数求导法求导 :说明说明: :按指数函数求导公式按指数函数求导公式按幂函数求导公式按幂函数求导公式注意注意:机动 目录 上页 下页 返回 结束 （可做为推论）（可做为推论）2) 有些显函数用对数求导法求导很方便有些显函数用对数求导法求导很方便 .例如例如,两边取对数两边取对数两边对两边对 x 求导求导机动 目录 上页 下页 返回 结束 又如又如, 对对 x 求导求导两边取对数两边取对数机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例5. 对对 x 求导求导两边取对数两边取对数机动 目录 上页 下页 返回 结束 课本例15例例6. 方程方程解解: 方程两边对方程两边对 x 求导求导机动 目录 上页 下页 返回 结束 课本例17求求:3） 显函数也一样可两边对显函数也一样可两边对 x 求导求导练习练习机动 目录 上页 下页 返回 结束 1. 设求提示提示: 分别用对数求导法求答案答案: :2. 设由方程确定 , 解解: 方程两边对 x 求导, 得再求导, 得当时,故由 得再代入 得 求机动 目录 上页 下页 返回 结束 练习练习求其反函数的导数 .解解:方法方法1方法方法2等式两边同时对 求导3. 设机动 目录 上页 下页 返回 结束 练习练习六、由参数方程确定的函数的导数六、由参数方程确定的函数的导数若参数方程若参数方程可确定一个可确定一个 y 与与 x 之间的函数之间的函数可导可导, 则则时时, 有有时时, 有有(此时看成此时看成 x 是是 y 的函数的函数 )关系关系,机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例1. 设由方程设由方程求求解解: 方程组两边对方程组两边对 t 求导求导 , 得得故故机动 目录 上页 下页 返回 结束 课本例19例例2. 设由椭圆方程设由椭圆方程求：求：解解: 方程组两边对方程组两边对 t 求导求导 , 得得故故机动 目录 上页 下页 返回 结束 课本例20处的切线方程处的切线方程例例4. 设设, 且且求求解解:例例3:解解:机动 目录 上页 下页 返回 结束 求：例例5. 抛射体运动轨迹的参数方程为抛射体运动轨迹的参数方程为求抛射体在时刻求抛射体在时刻 t 的运动速度的大小和方向的运动速度的大小和方向. 解解: 先求速度大小先求速度大小:速度的水平分量为速度的水平分量为垂直分量为垂直分量为故抛射体故抛射体速度大小速度大小再求再求速度方向速度方向(即轨迹的切线方向即轨迹的切线方向):设设 为切线倾角为切线倾角,则则机动 目录 上页 下页 返回 结束 1. 设由方程设由方程确定函数确定函数求求解解: 方程组两边对方程组两边对 t 求导求导 , 得得故故机动 目录 上页 下页 返回 结束 练习练习, 求解解： 2. 设方程组两边同时对 t 求导, 得机动 目录 上页 下页 返回 结束 相关变化率应用问题相关变化率应用问题为两可导函数之间有联系之间也有联系称为相关变化率相关变化率相关变化率问题解法:找出相关变量的关系式对 t 求导得相关变化率之间的关系式求出未知的相关变化率机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例1. 一气球从离开观察员500 m 处离地面铅直上升,其速率为当气球高度为 500 m 时, 观察员视线的仰角增加率是多少? 解解: 设气球上升 t 分后其高度为h , 仰角为 ,则两边对 t 求导已知 h = 500m 时,机动 目录 上页 下页 返回 结束 思考题思考题: 当气球升至500 m 时停住 , 有一观测者以100 mmin 的速率向气球出发点走来,当距离为500 m 时, 仰角的增加率是多少 ?提示提示: 对 t 求导已知求机动 目录 上页 下页 返回 结束 试求当容器内水例例2. 有一底半径为 R cm , 高为 h cm 的圆锥容器 ,今以 自顶部向容器内注水 ,位等于锥高的一半时水面上升的速度.解解: 设时刻 t 容器内水面高度为 x , 水的两边对 t 求导而故体积为 V , 则机动 目录 上页 下页 返回 结束 内容小结内容小结1. 隐函数求导法则隐函数求导法则直接对方程两边求导直接对方程两边求导 对数求导法对数求导法 : 适用于幂指函数适用于幂指函数2. 参数方程求导法参数方程求导法*3. 相关变化率应用问题相关变化率应用问题列出依赖于列出依赖于 t 的相关变量关系式的相关变量关系式对对 t 求导求导相关变化率之间的关系式相关变化率之间的关系式机动 目录 上页 下页 返回 结束 分别把分别把X、Y直接对参数求导直接对参数求导及某些用连乘及某些用连乘,连除表示的函数连除表示的函数一、高阶导数的概念一、高阶导数的概念速度速度即即加速度加速度即即引例：引例：变速直线运动变速直线运动机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 七、高阶导数七、高阶导数定义定义.若函数若函数的导数的导数可导可导, ,或或即即或或类似地类似地 , 二阶导数的导数称为三阶导数二阶导数的导数称为三阶导数 ,阶导数的导数称为阶导数的导数称为 n 阶导数阶导数 ,或或的的二阶导数二阶导数 ,记作记作的导数为的导数为依次类推依次类推 ,分别记作分别记作则称则称机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 设设求求解解:依次类推依次类推 ,例例1.思考思考: 设设问问可得可得机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 机动 目录 上页 下页 返回 结束 通式通式例例2. 设求解解:特别有:机动 目录 上页 下页 返回 结束 思考：思考： 设求解解:机动 目录 上页 下页 返回 结束 通式通式解解:规定 0 ! = 1思考思考:例例3. 设求机动 目录 上页 下页 返回 结束 思考思考:机动 目录 上页 下页 返回 结束 通式通式例例4. 设设求求解解: 一般地一般地 ,类似可证类似可证:机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 思考思考:机动 目录 上页 下页 返回 结束 通式通式练习练习1. 下列函数的下列函数的 n 阶导数阶导数解解: 解解: 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 练习练习解解: 解解: 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 二、高阶导数的运算法则二、高阶导数的运算法则都有都有 n 阶导数阶导数 , 则则(C为常数为常数)莱布尼兹莱布尼兹(Leibniz) 公式公式及及设函数设函数推导推导 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 用数学归纳法可证用数学归纳法可证莱布尼兹公式莱布尼兹公式成立成立 . .机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 推证：例例5. 求求解解: 设设则则代入莱布尼兹公式代入莱布尼兹公式 , 得得机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 例例6. 求机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例7. 求例例8. 求内容小结内容小结(1) 逐阶求导法(2) 利用归纳法(3) 间接法 利用已知的高阶导数公式(4) 利用莱布尼兹公式高阶导数的求法如,机动 目录 上页 下页 返回 结束 (1)提示提示: 令原式原式机动 目录 上页 下页 返回 结束 思考与练习思考与练习解解:机动 目录 上页 下页 返回 结束 解解: 设求其中 f 二阶可导.备用题备用题机动 目录 上页 下页 返回 结束 作业作业第二章第二章 余余第四节 目录 上页 下页 返回 结束