运运 筹筹 帷帷 幄幄 之之 中中决决 胜胜 千千 里里 之之 外外线性规划及单纯形法线性规划及单纯形法Linear Programming第一章第一章Chapter1 线性规划线性规划 (Linear Programming)(Linear Programming) LP的数学模型的数学模型 图解法图解法 单纯形法单纯形法 单纯形法的进一步讨论人工变量法单纯形法的进一步讨论人工变量法 LP模型的应用模型的应用本章主要内容：本章主要内容：本章主要内容：本章主要内容：线性规划问题的数学模型线性规划问题的数学模型1. 规划问题规划问题生产和经营管理中经常提出如何合理安排，使人力、生产和经营管理中经常提出如何合理安排，使人力、物力等各种资源得到充分利用，获得最大的效益，物力等各种资源得到充分利用，获得最大的效益，这就是规划问题。这就是规划问题。线性规划通常解决下列两类问题：线性规划通常解决下列两类问题：线性规划通常解决下列两类问题：线性规划通常解决下列两类问题：（1 1）当任务或目标确定后，如何统筹兼顾，合理安排，用）当任务或目标确定后，如何统筹兼顾，合理安排，用最少的资源最少的资源 （如资金、设备、原标材料、人工、时间等）（如资金、设备、原标材料、人工、时间等）去完成确定的任务或目标去完成确定的任务或目标（2 2）在一定的资源条件限制下，如何组织安排生产获得最）在一定的资源条件限制下，如何组织安排生产获得最好的经济效益（如产品量最多好的经济效益（如产品量最多 、利润最大、利润最大. .）线性规划问题的数学模型线性规划问题的数学模型例例1.1 如图所示，如何截取如图所示，如何截取x使铁皮所围成的容积最使铁皮所围成的容积最大？大？ x xa a线性规划问题的数学模型线性规划问题的数学模型例例1.2 某厂生产两种产品，某厂生产两种产品，下表给出了单位产品所需资下表给出了单位产品所需资源及单位产品利润源及单位产品利润 问：应如何安排生产计划，才问：应如何安排生产计划，才能使总利润最大？能使总利润最大？ 解：解：1.1.决策变量：设产品决策变量：设产品I I、IIII的产量的产量 分别为分别为 x1、x22.2.目标函数：设总利润为目标函数：设总利润为z z，则有：，则有： max z = 2 x1 + x23.3.约束条件：约束条件： 5x2 15 6x1+ 2x2 24 x1+ x2 5 x1， x20线性规划问题的数学模型线性规划问题的数学模型例例1.3 已知资料如下表所示，已知资料如下表所示，问如何安排生产才能使利润问如何安排生产才能使利润最大？或如何考虑利润大，最大？或如何考虑利润大，产品好销。产品好销。设备产品ABCD利润（元）2140222043有效台时1281612解：解：1.1.决策变量：设产品决策变量：设产品I I、IIII的产量的产量分别为分别为 x1、x22.2.目标函数：设总利润为目标函数：设总利润为z z，则，则有：有： max z = 2 x1 + 3x23.3.约束条件：约束条件：x10,x202x1+2x212x1+2x284x1164x212线性规划问题的数学模型线性规划问题的数学模型例例1.4 某厂生产三种药物，某厂生产三种药物，这些药物可以从四种不同的这些药物可以从四种不同的原料中提取。下表给出了单原料中提取。下表给出了单位原料可提取的药物量位原料可提取的药物量 解：解：要求：生产要求：生产A种药物至少种药物至少160单位；单位；B种药物恰好种药物恰好200单位，单位，C种药物不超过种药物不超过180单位，且单位，且使原料总成本最小。使原料总成本最小。1.1.决策变量：设四种原料的使用决策变量：设四种原料的使用 量分别为：量分别为：x1、x2 、x3 、x42.2.目标函数：设总成本为目标函数：设总成本为z min z = 5 x1 + 6 x2 + 7 x3 + 8 x43.3.约束条件：约束条件： x1 + 2x2 + x3 + x4 160 2x1 +4 x3 +2 x4 200 3x1 x2 +x3 +2 x4 180 x1、x2 、x3 、x4 0 例例1.5 某航运局现有船只种类、数量以及计划期内各条航线某航运局现有船只种类、数量以及计划期内各条航线的货运量、货运成本如下表所示：的货运量、货运成本如下表所示：航航线号号船船队类型型编队形式形式货运成本运成本（千元（千元队）货运量运量（千吨）（千吨）拖轮拖轮A型型驳船船B型型驳船船1112362521436202322472404142720船只种船只种类船只数船只数拖拖 轮30A型型驳船船34B型型驳船船52航航线号号合同合同货运量运量12002400问：应如何编队，才能既完成合同任务，又使总货运成本为最小？问：应如何编队，才能既完成合同任务，又使总货运成本为最小？线性规划问题的数学模型线性规划问题的数学模型 解：解：设：设：x xj j为第为第j j号类型船队的队数（号类型船队的队数（j = 1j = 1，2 2，3 3，4 4），）， z z 为总货运成本为总货运成本则：则：minz=36x1+36x2+72x3+27x4x1+x2+2x3+x4302x1+2x3344x2+4x3+4x45225x1+20x220040x3+20x4400xj0（j=1,2,3,4）线性规划问题的数学模型线性规划问题的数学模型线性规划问题的数学模型线性规划问题的数学模型2. 2. 2. 2. 线性规划的数学模型由三个要素构成线性规划的数学模型由三个要素构成线性规划的数学模型由三个要素构成线性规划的数学模型由三个要素构成决策变量决策变量决策变量决策变量 Decision variables Decision variables 目标函数目标函数目标函数目标函数 Objective function Objective function约束条件约束条件约束条件约束条件 Constraints Constraints其特征是：其特征是：其特征是：其特征是：（1 1 1 1）问题的目标函数是多个决策变量的）问题的目标函数是多个决策变量的）问题的目标函数是多个决策变量的）问题的目标函数是多个决策变量的线性线性线性线性函数，函数，函数，函数，通常是求最大值或最小值；通常是求最大值或最小值；通常是求最大值或最小值；通常是求最大值或最小值；（2 2 2 2）问题的约束条件是一组多个决策变量的）问题的约束条件是一组多个决策变量的）问题的约束条件是一组多个决策变量的）问题的约束条件是一组多个决策变量的线性线性线性线性不不不不等式或等式。等式或等式。等式或等式。等式或等式。 怎样辨别一个模型是线性规划模型？怎样辨别一个模型是线性规划模型？怎样辨别一个模型是线性规划模型？怎样辨别一个模型是线性规划模型？ 线性规划问题的数学模型线性规划问题的数学模型3. 3. 3. 3. 建模条件建模条件建模条件建模条件 (1) (1) 优化条件优化条件优化条件优化条件：问题所要达到的目标能用线型函数描述，且：问题所要达到的目标能用线型函数描述，且：问题所要达到的目标能用线型函数描述，且：问题所要达到的目标能用线型函数描述，且能够用极值能够用极值能够用极值能够用极值 （max max 或或或或 min min）来表示；）来表示；）来表示；）来表示；(2)(2) 限定条件限定条件限定条件限定条件：达到目标受到一定的限制，且这些限制能够：达到目标受到一定的限制，且这些限制能够：达到目标受到一定的限制，且这些限制能够：达到目标受到一定的限制，且这些限制能够用决策变量的用决策变量的用决策变量的用决策变量的 线性等式或线性不等式表示；线性等式或线性不等式表示；线性等式或线性不等式表示；线性等式或线性不等式表示；(3)(3) 选择条件选择条件选择条件选择条件：有多种可选择的方案供决策者选择，以便：有多种可选择的方案供决策者选择，以便：有多种可选择的方案供决策者选择，以便：有多种可选择的方案供决策者选择，以便找出最优方案。找出最优方案。找出最优方案。找出最优方案。线性规划问题的数学模型线性规划问题的数学模型4. 4. 4. 4. 建模步骤建模步骤建模步骤建模步骤 (1) (1) 确定决策变量确定决策变量确定决策变量确定决策变量：即需要我们作出决策或选择的量。一般：即需要我们作出决策或选择的量。一般：即需要我们作出决策或选择的量。一般：即需要我们作出决策或选择的量。一般情况下，题目问什么就设什么为决策变量；情况下，题目问什么就设什么为决策变量；情况下，题目问什么就设什么为决策变量；情况下，题目问什么就设什么为决策变量；(2)(2) 找出所有限定条件找出所有限定条件找出所有限定条件找出所有限定条件：即决策变量受到的所有的约束；：即决策变量受到的所有的约束；：即决策变量受到的所有的约束；：即决策变量受到的所有的约束；(3)(3) 写出目标函数写出目标函数写出目标函数写出目标函数：即问题所要达到的目标，并明确是：即问题所要达到的目标，并明确是：即问题所要达到的目标，并明确是：即问题所要达到的目标，并明确是max max 还是还是还是还是 min min。线性规划问题的数学模型线性规划问题的数学模型目标函数：目标函数：目标函数：目标函数：约束条件：约束条件：约束条件：约束条件：5. 5. 5. 5. 线性规划数学模型的一般形式线性规划数学模型的一般形式线性规划数学模型的一般形式线性规划数学模型的一般形式简写为：简写为：线性规划问题的数学模型线性规划问题的数学模型向量形式：向量形式：向量形式：向量形式：其中：其中：线性规划问题的数学模型线性规划问题的数学模型矩阵形式：矩阵形式：矩阵形式：矩阵形式：其中：其中：线性规划问题的数学模型线性规划问题的数学模型6. 线性规划问题的标准形式线性规划问题的标准形式特点：特点：(1) 目标函数求最大值（有时求最小值）目标函数求最大值（有时求最小值）(2) 约束条件都为等式方程，且右端常数项约束条件都为等式方程，且右端常数项bi都大于或等于零都大于或等于零(3) 决策变量决策变量xj为非负。为非负。线性规划问题的数学模型线性规划问题的数学模型（2 2 2 2）如何化标准形式）如何化标准形式）如何化标准形式）如何化标准形式 目标函数的转换目标函数的转换 如果是求极小值即如果是求极小值即 ，则可将，则可将目标函数乘以目标函数乘以(-1)，可化为求极大值问题。，可化为求极大值问题。也就是：令也就是：令 ，可得到上式。，可得到上式。即即 若存在取值无约束的变量若存在取值无约束的变量 ，可令，可令 其中：其中： 变量的变换变量的变换线性规划问题的数学模型线性规划问题的数学模型 约束方程的转换：由不等式转换为等式。约束方程的转换：由不等式转换为等式。称为松弛变量称为松弛变量称为剩余变量称为剩余变量 常量常量 bi0 的变换的变换: :约束方程两边乘以约束方程两边乘以（1）线性规划问题的数学模型线性规划问题的数学模型例例1.6 将下列线性规划问题化为标准形式将下列线性规划问题化为标准形式用用 替换替换 ，且，且 解解:（）因为（）因为x3无符号要求无符号要求 ，即，即x3取正值也可取负值，标准取正值也可取负值，标准型中要求变量非负，所以型中要求变量非负，所以线性规划问题的数学模型线性规划问题的数学模型(2) 第一个约束条件是第一个约束条件是“”号，在号，在“”左端加入松驰变左端加入松驰变量量x4，x40,化为等式；化为等式；(3) 第二个约束条件是第二个约束条件是“”号，在号，在“”左端减去剩余变左端减去剩余变量量x5，x50；(4) 第第3个约束方程右端常数项为个约束方程右端常数项为-5，方程两边同乘以，方程两边同乘以(-1),将将右端常数项化为正数；右端常数项化为正数； (5) 目标函数是最小值，为了化为求最大值，令目标函数是最小值，为了化为求最大值，令z=-z,得到得到max z=-z，即当，即当z达到最小值时达到最小值时z达到最大值，反之亦然达到最大值，反之亦然;线性规划问题的数学模型线性规划问题的数学模型标准形式如下：标准形式如下： 例例1.7 将下列线性规划问题化为标准形式将下列线性规划问题化为标准形式为无约束（无非负限制）为无约束（无非负限制）线性规划问题的数学模型线性规划问题的数学模型 解解: : 用用 替换替换 ，且，且 ， 将第将第3 3个约束方程两边乘以（个约束方程两边乘以（1 1）将极小值问题反号，变为求极大值将极小值问题反号，变为求极大值标准形式如下：标准形式如下：引入变量引入变量线性规划问题的数学模型线性规划问题的数学模型 例例1.8 将线性规划问题化为标准型将线性规划问题化为标准型解：解：线性规划问题的数学模型线性规划问题的数学模型 例例1.9 将线性规划问题化为标准型将线性规划问题化为标准型解：解：Minf=-3x1+5x2+8x3-7x4s.t.2x1-3x2+5x3+6x4284x1+2x2+3x3-9x4396x2+2x3+3x4-58x1 , x3 , x40；x2无约束 Maxz=3x15x2+5x2”8x3 +7x4s.t.2x13x2+3x2”+5x3+6x4+x5=284x1+2x2-2x2”+3x3-9x4-x6=39-6x2+6x2”-2x3-3x4-x7=58x1 ,x2,x2”,x3 ,x4 ,x5 ,x6 ,x70线性规划问题的数学模型线性规划问题的数学模型线性规划问题的数学模型线性规划问题的数学模型7. 7. 线性规划问题的解线性规划问题的解线性规划问题线性规划问题求解线性规划问题，就是从满足约束条件求解线性规划问题，就是从满足约束条件(2)、(3)的方程组中的方程组中找出一个解，使目标函数找出一个解，使目标函数(1)达到最大值。达到最大值。 为价值系数，为价值系数， 为技术系数为技术系数线性规划问题的数学模型线性规划问题的数学模型 可行解可行解：满足：满足约束条件约束条件、的解为可行解。所有可行解的解为可行解。所有可行解的集合为可行域。的集合为可行域。 最优解最优解：使目标函数达到最大值的可行解。：使目标函数达到最大值的可行解。 基：基：设设A为为约束条件约束条件的的mn阶系数矩阵阶系数矩阵(m04010换换出出行行将将3化为化为15/311801/301/31011/3303005/304/3乘乘以以1/3后后得得到到103/51/518011/5 2/540011单纯形法的计算步骤单纯形法的计算步骤例例1.14 用单纯形法求解用单纯形法求解解：将数学模型化为标准形式：解：将数学模型化为标准形式：不难看出不难看出x4、x5可作为初始基变量，列单纯形表计算。可作为初始基变量，列单纯形表计算。单纯形法的计算步骤单纯形法的计算步骤cj12100icB基变量bx1x2x3x4x50x4152-32100x5201/31501121000x42x220x x2 221/3150120753017131/309022560x x1 111017/31/31250128/9-1/92/335/300-98/9 -1/9 -7/3变成标准型变成标准型单纯形法的计算步骤单纯形法的计算步骤例例1.15 用单纯形法求解用单纯形法求解约束方程的系数矩阵约束方程的系数矩阵 为基变量为基变量为非基变量为非基变量I I 为单位矩阵且线性独立为单位矩阵且线性独立单纯形法的计算步骤单纯形法的计算步骤n判断现行的基本可行解是否最优判断现行的基本可行解是否最优假如已求得一个基本可行解假如已求得一个基本可行解将这一基本可行解代入目标函数，可求得相应的目标函数值将这一基本可行解代入目标函数，可求得相应的目标函数值其中分别表示基变量和其中分别表示基变量和非基变量所对应的价值系数子向量。非基变量所对应的价值系数子向量。单纯形法的矩阵初等行变换实质单纯形法的矩阵初等行变换实质要判定是否已经达到最大值，只需将要判定是否已经达到最大值，只需将代入目标函数，使目标函数用非代入目标函数，使目标函数用非基变量基变量表示，即：表示，即： 其中其中 称为非基变量称为非基变量N N的的检验向量，它的各个分量称为检验数。若检验向量，它的各个分量称为检验数。若N N的每一个检验数均小于的每一个检验数均小于等于等于0 0，即，即N N00，那么现在的基本可行解就是最优解。，那么现在的基本可行解就是最优解。定理定理1 1 最优解判别定理最优解判别定理 对于线性规划问题对于线性规划问题若某个基本可行解所对应的检验向量，若某个基本可行解所对应的检验向量，则这个基本可行解就是最优解。则这个基本可行解就是最优解。定理定理2 2 无穷多最优解判别定理无穷多最优解判别定理 若是一个基本可行解，所对应的检验向量若是一个基本可行解，所对应的检验向量，其中，其中存在一个检验数存在一个检验数m+km+k=0=0，则线性规划问题则线性规划问题有无穷多最优解。有无穷多最优解。例例1.16 用单纯形方法求解线性规划问题用单纯形方法求解线性规划问题解：本题的目标函数是求极小化的线性函数，解：本题的目标函数是求极小化的线性函数，可以令可以令则则这两个线性规划问题具有相同的可行域和最优解，这两个线性规划问题具有相同的可行域和最优解，只是目标函数相差一个符号而已。只是目标函数相差一个符号而已。 0 1 0 1 03x220 0 1 2 -12x30-0 1 0 1 03x224/11 0 1 0 04x303/10 1 0 1 03x40_1 0 1 0 04x30 0 0 0 0 -18Z1 0 0 -2 12x11 1 0 0 -2 06Z2/11 0 0 -2 12x50 1 2 0 0 00Z8/21 2 0 0 18x50 x1 x2 x3 x4 x5bXBCB 1 2 0 0 0C最优解最优值最优解最优值2/23/1-因因为为非非基基变变量量x x4 4的的检检验验数数4 4=0=0，由由无无穷穷多多最最优优解解判判别别定定理理，本本例例的的线线性性规规划划问问题题存存在在无无穷穷多多最最优优解解。事事实实上上若若以以x x4 4为为换换入入变变量量，以以x x3 3为为换出变量，再进行一次迭代，可得以下单纯形表：换出变量，再进行一次迭代，可得以下单纯形表：最优解最优解 最优值最优值最优解的一般表示式最优解的一般表示式C12000CBXBbx1x2x3x4x5021x4x2x1124001/21-1/201-1/201/210100Z80000-1对于极小化的线性规划问题的处理：对于极小化的线性规划问题的处理：l先化为标准型，即将先化为标准型，即将极小化问题变换为极大化问题，然后利用单极小化问题变换为极大化问题，然后利用单纯形方法求解纯形方法求解l直接利用单纯形方法求解，但是检验是否最优的准则有所不同，直接利用单纯形方法求解，但是检验是否最优的准则有所不同，即：即： 若某个基本可行解的所有非基变量对应的检验数若某个基本可行解的所有非基变量对应的检验数 （而不是（而不是），），则基本可行解为最优解则基本可行解为最优解否则否则采用最大减少原则采用最大减少原则（而非最大增加原则）来确定换入变量，（而非最大增加原则）来确定换入变量，即：即： 若若则选取对应的非基变量则选取对应的非基变量x xm+km+k为换入变量为换入变量确定了换入变量以后，换出变量确定了换入变量以后，换出变量仍采用最小比值原则仍采用最小比值原则来确定。来确定。 单纯形法的计算步骤单纯形法的计算步骤学习要点：学习要点：1. 线性规划解的概念以及线性规划解的概念以及3个基本定理个基本定理2. 熟练掌握线性规划问题的标准化熟练掌握线性规划问题的标准化 3.熟练掌握单纯形法的解题思路及求解步骤熟练掌握单纯形法的解题思路及求解步骤单纯形法的进一步讨论人工变量法单纯形法的进一步讨论人工变量法人工变量法：人工变量法：前面讨论了在标准型中系数矩阵有单位矩阵，很容前面讨论了在标准型中系数矩阵有单位矩阵，很容易确定一组基可行解。在实际问题中有些模型并不含有单易确定一组基可行解。在实际问题中有些模型并不含有单位矩阵，位矩阵，为了得到一组基向量和初基可行解为了得到一组基向量和初基可行解，在约束条件，在约束条件的等式左端加一组虚拟变量，得到一组基变量。这种人为的等式左端加一组虚拟变量，得到一组基变量。这种人为加的变量称为加的变量称为人工变量人工变量，构成的可行基称，构成的可行基称为人工基，为人工基，用用大大M M法或两阶段法法或两阶段法求解，这种用人工变量作桥梁的求解方法称求解，这种用人工变量作桥梁的求解方法称为为人工变量法。人工变量法。单纯形法的进一步讨论人工变量法单纯形法的进一步讨论人工变量法例例1.17 用大用大M法解下列线性规划法解下列线性规划解：首先将数学模型化为标准形式解：首先将数学模型化为标准形式系数矩阵中不存在系数矩阵中不存在单位矩阵单位矩阵，无法建，无法建立初始单纯形表。立初始单纯形表。单纯形法的进一步讨论人工变量法单纯形法的进一步讨论人工变量法故人为添加两个单位向量，得到人工变量单纯形法数学模型：故人为添加两个单位向量，得到人工变量单纯形法数学模型：其其中中：M是是一一个个很很大大的的抽抽象象的的数数，不不需需要要给给出出具具体体的的数数值值，可可以以理理解解为为它它能能大大于于给给定定的的任任何何一一个个确确定定数数值值；再再用用前前面面介介绍的单纯形法求解该模型，计算结果见下表。绍的单纯形法求解该模型，计算结果见下表。 单纯形法的进一步讨论人工变量法单纯形法的进一步讨论人工变量法cj32-100-M-MCBXBbx1x2x3x4x5x6x7i-Mx64-431-101040x5101-1201005-Mx712-21000113-2M2+M-1+2M-M-Mx63-650-1013/50x58-3300108/3-1x312-210005-6M5M0-M002x23/56/5101/500x531/53/5003/5131/3-1x311/52/5012/505 00002x213010123x131/310015/3-1x319/300102/3000-5-25/3单纯形法的进一步讨论人工变量法单纯形法的进一步讨论人工变量法例例1.18 用大用大M法解下列线性规划法解下列线性规划解：首先将数学模型化为标准形式解：首先将数学模型化为标准形式系数矩阵中不存在系数矩阵中不存在单位矩阵，无法建单位矩阵，无法建立初始单纯形表。立初始单纯形表。单纯形法的进一步讨论人工变量法单纯形法的进一步讨论人工变量法故人为添加两个单位向量，得到人工变量单纯形法数学模型：故人为添加两个单位向量，得到人工变量单纯形法数学模型：其其中中：M是是一一个个很很大大的的抽抽象象的的数数，不不需需要要给给出出具具体体的的数数值值，可可以以理理解解为为它它能能大大于于给给定定的的任任何何一一个个确确定定数数值值；再再用用前前面面介介绍的单纯形法求解该模型，计算结果见下表。绍的单纯形法求解该模型，计算结果见下表。 单纯形法的进一步讨论人工变量法单纯形法的进一步讨论人工变量法Cj3-1-100-M-MCBXBbx1x2x3x4x5x6x70x4111-21100011-Mx63-4120-1103/2-Mx71-20100011Z-4M3-6M-1+M-1+3M0-M000x4103-20100-1-Mx610100-11-21-1x31-2010001Z-M-11-1+M00-M0-3M+1单纯形法的进一步讨论人工变量法单纯形法的进一步讨论人工变量法Cj3-1-100-M-MCBXBbx1x2x3x4x5x6x70x4123001-22-54-1x210100-11-2-1x31-2010001Z-21000-1-M+1-M-13x141001/3-2/32/3-5/3-1x210100-11-2-1x390012/3-4/34/3-7/3Z2000-1/3-1/3-M+1/3-M+2/3单纯形法的进一步讨论两阶段法单纯形法的进一步讨论两阶段法 用计算机处理数据时，只能用很大的数代替用计算机处理数据时，只能用很大的数代替M,可能造可能造成计算机上的错误，故多采用成计算机上的错误，故多采用两阶段法两阶段法。 第一阶段：第一阶段： 在原线性规划问题中加入人工变量，构造如下模型：在原线性规划问题中加入人工变量，构造如下模型： 对上述模型求解（单纯形法），对上述模型求解（单纯形法），若若=0,说明问题存在基说明问题存在基可行解，可行解，可以进行第二个阶段；否则，原问题无可行解，停可以进行第二个阶段；否则，原问题无可行解，停止运算。止运算。单纯形法的进一步讨论两阶段法单纯形法的进一步讨论两阶段法第一阶段的线性规划问题可写为：第一阶段的线性规划问题可写为：第一阶段单纯形法迭代的过程见下表第一阶段单纯形法迭代的过程见下表（注意：没有化为极大化问题）（注意：没有化为极大化问题）单纯形法的进一步讨论两阶段法单纯形法的进一步讨论两阶段法Cj0000011CBXBbx1x2x3x4x5x6x70x4111-211000111x63-4120-1103/21x71-2010001146-1-301000x4103-20100-11x610100-11-210x31-201000110-1001030x4123001-22-50x210100-11-20x31-201000000000011单纯形法的进一步讨论两阶段法单纯形法的进一步讨论两阶段法 第二阶段：第二阶段： 在第一阶段的最终表中，在第一阶段的最终表中，去掉人工变量去掉人工变量，将目标函数的，将目标函数的系数换成原问题的目标函数系数系数换成原问题的目标函数系数，作为第二阶段计算的初始，作为第二阶段计算的初始表（用单纯形法计算）。表（用单纯形法计算）。例：例：单纯形法的进一步讨论两阶段法单纯形法的进一步讨论两阶段法cj3-1-100cBxBbx1x2x3x4x50x4123001-24-1x210100-1-1x31-20100Z-21000-13x141001/3-2/3-1x210100-1-1x390012/3-4/3Z2000-1/3-1/3第二阶段：第二阶段： 最优解为（最优解为（4 1 9 0 0），目标函数），目标函数 Z = 2单纯形法的进一步讨论单纯形法的进一步讨论 通过大法或两阶段法求初始的基本可行解。但是通过大法或两阶段法求初始的基本可行解。但是如果在大法的最优单纯形表的如果在大法的最优单纯形表的基变量中仍含有人工变基变量中仍含有人工变量量，或者两阶段法的辅助线性规划的，或者两阶段法的辅助线性规划的目标函数的极小值目标函数的极小值大于零大于零，那么该线性规划就不存在可行解。，那么该线性规划就不存在可行解。 无可行解无可行解 C -3 -2 -1 0 0 0 -M -M CB XB b x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 0-M-M x4x7x8 643 1 1 1 1 0 0 0 01 0 -1 0 -1 0 1 00 1 -1 0 0 -1 0 1 6/1-3/1 Z -7M -6-4M -15-M -3+M -2+M -1-2M 0 -M -M 0 0 0-M-2 x4x7x2 343 1 0 2 1 0 1 0 -11 0 -1 0 -1 0 1 00 1 -1 0 0 -1 0 1 3/14/1- Z Z -3+M 0 -3-M 0 -M -2 0 2-M -3-M-2 x1x7x2 313 1 0 2 1 0 1 0 -10 0 -3 -1 -1 -1 1 10 1 -1 0 0 -1 0 1 0 0 3-3M 3-M -M 1-M 0 -1 例例单纯形法的进一步讨论单纯形法的进一步讨论运算到检验数全负为止，运算到检验数全负为止，仍含有人工变量仍含有人工变量，无可行解。，无可行解。单纯形法的进一步讨论单纯形法的进一步讨论 无最优解与无可行解时两个不同的概念。无最优解与无可行解时两个不同的概念。 无可行解是指原规划不存在可行解，从几何的角度解释是指无可行解是指原规划不存在可行解，从几何的角度解释是指 线性规划问题的可行域为空集；线性规划问题的可行域为空集； 无最优解则是指线性规划问题存在可行解，但是可行解的目无最优解则是指线性规划问题存在可行解，但是可行解的目 标函数达不到最优值，即标函数达不到最优值，即目标函数在可行域内可以趋于无穷大目标函数在可行域内可以趋于无穷大（或者无穷小）。（或者无穷小）。无最优解也称为有限最优解，或无界解。无最优解也称为有限最优解，或无界解。 判别方法：无最优解判别定理判别方法：无最优解判别定理在在求解极大化求解极大化的线性规划问题过程中，若某单纯形表的检验的线性规划问题过程中，若某单纯形表的检验 行行存在某个大于零的检验数存在某个大于零的检验数，但是该检验数所对应的，但是该检验数所对应的非基变量非基变量 的系数列向量的全部系数都为负数或零的系数列向量的全部系数都为负数或零，则该线性规划问题，则该线性规划问题 无最优解无最优解 无最优解无最优解例例 试用单纯形法求解下列线性规划问题：试用单纯形法求解下列线性规划问题：解：引入松弛变量解：引入松弛变量x x3 3,x,x4 4化为标准型化为标准型C2200CXBBX1X2X3X40X31-11100X42-1/2101Z02200因因但但所以原问题所以原问题无最优解无最优解 退化退化 即计算出的即计算出的 （用于确定换出变量）（用于确定换出变量）存在有两个以上相同的最小存在有两个以上相同的最小比值比值，会造成下一次迭代中由一个或几个基变量等于零，这就是，会造成下一次迭代中由一个或几个基变量等于零，这就是退退化化（会产生退化解）。（会产生退化解）。 为避免出现计算的循环，勃兰特为避免出现计算的循环，勃兰特(Bland)提出一个简便有效的规提出一个简便有效的规则（摄动法原理）：则（摄动法原理）： 当存在多个当存在多个 时，选时，选下标最小下标最小的非基变量为换入变量；的非基变量为换入变量；(2) 当当值出现两个以上相同的最小值时，选值出现两个以上相同的最小值时，选下标最大下标最大的基变量为换的基变量为换出变量。出变量。单纯形法的进一步讨论单纯形法的进一步讨论例例 求解下述线性规划问题：求解下述线性规划问题：解：解：引入松弛变量引入松弛变量化标准型化标准型000-242-8030Z-5-30-420-805Z10001001x3 211060-2411x1 33-11300-803x5 00-30-425-800Z1000 1001x7 00106-1-2410x1 30-1130-3-800x5 0-10001001x7 000106-1-2410x6 0000136-4-3210x5 0x7 x6 x5 x4 x3 x2 x1 b XB CB 000-242-803C 第第一一次次迭迭代代中中使使用用了了摄摄动动法法原原理理，选选择择下下标标为为6的的基基变量变量x6离基。离基。可得最优解可得最优解maxZ=，单纯形法的进一步讨论单纯形法的进一步讨论 无穷多最优解无穷多最优解 若若线线性性规规划划问问题题某某个个基基本本可可行行解解所所有有的的非非基基变变量量检检验验数数都都小小于于等等于于零零，但但其其中中存存在在一一个个检检验验数数等等于于零零，那那么么该该线性规划问题有无穷多最优解。线性规划问题有无穷多最优解。例：最优表：例：最优表：非基变量检验非基变量检验数数，所以有无穷多所以有无穷多最优解。最优解。C 1 2 0 0 0CBXBb x1 x2 x3 x4 x5021x3x2x12320 0 1 2 -10 1 0 1 01 0 0 -2 12/23/1-Z8 0 0 0 0 -1单纯形法的进一步讨论单纯形法的进一步讨论单纯形法的进一步讨论单纯形法的进一步讨论解的判别：解的判别：1）唯一最优解判别：最优表中所有）唯一最优解判别：最优表中所有非基变量非基变量的检验数非零的检验数非零,则线性规划具有唯一最优解。则线性规划具有唯一最优解。2）多重最优解判别：最优表中存在）多重最优解判别：最优表中存在非基变量的检验数为零非基变量的检验数为零,则线性规划具有多重最优解（或无穷多最优解）。则线性规划具有多重最优解（或无穷多最优解）。3）无界解判别：）无界解判别：某个某个k0且且aik（i=1，2,m）则线性则线性规划具有规划具有无界解无界解。4）无无可可行行解解的的判判断断：当当用用大大M单单纯纯形形法法计计算算得得到到最最优优解解并并且存在且存在Ri0时，则表明原线性规划无可行解。时，则表明原线性规划无可行解。5）退化解的判别：存在某个基变量为零的基本可行解。）退化解的判别：存在某个基变量为零的基本可行解。单纯形法的进一步讨论单纯形法的进一步讨论单纯性法小结单纯性法小结:建建立立模模型型个个 数数取取 值值右右 端端 项项等式或等式或不等式不等式极大或极小极大或极小新加变新加变量系数量系数两两个个三个三个以上以上xj0xj无无约束约束xj 0 bi 0bi 0=max Zmin Zxs xa求求解解图图解解 法法、单单纯纯形形法法单单纯纯形形法法不不处处理理令令xj = xj - xj xj 0xj 0令令 xj =- xj不不处处理理约束约束条件条件两端两端同乘同乘以以-1-1加加松松弛弛变变量量xs加加入入人人工工变变量量xa减减去去xs加加入入xa不不处处理理令令z=- ZminZ=max z0-MA A 线性规划模型的应用线性规划模型的应用一般而言，一个经济、管理问题凡是满足以一般而言，一个经济、管理问题凡是满足以下条件时，才能建立线性规划模型。下条件时，才能建立线性规划模型。 要求解问题的目标函数能用数值指标来反映，且要求解问题的目标函数能用数值指标来反映，且为线性函数为线性函数 存在着多种方案存在着多种方案 要求达到的目标是在一定条件下实现的，这些约要求达到的目标是在一定条件下实现的，这些约束可用线性等式或不等式描述束可用线性等式或不等式描述 线性规划模型的应用线性规划模型的应用常见问题常见问题合理利用线材问题：如何下料使用材最少。合理利用线材问题：如何下料使用材最少。配料问题：在原料供应量的限制下如何获取最大配料问题：在原料供应量的限制下如何获取最大利润。利润。投资问题：从投资项目中选取方案，使投资回报投资问题：从投资项目中选取方案，使投资回报最大。最大。产品生产计划：合理利用人力、物力、财力等，产品生产计划：合理利用人力、物力、财力等，使获利最大。使获利最大。劳动力安排：用最少的劳动力来满足工作的需要。劳动力安排：用最少的劳动力来满足工作的需要。运输问题：如何制定调运方案，使总运费最小。运输问题：如何制定调运方案，使总运费最小。 线性规划模型的应用线性规划模型的应用 (1)设立决策变量；设立决策变量； (2)明确约束条件并用决策变量的线性等式或不等式表明确约束条件并用决策变量的线性等式或不等式表示；示； (3)用决策变量的线性函数表示目标，并确定是求极大用决策变量的线性函数表示目标，并确定是求极大（Max）还是极小（）还是极小（Min）；）； (4)根据决策变量的物理性质研究变量是否有非负性。根据决策变量的物理性质研究变量是否有非负性。建立线性规划模型的过程可以分为四个步骤：建立线性规划模型的过程可以分为四个步骤： 线性规划在经济管理中的应用线性规划在经济管理中的应用1. 资源的合理利用资源的合理利用 某厂计划在下一生产周期内生产某厂计划在下一生产周期内生产B1,B2, Bn种产品，要消耗种产品，要消耗A1,A2, Am种资源，已知每件产品所消耗的资源数、每种资源的数量限制以及种资源，已知每件产品所消耗的资源数、每种资源的数量限制以及每件产品可获得的利润如表所示，问如何安排生产计划，才能充分利用每件产品可获得的利润如表所示，问如何安排生产计划，才能充分利用现有的资源，使获得的总利润最大？现有的资源，使获得的总利润最大？单件单件 产产 消耗消耗 品品资源资源资源资源限制限制单件利润单件利润 线性规划在经济管理中的应用线性规划在经济管理中的应用2. 生产组织与计划问题生产组织与计划问题 某工厂用机床某工厂用机床A1,A2, Am 加工加工B1,B2, Bn 种零件。在一个周期内，种零件。在一个周期内，各机床可能工作的机时（台时），工厂必须完成各种零件的数量、各机各机床可能工作的机时（台时），工厂必须完成各种零件的数量、各机床床加工每个零件的时间加工每个零件的时间（机时（机时/个）和个）和加工每个零件的成本加工每个零件的成本（元（元/个）如个）如表所示，问如何安排各机床的生产任务，才能完成加工任务，又使总成表所示，问如何安排各机床的生产任务，才能完成加工任务，又使总成本最低？本最低？加工加工 零零 时间时间 件件机床机床机时机时限制限制必须零件数必须零件数加工加工 零零 成本成本 件件机床机床例例1：某厂生产某厂生产、三种产品，都分别经三种产品，都分别经A、B两道工序加工。设两道工序加工。设A工序可分别在设备工序可分别在设备A1和和A2上完上完成，有成，有B1、B2、B3三种设备可用于完成三种设备可用于完成B工序。已知工序。已知产品产品可在可在A、B任何一种设备上加工；产品任何一种设备上加工；产品可在任可在任何规格的何规格的A设备上加工，但完成设备上加工，但完成B工序时，只能在工序时，只能在B1设备上加工；产品设备上加工；产品只能在只能在A2与与B2设备上加工。设备上加工。加加工单位产品所需工序时间工单位产品所需工序时间及其他各项数据如下表，及其他各项数据如下表，试安排最优生产计划，使该厂获利最大。试安排最优生产计划，使该厂获利最大。设备设备产品产品设备有效设备有效台时台时设备加工费设备加工费（单位小时）（单位小时）A15106000300A2791210 000321B1684000250B24117000783B374000200原料费（每件）原料费（每件）0.250.350.5售价（每件）售价（每件）1.252.002.8解：设解：设xijk表示表示产品产品i在工序在工序j的设备的设备k上上加工的数量。约束条加工的数量。约束条件有：件有：目标是利润最大化，即利润的计算公式如下：目标是利润最大化，即利润的计算公式如下：这样得到目标函数这样得到目标函数Max (1.25-0.25)(Max (1.25-0.25)(x x111111+ +x x112 112 )+(2-0.35)+(2-0.35)x x221221+(2.80-0.5)+(2.80-0.5)x x312312- -300/6000(5300/6000(5x x111111+10+10x x211 211 )-321/10000(7)-321/10000(7x x112112+9+9x x212212+12+12x x312 312 )- )- 250/4000(6250/4000(6x x121121+8+8x x221 221 )-783/7000(4)-783/7000(4x x122122+11+11x x322 322 )-)-200/4000(7200/4000(7x x123123) )经整理可得：经整理可得： Max 0.75 Max 0.75x x111111+0.7753+0.7753x x112112+1.15+1.15x x211211+1.3611+1.3611x x212212+1.9148+1.9148x x312312- -0.3750.375x x121121-0.5-0.5x x221221-0.4475-0.4475x x122122-1.2304-1.2304x x322322-0.35-0.35x x123123 因此该规划问题的模型为：因此该规划问题的模型为： 例例2 2：明兴公司生产甲、乙、丙三种产品，都需要经过铸造、机加工和明兴公司生产甲、乙、丙三种产品，都需要经过铸造、机加工和装配三个车间。甲、乙两种产品的铸件可以外包协作，亦可以自行生产，装配三个车间。甲、乙两种产品的铸件可以外包协作，亦可以自行生产，但产品丙必须本厂铸造才能保证质量。数据如下表。问：公司为了获得最但产品丙必须本厂铸造才能保证质量。数据如下表。问：公司为了获得最大利润，甲、乙、丙三种产品各生产多少件？甲、乙两种产品的铸造中，大利润，甲、乙、丙三种产品各生产多少件？甲、乙两种产品的铸造中，由本公司铸造和由外包协作各应多少件？由本公司铸造和由外包协作各应多少件？线性规划在管理中的应用线性规划在管理中的应用解：设解：设 x x1 1, ,x x2 2, ,x x3 3 分别为三道工序都由本公司加工的甲、乙、丙分别为三道工序都由本公司加工的甲、乙、丙三种产品的件数，三种产品的件数， x x4 4, ,x x5 5 分别为由外协铸造再由本公司机加工分别为由外协铸造再由本公司机加工和装配的甲、乙两种产品的件数。和装配的甲、乙两种产品的件数。 求求 x xi i 的利润：利润的利润：利润 = = 售价售价 - - 各成本之和各成本之和可得到可得到 x xi i（i=1,2,3,4,5i=1,2,3,4,5）的利润分别为）的利润分别为1515、1010、7 7、1313、9 9元。元。这样我们建立如下的数学模型。这样我们建立如下的数学模型。目标函数：目标函数： Max 15 Max 15x x1 1 + 10 + 10x x2 2 + 7 + 7x x3 3 + 13 + 13x x4 4 + 9 + 9x x5 5 约束条件：约束条件： s.t. 5 s.t. 5x x1 1 + 10 + 10x x2 2 + 7 + 7x x3 3 8000 8000 6 6x x1 1 + 4 + 4x x2 2 + 8 + 8x x3 3 + 6 + 6x x4 4 + 4 + 4x x5 5 12000 12000 3 3x x1 1 + 2 + 2x x2 2 + 2 + 2x x3 3 + 3 + 3x x4 4 + 2 + 2x x5 5 10000 10000 x x1 1, ,x x2 2, ,x x3 3, ,x x4 4, ,x x5 5 0 0 线性规划在经济管理中的应用线性规划在经济管理中的应用例例3：现有一批某种型号的圆钢长：现有一批某种型号的圆钢长8米，需要截取米，需要截取2.5米长的毛坯米长的毛坯100根，长根，长1.3米的毛坯米的毛坯200根。问如何才根。问如何才能既满足需要，又能使总的用料最少？能既满足需要，又能使总的用料最少？解：为了找到一个省料的套裁方案，必须先设计出较好的几解：为了找到一个省料的套裁方案，必须先设计出较好的几个下料方案。其次要求这些方案的总体能裁下所有各种规格个下料方案。其次要求这些方案的总体能裁下所有各种规格的圆钢，以满足对各种不同规格圆钢的需要并达到省料的目的圆钢，以满足对各种不同规格圆钢的需要并达到省料的目的，为此可以设计出的，为此可以设计出4种下料方案以供套裁用。种下料方案以供套裁用。2.5m32101.3m0246料头料头0.50.40.30.23. 合理下料问题合理下料问题 线性规划在管理中的应用线性规划在管理中的应用设按方案设按方案、下料的原材料根数分别为下料的原材料根数分别为xj (j=1，2,3,4)，可列出下面的数学模型：，可列出下面的数学模型： 线性规划在经济管理中的应用线性规划在经济管理中的应用4. 合理配料问题合理配料问题 某饲养场用某饲养场用n种饲料种饲料B1,B2, Bn配置成含有配置成含有m种营养成分种营养成分A1,A2, Am的混合饲料，其余资料如表所示。问应如何配料，才的混合饲料，其余资料如表所示。问应如何配料，才能既满足需要，又使混合饲料的总成本最低？能既满足需要，又使混合饲料的总成本最低？解：解： 线性规划在管理中的应用线性规划在管理中的应用例例4：某人每天食用甲、乙两种食物（如猪肉、鸡蛋）：某人每天食用甲、乙两种食物（如猪肉、鸡蛋），其资料如下：问两种食物各食用多少，才能既满足，其资料如下：问两种食物各食用多少，才能既满足需要、又使总费用最省？需要、又使总费用最省？ 2 1.5原料单价原料单价1.007.5010.00 0.1 0.15 1.7 0.75 1.10 1.30A1A2A3 最最 低低需要量需要量 甲甲 乙乙含量含量 食食物物成分成分解：设解：设Xj 表示表示Bj 种食物用量种食物用量例例5 5某工厂要用某工厂要用三种原料三种原料1 1、2 2、3 3混合调配出三种不同规格的混合调配出三种不同规格的产品甲、乙、丙，数据如下表。问：该厂应如何安排生产，使产品甲、乙、丙，数据如下表。问：该厂应如何安排生产，使利润收入为最大？利润收入为最大？解：解： 设设 x xijij 表示第表示第 i i 种（甲、乙、丙）产品中原料种（甲、乙、丙）产品中原料 j j 的含量。的含量。这样我们建立数学模型时，要考虑：这样我们建立数学模型时，要考虑： 对于甲：对于甲： x x1111，x x1212，x x1313； 对于乙：对于乙： x x2121，x x2222，x x2323； 对于丙：对于丙： x x3131，x x3232，x x3333； 对于原料对于原料1 1： x x1111，x x2121，x x3131； 对于原料对于原料2 2： x x1212，x x2222，x x3232； 对于原料对于原料3 3： x x1313，x x2323，x x3333； 目标函数：目标函数： 利润最大，利润利润最大，利润 = = 收入收入 - - 原料支出原料支出 约束条件：约束条件： 规格要求规格要求 4 4 个；个； 供应量限制供应量限制 3 3 个。个。Max z = -15Max z = -15x x1111+25+25x x1212+15+15x x1313-30-30x x2121+10+10x x2222-40-40x x3131-10-10x x3333 s.t. 0.5 s.t. 0.5 x x1111-0.5 -0.5 x x12 12 -0.5 -0.5 x x1313 0 0 （原材料（原材料1 1不少于不少于50%50%） -0.25 -0.25x x1111+0.75+0.75x x1212 -0.25 -0.25x x1313 0 0 （原材料（原材料2 2不超过不超过25%25%） 0.75 0.75x x2121-0.25-0.25x x2222 -0.25 -0.25x x2323 0 0 （原材料（原材料1 1不少于不少于25%25%） -0.5 -0.5 x x2121+0.5 +0.5 x x2222 -0.5 -0.5 x x2323 0 0 （原材料（原材料2 2不超过不超过50%50%） x x1111+ + x x2121 + + x x3131 100 ( 100 (供应量限制）供应量限制） x x1212+ + x x2222 + + x x3232 100 ( 100 (供应量限制）供应量限制） x x1313+ + x x2323 + + x x3333 60 ( 60 (供应量限制）供应量限制） x xijij 0 , i = 1,2,3; j = 1,2,3 0 , i = 1,2,3; j = 1,2,3 线性规划在管理中的应用线性规划在管理中的应用5.人力资源分配问题人力资源分配问题例例6 某昼夜服务的公交线路每天各时间段内所需某昼夜服务的公交线路每天各时间段内所需司机和乘务人员人数如下表所示：司机和乘务人员人数如下表所示：班次班次时间时间所需人员所需人员16:0010:0060210:0014:0070314:0018:0060418:0022:0050522:002:002062:006:0030设司机和乘务人员分别在各时间段开始时上班，并连续工作设司机和乘务人员分别在各时间段开始时上班，并连续工作8小时，问小时，问该公交线路应怎样安排司机和乘务人员，即能满足工作需要，又使配备该公交线路应怎样安排司机和乘务人员，即能满足工作需要，又使配备司机和乘务人员的人数减少司机和乘务人员的人数减少?解：设解：设xi表示第表示第i班次时开始上班的司机和乘务人员人数。班次时开始上班的司机和乘务人员人数。此问题最优解：此问题最优解：x150， x220， x350， x40， x520， x610，一，一共需要司机和乘务员共需要司机和乘务员150人。人。 例例7 7某部门现有资金某部门现有资金200200万元，今后五年内考虑给以下的项目投资。已知：项万元，今后五年内考虑给以下的项目投资。已知：项目目A A：从第一年到第五年每年年初都可投资，当年末能收回本利：从第一年到第五年每年年初都可投资，当年末能收回本利110%110%；项目；项目B B：从第：从第一年到第四年每年年初都可投资，次年末能收回本利一年到第四年每年年初都可投资，次年末能收回本利125%125%，但规定每年最大投资额，但规定每年最大投资额不能超过不能超过3030万元；项目万元；项目C C：需在第三年年初投资，：需在第三年年初投资，第五年末第五年末能收回本利能收回本利140%140%，但规，但规定最大投资额不能超过定最大投资额不能超过8080万元；项目万元；项目D D：需在第二年年初投资，：需在第二年年初投资，第五年末第五年末能收回本能收回本利利155%155%，但规定最大投资额不能超过，但规定最大投资额不能超过100100万元；万元； 据测定每万元每次投资的风险指数如右表：据测定每万元每次投资的风险指数如右表：问：a a）应如何确定这些项目的每年投资额，使得第五年年末拥有资金的本利金额为最）应如何确定这些项目的每年投资额，使得第五年年末拥有资金的本利金额为最大？大？b b）应如何确定这些项目的每年投资额，使得第五年年末拥有资金的本利在）应如何确定这些项目的每年投资额，使得第五年年末拥有资金的本利在330330万元万元的基础上使得其投资总的风险系数为最小？的基础上使得其投资总的风险系数为最小？ 解：解： 1 1）确定决策变量：连续投资问题 设 xij ( i = 1 - 5，j = 1、2、3、4)表示第 i 年初投资于A(j=1)、B(j=2)、C(j=3)、D(j=4)项目的金额。这样我们建立如下的决策变量： A x11 x21 x31 x41 x51 B x12 x22 x32 x42 C x33 D x246.6.投资问题投资问题2 2）约束条件：）约束条件：第一年：A当年末可收回投资，故第一年年初应把全部资金投出去，于是 x11+ x12 = 200；第二年：B次当年末才可收回投资故第二年年初的资金为 x11，于是 x21 + x22+ x24 = 1.1x11；第三年：年初的资金为 x21+x12，于是 x31 + x32+ x33 = 1.1x21+ 1.25x12；第四年：年初的资金为 x31+x22，于是 x41 + x42 = 1.1x31+ 1.25x22；第五年：年初的资金为 x41+x32，于是 x51 = 1.1x41+ 1.25x32； B、C、D的投资限制： xi2 30 ( I =1、2、3、4 )，x33 80，x24 100 3 3）目标函数及模型：）目标函数及模型：a) Max z = 1.1x51+ 1.25x42+ 1.4x33 + 1.55x24 s.t. x11+ x12 = 200 x21 + x22+ x24 = 1.1x11； x31 + x32+ x33 = 1.1x21+ 1.25x12； x41 + x42 = 1.1x31+ 1.25x22； x51 = 1.1x41+ 1.25x32； xi2 30 ( I =1、2、3、4 )，x33 80，x24 100 xij 0 ( i = 1、2、3、4、5；j = 1、2、3、4） b) Min f = (x11+x21+x31+x41+x51)+3(x12+x22+x32+x42)+4x33+5.5x24 s.t. x11+ x12 = 200 x21 + x22+ x24 = 1.1x11； x31 + x32+ x33 = 1.1x21+ 1.25x12； x41 + x42 = 1.1x31+ 1.25x22； x51 = 1.1x41+ 1.25x32； xi2 30 ( I =1、2、3、4 )，x33 80，x24 100 1.1x51 + 1.25x42+ 1.4x33+ 1.55x24 330 xij 0 ( i = 1、2、3、4、5；j = 1、2、3、4）投资问题（续）投资问题（续）