异面直异面直线的的夹角角 兰兰 州州 市市 第第 58 中中NO .58 MIDDLE SCHOOL OF LANZHOU平行公理平行公理 平行同一条直线的两条直线互相平行平行同一条直线的两条直线互相平行等角定理等角定理 空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么 这两个角相等或互补这两个角相等或互补. . 异面直线异面直线 不同在任何一个平面内的两条直线不同在任何一个平面内的两条直线温故知新温故知新 平行直线平行直线相交直线相交直线异面直线异面直线空间两直线的位置关系空间两直线的位置关系异面直线的画法异面直线的画法 用平面来衬托用平面来衬托知识探究知识探究 在平面内在平面内,两条直线相交成四个角两条直线相交成四个角, 其中其中不大于不大于90度度的角称为它们的角称为它们的夹角的夹角, 如图如图. 在空间在空间,如图所示如图所示, 正方体正方体ABCDEFGH中中, 异面直线异面直线AB与与HF的错开程度可以怎样来刻的错开程度可以怎样来刻画呢画呢?ABGFHEDCO(2)(2)问题提出问题提出(1)(1)旧识回顾旧识回顾异面直线所成的角异面直线所成的角异面直线所成角的定义异面直线所成角的定义: 如图如图,已知两条异面直线已知两条异面直线 a , b , 经过空间任一点经过空间任一点O作作 直线直线 a a , b b 则把则把 a 与与 b 所成的锐角所成的锐角(或直角或直角)叫做异面直线所成的角叫做异面直线所成的角(或或夹角夹角).abb aO思考1 : 这个角的大小与O点的位置有关吗 ? 即O点位置不同时, 这一角的大小是否改变?异面直线所成的角的范围( 0 , 90 oo如果两条异面直线 a , b 所成的角为直角，我们就称这两条直线互相垂直 , 记为a b注2a 知识探究知识探究异面直线所成的角异面直线所成的角思考思考2 2：在平面几何中，垂直于同一条直线的两直线互相在平面几何中，垂直于同一条直线的两直线互相平行，在空间中这个结论还成立吗平行，在空间中这个结论还成立吗 ?思考思考3 3：如果两条平行直线中有一条与某一条直线垂直如果两条平行直线中有一条与某一条直线垂直, ,那那么另一条是否也与这条直线垂直？为什么？么另一条是否也与这条直线垂直？为什么？ 不成立不成立成立（定理）成立（定理）二、异面直线所成的角二、异面直线所成的角合作探究合作探究ABGFHEDC 思考4：在空间,如图所示, 正方体ABCDEFGH中, （1）异面直线AB与HF所成的角是多少呢?（2）哪些棱与AE垂直？（3）如果两条平行直线中的一条与某一条直线垂直， 那么另一条是否也与这条直线垂直？（4）垂直于同一直线的两直线是否平行？小试牛刀一小试牛刀一例例1：在正方体：在正方体ABCD-EFGH中中AE=a （1）求求EB与与HF所成的角所成的角 （2）求）求AG与与BD所成的角所成的角ABGFHEDC典例展示典例展示求异面直线所成角的步骤是求异面直线所成角的步骤是:一作一作( (找找) )：作（或找）异面直线所成角：作（或找）异面直线所成角二证：证明所作二证：证明所作( (或找或找) )的角为所求的异的角为所求的异 面直线所成的角。面直线所成的角。三求：在一恰当的三角形中求出角三求：在一恰当的三角形中求出角例例1.在正方体在正方体ABCD-EFGH中中AE=a （1）求求EB与与HF所成的角所成的角 （2）求）求AG与与BD所成的角所成的角ABGFHEDC小结：找异面直线所成角的小结：找异面直线所成角的方法是：利用平行四边形或方法是：利用平行四边形或三角形中位线平移至端点，三角形中位线平移至端点，中点。中点。PO典例展示典例展示 如图,已知长方体ABCD-EFGH中, AB = , AD = , AE = 2 (1)求BC 和EG 所成的角是多少度?(2)求AE 和BG 所成的角是多少度?解答：(1)GFBC EGF（或其补角）为所求. RtEFG中，求得EGF = 45o(2) BFAE FBG（或其补角）为所求,RtBFG中，求得FBG = 60oABGFHEDC2小试牛刀二小试牛刀二典例展示典例展示例例2、在在长方体方体ABCDA1B1C1D1中，中，A A1= AB = 2，AD = 1，找出异面直，找出异面直线A1C1与与BD1所成的所成的角。角。ABCDABCD1111小试牛刀三小试牛刀三练习练习1：（：（05福建卷）如图，长方体福建卷）如图，长方体ABCDA1B1C1D1中，中，AA1 = AB = 2，AD = 1，E、F、G分别分别是是DD1、AB、CC1的中点，则异面直线的中点，则异面直线A1E与与GF所成所成的角是的角是_。 ABCDABCD1111EFG练习练习2：如图，正四面体如图，正四面体SA BC中如果中如果E、F分别为分别为SC、 A B的中点，的中点，SABC,那么异面直线那么异面直线EF与与SA所所成角等于（成角等于（ ） A90 B60 C45 D30课堂练习课堂练习小试牛刀三小试牛刀三练习3：正方体ABCD- A1B1C1D1中,AC、BD交于O,则OB1与A1C1所成的角的度数为A1B1C1D1ABCDO900A1B1C1D1ABCDO课堂练习课堂练习小试牛刀三小试牛刀三定角一般方法有：定角一般方法有：（1）平移法（常用方法）1 1、求异面直线所成的角是把空间角转化为平面角，、求异面直线所成的角是把空间角转化为平面角，体现了化归的数学思想。体现了化归的数学思想。2 2、当异面直线、当异面直线垂直垂直时，还可应用线面垂直的有时，还可应用线面垂直的有 关知识关知识解决。解决。（2）补形法化归的一般步骤是：定角求角课堂小结课堂小结