第六章第六章 欧几里得空间欧几里得空间 (Euclid Spaces)第一节第一节 欧几里得空间欧几里得空间6.1 6.1 向向量的标准内积量的标准内积6.2 6.2 标标准正交基准正交基第二节第二节 正交变换正交变换第一节第一节 欧几里得空间欧几里得空间一、基本概念设是实线性空间,如果存在一个法则 使得 中任意两个向量 有 中一个确定的实数 与之对应,且具有如下性质:1) 对称性: 3) 正定性: 2) 线性性: 这里 ,那么实数 称为 与 内积,而 称为关于这个内积的 的欧氏空间,简称欧氏空间.定义:我们我们例例 在规定 里,对于任意两个向量容易验证,关于内积的公理被满足,因而 对于这样定义的内积来说作成一个欧氏空间. 例例 在规定 里,对于任意向量不难验证, 也作成一个欧氏空间. 定义定义向量的长度具有下列性质：向量的长度具有下列性质：2 欧几里德空间的基本性质定义定义约定：单独一个非零向量也叫一个正交组。 欧氏空间 的一组非零向量，如果它们两两正交(内积等于零)，就称之为一个正交组。全由单位向量构成的正交组称为标准正交组。在 中，与为标准正交基，而是是正交组但不是标准正交组3 标准正交基底定义定义例例定理 正交组必是线性无关组。 证：证：设有 使得 因为当ij 时 ，所以 但 ，所以 即 线性无关. 设 为维欧氏空间，若基而由标准正交组作成的基称为标准正是正交组，则称之为 的一个正交基。交基。维欧氏空间中正交组中向量的个数 的标准正交基是存在的但不是唯一的。定义定义注意注意Rn标准正交基的性质设 为 的一个正标准正交基，而 则 维欧氏空间 的标准正交基是存在的。 为 的一个正标准正交基的充分 的度量矩阵必要条件是。即12 维欧氏空间中任一个正交向量组都能扩充成一组标准正交基. 对于 维欧氏空间中任一组基都可以找到一组标准正交基 ，使得 ,即 定理定理施密特正交化方法施密特正交化方法例例 在欧氏空间 中对基 施行正交化方法得出 的一个标准正交基. 解解: :第一步，取第二步，先取然后令第三步，取 再令于是 就是 的一个规范正交基。 定义定义第二节第二节 正交变换正交变换方阵为正交矩阵的充分必要条件是的行方阵为正交矩阵的充分必要条件是的行（列）向量都是单位向量，且两两正交（列）向量都是单位向量，且两两正交定义定义若为正交矩阵，则线性变换称为若为正交矩阵，则线性变换称为正交变换正交变换正交变换的特性在于保持线段的长度不变正交变换的特性在于保持线段的长度不变设是 的一个正交变换，关于 的一个规范正交基 的矩阵是那么U 是一个正交矩阵. 于是（2 2） 由第一个等式，存在一个角，使a = cos ，c = sinV2空间的正交变换由于cos cos = = cos()cos()， sin sin = = sinsin（）因此可以令a a = = cos cos ，c = sin c = sin 这里 =或 . 同理，由（4）的第二个等式，存在一个角使b b = = coscos，d d = = sinsin将a, b, c, d代入（4）的第三个等式得CosCoscoscos + sin+ sinsinsin = 0 = 0或cos(cos(+ +) = 0) = 0最后等式表明， 是 的一个奇数倍. 由此得所以或 在前一情形中，是将 的每一向量旋转角的旋转； 这样， 的正交变换或者是一个旋转，或者是关于一条过原点的直线的反射. 坐标的向量. 这时是直线的反射. 在后一情形，将 中以（x, y）为坐标的变量变成以(xcos+ysin, xsinycos) 为一、如何证明所给矩阵为正交矩阵证明证明将线性无关向量组化为正交单位向量组，可将线性无关向量组化为正交单位向量组，可以先正交化，再单位化；也可同时进行正交化与以先正交化，再单位化；也可同时进行正交化与单位化单位化二、将线性无关向量组化为正交单位向量组解一解一先正交化，再单位化先正交化，再单位化解二解二同时进行正交化与单位化同时进行正交化与单位化