第三章第三章 常见曲面常见曲面 本章的讨论均在右手直角坐标系中进行本章的讨论均在右手直角坐标系中进行 1 1 球面和旋转面球面和旋转面 1.1 球面的普通方程球面的普通方程 其中，其中， (3.1)展开得展开得 (3.2) 球心为球心为 ，半径为，半径为 的球面的方程的球面的方程. (3.2)式没有交叉项，平方项系数相同，反之，式没有交叉项，平方项系数相同，反之，形如形如(3.2)的方程在的方程在 时表示一个球时表示一个球面，面， 时表示一个点，而时表示一个点，而 时表示虚球面。时表示虚球面。1.2 球面的参数方程，点的球面坐标球面的参数方程，点的球面坐标 1. 1. 如果球心在原点，半径如果球心在原点，半径为为 ，在球面上任取一点，在球面上任取一点 ，从，从 作作 面的垂线，垂足面的垂线，垂足为为 ，连，连 . 设设 轴到轴到 的角度为的角度为 ， 到到 的角度的角度为为 (3.3) (3.3)称为球心在原点，半径为称为球心在原点，半径为 的球面的的球面的参参数方程数方程，有两个参数，有两个参数 其中其中 称为称为经度经度， 称称为为纬度纬度. 2. 2.除除z z轴外，空间中的任一点都可由有序三元轴外，空间中的任一点都可由有序三元组组 唯一确定，我们称该三元组为空间唯一确定，我们称该三元组为空间中点的中点的球面坐标球面坐标（或（或空间极坐标空间极坐标） 1.3 曲面和曲线的普通方程、参数方程曲面和曲线的普通方程、参数方程 1. 1.从球面的普通方程从球面的普通方程(3.2)和参数方程和参数方程(3.3)可可看到，一般来说，曲面的看到，一般来说，曲面的普通方程普通方程是一个三元方是一个三元方程程 . 曲面的曲面的参数方程参数方程是含两个参数是含两个参数的方程：的方程： 其中，对于其中，对于 的每一对值，由的每一对值，由(3.5)确定的点确定的点 在此曲面上；而此曲面上任一点的坐标都可以由在此曲面上；而此曲面上任一点的坐标都可以由 的某一对值通过的某一对值通过(3.5)表示表示. 于是通过曲面的参数方于是通过曲面的参数方程程(3.5)，曲面上的点（可能要除去个别点）便可，曲面上的点（可能要除去个别点）便可以由数对以由数对 来确定，因此来确定，因此 称为曲面上点的称为曲面上点的曲曲纹坐标纹坐标. 2. 2.空间中曲线的空间中曲线的普通方程普通方程可表为两个三元方程可表为两个三元方程的联立方程组：的联立方程组： 即空间中曲线可以看成是两个曲面的交线即空间中曲线可以看成是两个曲面的交线. 曲线的曲线的参数方程参数方程是含有一个参数的方程：是含有一个参数的方程： 3.3.例例 球面球面 与与 平面相交所得平面相交所得的圆的普通方程为的圆的普通方程为 而这个圆的参数方程是：而这个圆的参数方程是： 1.4 旋转面旋转面 球面可以看成是一个半圆绕它的直径旋转一球面可以看成是一个半圆绕它的直径旋转一周所形成的曲面周所形成的曲面. 现在来研究更一般的情形现在来研究更一般的情形. 1.1.定义定义3.1 一条曲线一条曲线 绕一绕一条直线条直线 旋转所得的曲面称为旋转所得的曲面称为旋旋转面转面. . 称为称为轴轴， 称为称为母线母线. 母线母线 上每个点上每个点 绕绕 旋转一旋转一周得到一个圆，称为周得到一个圆，称为纬圆纬圆，它与，它与轴轴l垂直。过轴的垂直。过轴的半平面与旋转半平面与旋转面的交线称为面的交线称为经线经线（或（或子午线子午线）. 经线可以是母线，但母线不一定是经经线可以是母线，但母线不一定是经线。线。2.2.设轴设轴 过点过点 ，方，方向向量为向向量为 ，母线，母线 的方的方程为：程为： 求旋转面的方程求旋转面的方程. 点点 在旋转面上的充分必在旋转面上的充分必要条件是要条件是 在经过母线在经过母线 上某一上某一点点 的纬圆上（如图的纬圆上（如图3.2）. 因此有：因此有：从这个方程组中消去参数从这个方程组中消去参数 , ,就得到就得到 的方程，它就是所求旋转面的方程的方程，它就是所求旋转面的方程. 3. 现在设旋转轴为现在设旋转轴为 轴，母线轴，母线 在在 平面上，平面上，方程为方程为 : 则点则点 在旋转面上的充分必要条件是：在旋转面上的充分必要条件是： 消去参数消去参数 ，得，得 这个曲面称为这个曲面称为旋转抛物面旋转抛物面（如图）（如图）. 绕绕 轴旋转所得旋转面方程为轴旋转所得旋转面方程为 4.4.例例3.1 母线母线 5.5.例例3.2 母线母线 绕绕 x x 轴旋转所得曲面的方程为轴旋转所得曲面的方程为 这个曲面称为这个曲面称为旋转双叶双曲面旋转双叶双曲面（如图）（如图）. 绕绕y y 轴旋转所得曲面的方程为轴旋转所得曲面的方程为 这个曲面称为这个曲面称为旋转单叶双曲面旋转单叶双曲面（如图）（如图）. 6.6.例例3.3 圆圆 绕绕z z轴旋转所得曲面为轴旋转所得曲面为 即即 这个曲面称为这个曲面称为环面环面（如图）（如图）. 7.7.例例3.4 设设 和和 是两条异面直线，它们不垂直是两条异面直线，它们不垂直. 求求 绕绕 旋转所得曲面的方程旋转所得曲面的方程. 解解 设设 和和 的距离为的距离为 . 以以 为为z轴，以轴，以 和和 的的公垂线为公垂线为x x轴，并且设轴，并且设 与轴与轴x x的交点为的交点为 ，建，建立一个右手直角坐标系立一个右手直角坐标系. 设设 的方向向量为的方向向量为 , 因为因为 与与x x轴垂直轴垂直,所以所以 ，得，得 . 因为因为 异面异面 ，所以，所以 ，于是，于是 . 因此可因此可设设v v 的坐标为的坐标为 . 因为因为 与与 不垂直，所以不垂直，所以 . 于是于是 . 因此，因此， 的参数方程为的参数方程为 点点M(x,y,z)M(x,y,z)在旋转面上的充要条件是在旋转面上的充要条件是 消去参数消去参数 ，得，得 即即 这是一个旋转这是一个旋转单叶双曲面单叶双曲面. 作业作业: (1)复习第复习第3章第章第1节节;(2)P80: 2(3)(4),3,5(1),7,9(3)(6)(9)(10);