第一章第一章 统计案例统计案例1.1回归分析的基本思想回归分析的基本思想及其初步应用及其初步应用【学习目标】（1）了解线性回归模型与函数模型的差异；（2）了解判断刻画模型拟合效果的方法残差分析和相关指数。.复习、变量之间的两种关系问题1：正方形的面积y与正方形的边长x之间的函数关系是2确定性关系y = x问题2：某水田水稻产量y与施肥量x之间是否-有一个确定性的关系？例如：在 7 块并排、形状大小相同的试验田上 进行施肥量对水稻产量影响的试验，得到如下所示的一组数据：施化肥量x水稻产量y15 20 25 30 35 40 45330 345 365 405 445 450 4551、现实生活中两个变量间的关系、现实生活中两个变量间的关系 : :不相关不相关两个变量的关系两个变量的关系函数关系函数关系复习回顾复习回顾线性相关线性相关非线性相关非线性相关相关关系相关关系相关关系相关关系：对于两个变量，当自变量取值一定时，因：对于两个变量，当自变量取值一定时，因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系 . .函数关系中的两个变量间是一种确定性关系；函数关系中的两个变量间是一种确定性关系；相关关系是一种非确定性关系；相关关系是一种非确定性关系；函数关系是一种理想的关系模型；函数关系是一种理想的关系模型；相关关系在现实生活中大量存在，是更一般的情况。相关关系在现实生活中大量存在，是更一般的情况。探究：现实生活中存在着大量的相关关系如：人的身高与年龄；产品的成本与生产数量；商品的销售额与广告费；家庭的支出与收入。等等对具有相关关系的两个变量进行统计分析的方法叫回归分析。探索：水稻产量y与施肥量x之间大致有何规律？2、回归直线方程：?1、所求直线方程y y?叫做回归直?= = bx+abx+a-线方程；其中?b b = =?(x(xi=1i=1n ni i- -x)(yx)(yi i- -y)y)= =i i?x xy y- -nxynxyi ii=1i=1n ni in n?(x(xi=1i=1n n- -x)x)2 2?x xi=1i=12 2i i- -nxnx2 2, ,? a a = = y y- -bxbx2.相应的直线叫做回归直线。3、对两个变量进行的线性分析叫做线性回归分析。3、步骤：两个具有线性相关关系的变量的统计分析：、步骤：两个具有线性相关关系的变量的统计分析：样本点：样本点：(x1, y1),(x2, y2),. ,(xn, yn)（1）画散点图；）画散点图；? bx? a ?（2）求回归直线方程）求回归直线方程 (最小二乘法最小二乘法)：yn?b?(x ? X)(yii?1i? Y)2?(Xi?1n? Y ? bXa(X,Y)为样本点的中心为样本点的中心? X)i（3）利用回归直线方程进行预报；）利用回归直线方程进行预报；这种方法称为回归分析这种方法称为回归分析 .回归分析回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法的一种常用方法 .相关关系的测度相关关系的测度（相关系数取值及其意义）完全负相关完全负相关无线性相关无线性相关完全正相关完全正相关-1.0-0.50+0.5正相关程度增加正相关程度增加+1.0r负相关程度增加负相关程度增加2018/2/8郑平正 制作探究一探究一线性回归模型线性回归模型例例1 某大学中随机选取某大学中随机选取 8名女大学生，其身高和体重名女大学生，其身高和体重数据如下表所示数据如下表所示 .编号编号体重体重/kg/kg1 148482 257573 350504 454545 564646 661617 743438 85959身高身高/cm/cm165165165165157157170170175175165165155155170170求根据女大学生的身高预报体重的回归方程，并预报求根据女大学生的身高预报体重的回归方程，并预报一名身高为一名身高为172cm的女大学生的体重的女大学生的体重 .解：取身高为自变量解：取身高为自变量 x，体重为因变量，体重为因变量y，作散点图：，作散点图：体重706050403020100150155160165身高170175180体重体重样本点呈条状分布，身高和体重有较好的线性相关关样本点呈条状分布，身高和体重有较好的线性相关关系，因此可以用回归方程来近似的刻画它们之间的关系，因此可以用回归方程来近似的刻画它们之间的关系系.由由?b?(x ? X)(yii?1ni? Y)2?(Xi?1n? Y ? bXai? X)? y故所求回归方程为：故所求回归方程为：?b? ? 0.849?得：得：? ? ? ?85.712b? ? 0.849,a? ? 0.849x? ? 85.712因此，对于身高因此，对于身高 172cm的女大学生，由回归方程可以的女大学生，由回归方程可以预报其体重为：预报其体重为：? ? 0.849? ? 172? ? 85.712? ? 60.316( kg)y是斜率的估计值，说明身高是斜率的估计值，说明身高 x每增加每增加1个单个单位时，体重位时，体重y就增加就增加0.849个单位，这表明个单位，这表明体重与身高具有正的线性相关关系体重与身高具有正的线性相关关系 .某大学中随机选取某大学中随机选取 8名女大学生，其身高和体重数据名女大学生，其身高和体重数据如下表所示如下表所示.编号编号体重体重/kg/kg1 148482 257573 350504 454545 564646 661617 743438 85959身高身高/cm/cm165165165165157157170170175175165165155155170170求根据女大学生的身高预报体重的回归方程，并预报求根据女大学生的身高预报体重的回归方程，并预报一名身高为一名身高为172cm的女大学生的体重的女大学生的体重 .? y故所求回归方程为：故所求回归方程为：? ? 0.849x? ? 85.712? ? 0.849? ? 172 ? ? 85.712? ? 60.316( kg)y认为她的平均体重的估计值是认为她的平均体重的估计值是 60.316kg.探究：身高为172cm 的女大学生的体重一定是60.316kg吗？如果不是，你能解析一下原因吗？答：身高为172cm 的女大学生的体重不一定是60.316kg，但一般可以认为她的体重接近于60.316kg 。即，用这个回归方程不能给出每个身高为172cm的女大学生的体重的预测值，只能给出她们平均体重的值。2018/2/8因为所有的样本点不共线，所以线性函数因为所有的样本点不共线，所以线性函数模型只能近似地刻画身高和体重之间的关模型只能近似地刻画身高和体重之间的关系，即：体重不仅受身高的影响，还受其系，即：体重不仅受身高的影响，还受其他因素的影响，把这种影响的结果用他因素的影响，把这种影响的结果用e来来表示，从而把线性函数模型修改为线性回表示，从而把线性函数模型修改为线性回归模型：归模型：y=bx+a+e. 其中，其中，e包含体重不能包含体重不能由身高的线性函数解释的所有部分由身高的线性函数解释的所有部分. .线性回归模型线性回归模型y=bx+a+e其中其中a和和b为模型的未知参数，为模型的未知参数， e是是y与与bx+a之间的误差，通常之间的误差，通常 e为随机变量为随机变量，称为，称为随机误差随机误差. .线性回归模型适用范围比一次函数的适用范围大线性回归模型适用范围比一次函数的适用范围大得多得多. .当随机误差当随机误差e e恒等于恒等于0 0时，线性回归模型就变成一时，线性回归模型就变成一次函数模型次函数模型. .即：一次函数模型是线性回归模型的特殊即：一次函数模型是线性回归模型的特殊形式，线性回归模型是一次函数模型的一般形式形式，线性回归模型是一次函数模型的一般形式 . .随机误差随机误差e e的主要来源：的主要来源：（1 1）用线性回归模型近似真实模型用线性回归模型近似真实模型 （真实模型是客观（真实模型是客观存在的，但我们并不知道到底是什么）存在的，但我们并不知道到底是什么） 所引起的误差所引起的误差. .可能存在非线性的函数能更好的描述可能存在非线性的函数能更好的描述 y y与与x x之间的关系，之间的关系，但我们现在却用线性函数来表述这种关系，结果就产生但我们现在却用线性函数来表述这种关系，结果就产生误差，这种由于模型近似所引起的误差包含在误差，这种由于模型近似所引起的误差包含在 e e中中. .（2 2）忽略了某些因素的影响忽略了某些因素的影响 . .影响变量影响变量y y的因素不止的因素不止变量变量x x一个，可能还有其他因素，但通常它们每一个一个，可能还有其他因素，但通常它们每一个因素的影响可能都比较小，它们的影响都体现在因素的影响可能都比较小，它们的影响都体现在 e e中中. .（3 3）观测误差观测误差. .由于测量工具等原因，得到的由于测量工具等原因，得到的 y y的观的观测值一般是有误差的，这样的误差也包含在测值一般是有误差的，这样的误差也包含在 e e中中. .以上三项误差越小，则回归模型的拟合效果越好以上三项误差越小，则回归模型的拟合效果越好 . .探究二探究二 残差分析和相关指数残差分析和相关指数随机误差随机误差e的估计量的估计量? ? y? ? y ?e?e? ? y? ? y样本点：样本点：(x1, y1),(x2, y2),. ,(xn, yn)相应的随机误差为：相应的随机误差为：?i? ? yi? ? bxi? ? a,i ? ? 1,2,.,nei? ? yi? ? y随机误差的估计值为：随机误差的估计值为：? ,i ? ? 1,2,.,nei? ? yi? ? yi? ? yi? ? bxi? ? a?i称为相应于点称为相应于点(xi, yi)的的残差残差.e在研究两个变量间的关系时，首先要根据在研究两个变量间的关系时，首先要根据散点图来粗略判断它们是否是线性相关，散点图来粗略判断它们是否是线性相关，是否可以用线性回归模型来拟合数据是否可以用线性回归模型来拟合数据.然后，然后，?1,e ?2,?,e ?n来判断模型拟来判断模型拟可以通过残差可以通过残差e合的效果，判断原始数据中是否存在可疑合的效果，判断原始数据中是否存在可疑数据数据.这方面的分析工作称为残差分析这方面的分析工作称为残差分析.下表为女大学生身高和体重的原始数据以及相应的下表为女大学生身高和体重的原始数据以及相应的残差数据：残差数据：编号编号身高身高/cm/cm1 11651652 21651653 31571574 41701705 51751756 61651657 71551558 8170170体重体重/kg/kg残差残差484857575050545464641.1371.137616143435959? e-6.373-6.3732.6272.6272.4192.419-4.618-4.6186.6276.627-2.883-2.8830.3820.382以纵坐标为残差，横坐标为编号，作出图形（以纵坐标为残差，横坐标为编号，作出图形（ 残差残差图图）来分析残差特性）来分析残差特性 .8642残差0-20-4-6-8编号246810系列1由图可知，第由图可知，第1个样本点和第个样本点和第6个样本点的残差比较大，个样本点的残差比较大，需要确认在采集这两个样本点的过程中是否有人为的需要确认在采集这两个样本点的过程中是否有人为的错误错误.如果数据采集有错误，就予以纠正，然后重新如果数据采集有错误，就予以纠正，然后重新利用线性回归模型拟合数据利用线性回归模型拟合数据 ;如果数据采集没有错误，如果数据采集没有错误，则需要寻找其他原因则需要寻找其他原因 .5、相关指数：、相关指数：R? ? 1 ? ?2? ?( yi ? ? 1ni ? ? 1ni?i)? ? y? ? y)2? ?( y2i在含有一个解释变量的在含有一个解释变量的 线性模型线性模型中，中，R2恰好等于相关恰好等于相关系数系数r的平方的平方.R2取值越大，则残差平方和越小，即模型的拟合效果取值越大，则残差平方和越小，即模型的拟合效果越好越好.2 2R ? 1，说明回归方程拟合的越好；R ? 0，说明回归方程拟合的越差。R2=0.64，表明：，表明：“女大学生的身高解释了女大学生的身高解释了 64的体的体重变化重变化”，或者说，或者说“女大学生的体重差异有女大学生的体重差异有 64是是由身高引起的由身高引起的” .1.线性回归分析以散点图为基础，具有很强线性回归分析以散点图为基础，具有很强的直观性，有散点图作比较时，拟合效果的的直观性，有散点图作比较时，拟合效果的好坏可由直观性直接判断，没有散点图时，好坏可由直观性直接判断，没有散点图时，只须套用公式求只须套用公式求r, R2再作判断即可再作判断即可.2、r的大小只说明是否相关并不能说明拟的大小只说明是否相关并不能说明拟2 2合效果的好坏，合效果的好坏， R 才是判断拟合效果好才是判断拟合效果好坏的依据坏的依据. .3 3、在含有一个解释变量的、在含有一个解释变量的线性线性模型中模型中 R R2 2 =r=r2 2（1）确定研究对象，明确哪个变量是解释变量，哪）确定研究对象，明确哪个变量是解释变量，哪个变量是预报变量个变量是预报变量 ;（2）画出确定好的解释变量和预报变量的散点图，）画出确定好的解释变量和预报变量的散点图，观察它们之间的关系（是否存在线性关系）；观察它们之间的关系（是否存在线性关系）；（3）由经验确定回归方程的类型（如观察到数据呈线）由经验确定回归方程的类型（如观察到数据呈线性关系，则选用线性回归方程性关系，则选用线性回归方程 y=bx+a）；）；（4）按一定规则估计回归方程中的参数（如最小二）按一定规则估计回归方程中的参数（如最小二乘法）；乘法）；（5）得出结果后分析残差图是否异常（个别数据对）得出结果后分析残差图是否异常（个别数据对应残差过大，或残差呈现不随机的规律性等），若存应残差过大，或残差呈现不随机的规律性等），若存在异常，则检查数据是否有误，或模型是否合适等在异常，则检查数据是否有误，或模型是否合适等 .例例2 一只红铃虫的产卵数一只红铃虫的产卵数 y和温度和温度x有关，现收集了有关，现收集了 7组观测数据列于下表，试建立组观测数据列于下表，试建立 y与与x之间的回归方程之间的回归方程 .温度温度x/x/0 0C C产卵数产卵数y/y/个个21217 72323111125252121272724242929666632323535115115325325解：收集数据作散点图：解：收集数据作散点图：350300250产卵数20015010050001020温度3040系列1在散点图中，样本点没有分布在某个带状区域内，在散点图中，样本点没有分布在某个带状区域内，因此两个变量不呈现线性相关关系，所以不能直接因此两个变量不呈现线性相关关系，所以不能直接利用线性回归方程来建立两个变量之间的关系利用线性回归方程来建立两个变量之间的关系 .根据已有的函数知识，可以发现样本点分布在某一条根据已有的函数知识，可以发现样本点分布在某一条指数函数曲线指数函数曲线y? ? c1e参数参数.令令z=lny，则变换后样本点应该分布在直线，则变换后样本点应该分布在直线 z=bx+a（a=lnc1，b=c2）的周围）的周围.c2x的周围，其中的周围，其中c1和和c2是待定是待定利用线性回归模型建立利用线性回归模型建立 y和和x之间的非线性回归方程之间的非线性回归方程 .当回归方程不是形如当回归方程不是形如 y=bx+a时，我们称之为时，我们称之为 非线性回非线性回归方程归方程.X21232527293235z1.946 2.398 3.045 3.178 4.190 4.745 5.784? z所得线性回归方程为：所得线性回归方程为：? ? 0.272x? ? 3.849y? ? c1ec2xa=lnc1，b=c2所以红铃虫的产卵数对温度的非线性回归方程为：所以红铃虫的产卵数对温度的非线性回归方程为：? y(1)? ? e0.272x? ? 3.849350300250产卵数20015010050001020温度3040系列1若看成样本点集中在某二次曲线若看成样本点集中在某二次曲线 y=c3x2+c4的附近的附近.作变换作变换t=x2，建立，建立y与与t之间的线性回归方程：之间的线性回归方程： y=c3t+c4.ty44173503002505291162521729248416610241151225325产卵数20015010050005001000温度的平方1500系列1? y(2)? ? 0.367 t ? ? 202.543(2)? yy关于关于x的二次回归方程为：的二次回归方程为：? ? 0.367x ? ? 202.5432利用残差计算公式：利用残差计算公式：? y(1)(1)? ? e0.272x? ?3.849(1)? y(2)? ? 0.367x ? ? 202.5432?ie?ieX?i? ? yi? ? y?i? ? yi? ? y23(2)? ? yi? ? e250.272xi? ?3.8492,i ? ? 1,2,? ,73235(2)? ? yi? ? 0.367xi? ? 202.543, i ? ? 1,2,? ,7272921Y70.55711-0.101211.87524-8.950-41.000669.230-40.104115-13.381-58.26532534.67577.968? e? e(1)i(2)i47.696 19.400 -5.832由条件由条件R2分别为分别为0.98和和0.80故指数函数模型的拟合效果比二次函数的模拟效果好故指数函数模型的拟合效果比二次函数的模拟效果好 .