实际问题实际问题 1. 正方形桌面的面积正方形桌面的面积是是 m2 ，求它的边长。，求它的边长。可以直接计算出结果。可以直接计算出结果。提示提示根据正方形面积公式根据正方形面积公式 S = a2 ，得到，得到cm 可以用列方程求解吗？可以用列方程求解吗？a2 = 新课导入2.两个连续正奇数的积是两个连续正奇数的积是 255，求这两个数。，求这两个数。实际问题实际问题 可以直接计可以直接计算出结果吗？算出结果吗？1，2，3，4，5，6 ?可以用列方程求解。可以用列方程求解。提示提示设前一个奇数为设前一个奇数为 x ， 则后一个奇数为则后一个奇数为 x + 2x（ x 2 ） = 255整理，得整理，得x2 2x = 255 【知识与能力【知识与能力】 了解一元二次方程的概念、一般式了解一元二次方程的概念、一般式 ax2 bx c = 0（a0）及其派生的概念。及其派生的概念。 应用一元二次方程概念解决一些简单题目。应用一元二次方程概念解决一些简单题目。通过设置问题，建立数学模型，模仿一元一通过设置问题，建立数学模型，模仿一元一次方程概念给一元二次方程下定义。次方程概念给一元二次方程下定义。 教学目标 【过程与方法【过程与方法】 通过丰富的实例，让学生合作探讨，老师点通过丰富的实例，让学生合作探讨，老师点评分析，建立数学模型。评分析，建立数学模型。 根据数学模型恰如根据数学模型恰如其分地给出一元二次方程的概念。其分地给出一元二次方程的概念。 结合八册上整式中的有关概念介绍一元二次结合八册上整式中的有关概念介绍一元二次方程的派生概念，如二次项等。方程的派生概念，如二次项等。 【情感态度与价值观【情感态度与价值观】 经经历历由由事事实实问问题题中中抽抽象象出出一一元元二二次次方方程程等等有有关关概概念念的的过过程程，使使同同学学们们体体会会到到通通过过一一元元二二次次方方程程也也是是刻刻画画现现实实世世界界中中的的数数量量关关系系的的一一个个有有效数学模型。效数学模型。 一元二次方程概念、一般形式及有关概念。一元二次方程概念、一般形式及有关概念。 判定一个数是否是方程的根。判定一个数是否是方程的根。 由实际问题列出的一元二次方程，解出根后由实际问题列出的一元二次方程，解出根后还要考虑这些根是否确定是实际问题的根。还要考虑这些根是否确定是实际问题的根。教学重难点x2 2x = 255 像这样的方程有广泛的应用，继续像这样的方程有广泛的应用，继续解决一些实际问题，总结一元二次方程解决一些实际问题，总结一元二次方程的概念。的概念。 3. 用用 11 cm长的铁丝，折成一个面积为长的铁丝，折成一个面积为 30 cm2的矩形，求这个矩形的长与宽的矩形，求这个矩形的长与宽.实际问题实际问题设矩形的长为设矩形的长为 x cm，则宽为（则宽为（11x ） cm ，x（ 11x）整理，得整理，得x2 11x = 30提示提示根据矩形的面积为根据矩形的面积为30 cm2，得，得= 30几何图形几何图形面积问题面积问题 4. 长长 5 m的梯子斜靠在墙上，梯子的底端与墙的梯子斜靠在墙上，梯子的底端与墙的距离是的距离是3 m。若梯子底端向左滑动的距离与梯子。若梯子底端向左滑动的距离与梯子顶端向下滑动的距离相等，求梯子滑动的距离。顶端向下滑动的距离相等，求梯子滑动的距离。实际问题实际问题5 m3 m勾股定理勾股定理问题问题3 m5 m设梯子滑动的距离为设梯子滑动的距离为 x m， 则滑动后梯子顶端离地面（则滑动后梯子顶端离地面（4x ）m ，梯子底端离墙（梯子底端离墙（3x）m， 根据勾股定理，滑动前梯子根据勾股定理，滑动前梯子的顶端离地面的顶端离地面 4 m，提示提示(4x)2 (3x)2滑动后，三边仍符合勾股定理，得滑动后，三边仍符合勾股定理，得= 525 mx4xx整理，得整理，得2x2 2x = 0实际问题实际问题 5. 你遇到过下面的难题吗？你知道竹竿有多你遇到过下面的难题吗？你知道竹竿有多长吗？请看动画。长吗？请看动画。整理，得整理，得设竹竿的长为设竹竿的长为 x 尺，尺，根据勾股定理，得根据勾股定理，得(x3)2 (x6)2= x2x218x45 = 0提示提示勾股定理勾股定理问题问题3尺尺6尺尺x 3x 6观观 察察x2 2x = 255a2 = x2 11x = 302x2 2x = 0x218x45 = 0这些方程有什么共同点？这些方程有什么共同点？ 方程两边方程两边都是整式。都是整式。 方程中只含方程中只含有一个未知数。有一个未知数。 未知数的未知数的最高次数是最高次数是2。知识要点知识要点一元一元 方程两边都是整式，只含有方程两边都是整式，只含有一个未一个未知数知数，并且未知数的，并且未知数的最高次数是最高次数是2的方的方程，叫做程，叫做一元二次方程一元二次方程（quadratic equation in one unknown）。）。二次二次 抢答抢答 下列哪些是一元二次方程？下列哪些是一元二次方程？ 判断一个方判断一个方程是否为一元二程是否为一元二次方程，不能只次方程，不能只看表面，能化简看表面，能化简时应先化简。时应先化简。一元二次方程必须符合三个条件一元二次方程必须符合三个条件n 整式方程。整式方程。n 一个未知数。一个未知数。n 未知数的最高次数为未知数的最高次数为 2。x2 2x = 255a2 = x2 11x = 302x2 2x = 0x218x45 = 0 一元二次方程有很多很多，一元二次方程有很多很多，你能表示出它们的一般形式吗？你能表示出它们的一般形式吗？ax2 + bx +c = 0二次项二次项一次项一次项常数项常数项二次项系数二次项系数一次项系数一次项系数a0一元二次方程的一般形式一元二次方程的一般形式知识要点知识要点 当当 a = 0 时，方程变为时，方程变为 bxc = 0 ，不再，不再是一元二次方程。是一元二次方程。为什么要限制为什么要限制a0，b、c 可以为零吗？可以为零吗？的强调的强调ax2 + bx +c = 0n “ = ”左边最多有三项，一次项、常数左边最多有三项，一次项、常数项可不出现，但二次项必须有。项可不出现，但二次项必须有。n “ = ”左边按未知数左边按未知数 x 的降幂排列。的降幂排列。n “ = ”右边必须整理为右边必须整理为 0。例题例题 将方程将方程 化成一元二化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项。系数、一次项系数及常数项。 其中二次项系数为其中二次项系数为 4，解：解：去括号，得：去括号，得：移项，合并同类项，得一般形式为：移项，合并同类项，得一般形式为：一次项系数为一次项系数为 26，常数项为常数项为 22。例题例题 将方程将方程 化成一化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项。次项系数、一次项系数及常数项。 其中二次项系数为其中二次项系数为 2，解：解：去括号，得：去括号，得：移项，合并同类项，得一般形式为：移项，合并同类项，得一般形式为：一次项系数为一次项系数为 2，常数项为常数项为4。x 两个连续正奇数的积是两个连续正奇数的积是 255，求这两个数。，求这两个数。设前一个奇数为设前一个奇数为 x ， 则后一个奇数为则后一个奇数为 x + 2，x（ x 2 ） = 255整理，得整理，得x2 2x = 255前面的前面的“实际问题实际问题2”中：中：回顾回顾1311143131951525511172551519500前面的前面的“实际问题实际问题 4”中：中：回顾回顾x 001 02 43 124 24 5 406 607845 m3 m设梯子滑动的距离为设梯子滑动的距离为 x m，2x2 2x = 0 长长 5 m的梯子斜靠在墙上，梯子的底的梯子斜靠在墙上，梯子的底端与墙的距离是端与墙的距离是3 m。若梯子底端向左滑。若梯子底端向左滑动的距离与梯子顶端向下滑动的距离相等，动的距离与梯子顶端向下滑动的距离相等，求梯子滑动的距离。求梯子滑动的距离。x =17归纳归纳当当时，时，x = 15当当时，时，x2 2x = 255x = 0当当时，时，x = 1当当时，时，2x2 2x = 0x =17，x = 15 都是方程都是方程 x2 2x = 255 的解。的解。x = 0，x = 1 都是方程都是方程 2x2 2x =0 的解。的解。 为了与以前所学的一元一次方程等只为了与以前所学的一元一次方程等只有一个解的区别，我们称：有一个解的区别，我们称： 一元二次方程一元二次方程的解也叫做一元二次方程的的解也叫做一元二次方程的根根（root）。）。知识要点知识要点x =17，x = 15 都是方程都是方程 x2 2x = 255 的解。的解。x = 0，x = 1 都是方程都是方程 2x2 2x =0 的解。的解。两个连续两个连续正正奇数的积是奇数的积是 255，求这两个数。，求这两个数。x =17，x = 15 都是方程都是方程 x2 2x = 255 的解。的解。 这两个解都是该这两个解都是该实际问题的答案吗？实际问题的答案吗？观观 察察只有只有 x = 15 是该题的答案。是该题的答案。即这两个正奇数为即这两个正奇数为 15、17。注意注意 由实际问题列出方程并得出方程由实际问题列出方程并得出方程的解后，还要考虑这些解是否确实是的解后，还要考虑这些解是否确实是实际问题的解。实际问题的解。 抢答抢答 下列方程的根是什么？下列方程的根是什么？ 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是是 2的整式方程叫做一元二次方程。的整式方程叫做一元二次方程。1.一元二次方程的概念：一元二次方程的概念： 2.一元二次方程的一般形式一元二次方程的一般形式: 一般地，任何一个关于一般地，任何一个关于 x 的一元二次方程都的一元二次方程都可以化为可以化为 （a，b，c为常数，为常数，a0）的形式，称为一元二次方程的一般形式。）的形式，称为一元二次方程的一般形式。课堂小结 也叫做一元二次方程的根。也叫做一元二次方程的根。3. 一元二次方程的解：一元二次方程的解： 4. 实际问题与一元二次方程的联系：实际问题与一元二次方程的联系： 将实际问题转化为一元二次方程并得出解后，将实际问题转化为一元二次方程并得出解后，要考虑是否符合题目要求及实际情况。要考虑是否符合题目要求及实际情况。 1. 求证：关于求证：关于 x 的方程（的方程（m28m+17）x2 + 2mx + 1 = 0， 不论不论 m 取何值，该方程都是一元二次方程。取何值，该方程都是一元二次方程。 证明： 即二次项系数不等于即二次项系数不等于 0，不论，不论 m 取取何值，该方程都是一元二次方程。何值，该方程都是一元二次方程。随堂练习 2. 根据下列问题，列出关于根据下列问题，列出关于 的方程，并的方程，并将其化为一元二次方程的一般形式：将其化为一元二次方程的一般形式： （1）4个完全相同的正方形的面积之和是个完全相同的正方形的面积之和是25，求正方形的边长，求正方形的边长 ； （2）一个矩形的长比宽多）一个矩形的长比宽多2，面积是，面积是100，求矩形的长求矩形的长 ； （3）把长为）把长为1的木条分成两段，使较短一的木条分成两段，使较短一段的长与全长的积，等于较长一段的长的平段的长与全长的积，等于较长一段的长的平方，求较短一段的长方，求较短一段的长 ； （4）一个直角三角形的斜边长为）一个直角三角形的斜边长为10，两，两条直角边相差条直角边相差2，求较长的直角边长，求较长的直角边长 ； 3. 将下列方程化为一元二次方程的一般将下列方程化为一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项。数及常数项。原原方方程程一一般般形形式式二次项二次项系数系数一次项一次项系数系数常数项常数项514481042583174. 下面哪些数是方程下面哪些数是方程 的根？的根？ 4，3，2，1，0，1，2，3，4 解：将上面的这些数代入后，解：将上面的这些数代入后， 只有只有2和和3满足方程的等式，满足方程的等式，所以所以 x =2或或 x =3是一元二次方程的两根。是一元二次方程的两根。 5. 试写出方程试写出方程 的根，你能写的根，你能写出几个？出几个？根分别为根分别为0，1。习题答案习题答案1.（1）3x26x1= 0，3，-6，12. （2）4x25x81= 0，4，5，813. （3）x25x = 0，1，5，04. （4）x22x1= 0，1，2，15. （5）x210 = 0，1，0，106. （6）x22x2= 0，1，2，2