最 新 青 岛 版精 品 数 学 课 件 如果一个数的平方等于如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做那么这个数叫做a的的平方根平方根1. 什么叫平方根什么叫平方根6.求一个数的平方根的运算，叫求一个数的平方根的运算，叫 。2. 非负数非负数a的平方根表示为的平方根表示为 。3.一个正数有一个正数有 平方根，这两个平方根平方根，这两个平方根互为互为 。4.零的平方根是零的平方根是 。5.5.负数负数 平方根平方根.两个两个相反数相反数零零没有没有开平方开平方（1）64的算术平方根是的算术平方根是 ； （2） 的平方根是的平方根是 ； （3）若）若a的平方根只有一个，那么的平方根只有一个，那么a = ；（4）若数）若数 b 的一个平方根是的一个平方根是 1.2， 那么那么 b 的另一个平方根是的另一个平方根是 ； （5） 的算术平方根是的算术平方根是 ；80-1.23巩固练习：巩固练习： 公元前429年，希腊提洛斯（Delos）岛上瘟疫流行，居民恐惧也向岛上的守护神阿波罗（Apollo） 祈祷，神庙里的预言修女告诉他们神的指示：“把神殿前的正立方形祭坛加到二倍，瘟疫就可以停止。”由此可见这神是很喜欢数学的。居民得到了这个指示后非常 高兴，立刻动工做了一个新祭坛，使每一稜的长度都是旧祭坛棱长的二倍，但是瘟疫不但没停止，反而更形猖獗， 使他们都又惊奇又惧怕。结果被一个学者指出了错误：稜二倍起来体积就成了八倍，神所要的是二倍而不是八倍。大家都觉得这个说法很对，於是 改在神前并摆了与旧祭坛同形状同大小的两个祭坛，可是瘟疫仍不见消灭。人们困扰地再去问神，这次神回答说：你们所做的祭坛体积确是原来的二倍，但形状却 并不是正方体了，我所希望的是体积二倍，而形状仍是正方体。居民们恍然大悟，就去找当时大学者柏拉图（Plato）请教。由柏拉图和他的弟子们热心研究，但不曾得到解决，并且耗费了後代许多数学家们的脑汁。而由于这一个传说，立方倍积问题也就被称为提洛斯问题 问题问题 : 要制作一个体积为要制作一个体积为125m3的正的正方体形状的包装箱，这种包装箱的边长方体形状的包装箱，这种包装箱的边长应当是多少？应当是多少？设这种包装箱的边长为设这种包装箱的边长为 x m，则：，则： x3 = 125因为因为 53 =125，所以正方体包装箱的，所以正方体包装箱的棱长为棱长为5米。米。 这就是要求一个数，这就是要求一个数，使它的立方等于使它的立方等于125。你能算出来吗？你能算出来吗？容积为容积为125m3一般地，如果一个数的立方等于一般地，如果一个数的立方等于 a， 那么这个数就叫做那么这个数就叫做 a 的的立方根立方根或或三次方根三次方根。即：如果即：如果 x3 = a，那么，那么x叫做叫做 a 的立方根。的立方根。53 =125，所以，所以5是是125的立方根。的立方根。 识记识记1、立方根的定义：、立方根的定义： 正数的平方根平方根用“ ”表示（读作“正负根号a”)算术平方根用 表示（读作“根号a”） 想一想想一想 那么你知道立方根怎么表示吗？根指数根指数被开方数被开方数读作：读作： 三次根号三次根号a三次根号三次根号根指数3不能省略注意！即：如如:8:8的立方根是的立方根是2 2开立方：开立方：求一个数的立方根的运求一个数的立方根的运算，叫做开立方。算，叫做开立方。 开平方：开平方：求一个数的平方根的运求一个数的平方根的运算，叫做开平方。算，叫做开平方。立方开立方2.2.立方根的性质立方根的性质探究探究1. 1. 根据立方根的意义填空根据立方根的意义填空. . 因为因为 =8，所以，所以8的立方根是（）的立方根是（） 因为因为( ) =0.125,所以所以0.125的立方根是（）的立方根是（）因为因为( ) ，所以的立方根是（），所以的立方根是（）因为因为( ) 8，所以，所以8的立方根是（的立方根是（ ）因为因为( ) ,所以所以 的立方根是的立方根是( ) 02-20-2你能看出正数，你能看出正数，0 0，负数的立方根各有什，负数的立方根各有什么特点么特点? ?通过对以上问题的解答，你能总结出立通过对以上问题的解答，你能总结出立方根有什么样的性质？方根有什么样的性质？说明说明：任意数的立方根可表示为，读作：任意数的立方根可表示为，读作“三次根号三次根号”。立方根的个数的性质可以概。立方根的个数的性质可以概括为立方根的括为立方根的唯一性唯一性，即一个数的立方根是，即一个数的立方根是唯唯一的一的. 正数正数有一个有一个正正的立方根的立方根 立方根的性质：立方根的性质： . .零零的立方根为的立方根为零零 . . 负数负数有一个有一个负负的立方根的立方根 正数有立方根吗？如果有，有几个正数有立方根吗？如果有，有几个, ,是正是负是正是负? ?负数呢？负数呢？零呢？零呢？引伸探究引伸探究22-2-0.1a引伸探究引伸探究3 3因为因为 = , = .你能从上述问题中总结出互为相反数的两个你能从上述问题中总结出互为相反数的两个数数a a与与-a-a的立方根的关系吗的立方根的关系吗? ?a3-a3=-44=-55互为相反数的数的立方根也互为相反数互为相反数的数的立方根也互为相反数所以所以因为因为=,=所以所以(1)1的平方根是的平方根是_；立方根为；立方根为_；算术平方根为算术平方根为_ (2)平方根是它本身的数是平方根是它本身的数是_(3)立方根是其本身的数是立方根是其本身的数是_(4)算术平方根是其本身的数是算术平方根是其本身的数是_(5) 的立方根为的立方根为 . (6) 的平方根为的平方根为 . (7) 的立方根为的立方根为 . 11101 , 01 , 0-2-222、 下列说法正确的是：（下列说法正确的是：（ ） （A）如果一个数的立方根是这个数本）如果一个数的立方根是这个数本身，那么这个数一定是零。身，那么这个数一定是零。 （B）一个数的立方根与这个数同号，）一个数的立方根与这个数同号，且零的立方根是零。且零的立方根是零。（C）1的立方根是的立方根是1。（D）负数没有立方根。）负数没有立方根。B 3、判、判 断断（1）9是是729的立方根的立方根 （ ）（2）-27的立方根是的立方根是3 （ ）（3） =4 （ ）（4）-5是是-125的立方根的立方根 （ ）4、求下列各式的值：（1）解：（1 1）（4 4）(4) 一般地，如果一个数的立方等一般地，如果一个数的立方等于于a a，那么这个数叫做，那么这个数叫做a a的立方根。记作：的立方根。记作： 其中其中a a是是被开方数，被开方数，3 3是根指数是根指数 .立方根的概念：立方根的概念：. .符号中的符号中的“”不能省略。不能省略。 . .对于立方根，被开方数没有限制，正数、负数对于立方根，被开方数没有限制，正数、负数 和零都有唯一一个立方根。和零都有唯一一个立方根。 4 4. .立方与开立方互为逆运算。我们也可以用立方立方与开立方互为逆运算。我们也可以用立方运算求一个数的立方根，或检验一个数是不是另一个运算求一个数的立方根，或检验一个数是不是另一个数的立方根。数的立方根。平方根、算术平方根平方根、算术平方根与立方根有何区别与立方根有何区别 ? 平方根平方根算术平方根算术平方根立方根立方根表示表示方法方法 a的的取值取值性质性质正数的平方正数的平方根有两个根有两个;0的平方根的平方根是是0;负数没有平负数没有平方根方根正数的算术平方根是正数的算术平方根是正数正数;0的算术平方根是的算术平方根是0;负数没有算术平方根负数没有算术平方根正数的立方根正数的立方根是正数是正数;0的立方根是的立方根是0;负数的立方负数的立方根是负数根是负数a为任意实数为任意实数小结小结练习：练习：63页页 练习题练习题作业：作业：63页页 习题习题7.5第第2题第题第3题题