第一章第一章第一章第一章 多项式多项式多项式多项式 习题课习题课习题课习题课1.（一）知识结构（一）知识结构（一）知识结构（一）知识结构复系数与实系数多项式的因式分解复系数与实系数多项式的因式分解多项式多项式数域数域一元多项式一元多项式多元多项式、对称多项式多元多项式、对称多项式多项式除法多项式除法多项式分解多项式分解整除整除最大公因式最大公因式带余除法带余除法定义、定理定义、定理性质性质定义、定理定义、定理辗转相除法辗转相除法互素互素因式分解及唯一性定理因式分解及唯一性定理重因式、多项式函数重因式、多项式函数有理系数多项式的因式分解有理系数多项式的因式分解2.（二）重难点归纳（二）重难点归纳（二）重难点归纳（二）重难点归纳重点：重点：最大公因式的定义，一元多项式的整除性，一元多项式的整除、最大公因式的定义，一元多项式的整除性，一元多项式的整除、最大公因式，互素及不可约多项式等概念之间的联系与区别。最大公因式，互素及不可约多项式等概念之间的联系与区别。难点难点：一元多项式的概念，因式分解理论，多项式的根和对称多项式；一元多项式的概念，因式分解理论，多项式的根和对称多项式；（三）题型归纳（三）题型归纳（三）题型归纳（三）题型归纳（1）计算问题：）计算问题：带余除法，综合除法，用辗转相除法求最大公因式，带余除法，综合除法，用辗转相除法求最大公因式，用微商判别多项式是否有重因式、重根；用微商判别多项式是否有重因式、重根；（2）证明问题：）证明问题：关于多项式的最大公因式与互素的证明问题，整除性关于多项式的最大公因式与互素的证明问题，整除性的证明，重根、重因式的证明问题，多项式不可约的的证明，重根、重因式的证明问题，多项式不可约的证明及其它证明等。证明及其它证明等。3.（四）综合举例（四）综合举例（四）综合举例（四）综合举例(1)计算问题计算问题a)带余除法带余除法例例1.用用 除除 ,求商式求商式 与余式与余式 ，其中，其中 提示：提示：采用竖式除法求解。采用竖式除法求解。解解4.解：解：例例2.2.设设 ，用，用 除除 ，求商式与余式。求商式与余式。5.例例3.问问 满足什么条件时，满足什么条件时， 提示：提示：采用竖式除法。采用竖式除法。解解6.例例4.4.解：解：7.b)综合除法综合除法例例5.设设 用用 除除 ，求商求商 与余式与余式 。 提示提示: 用综合除法做除式为用综合除法做除式为 的带余除法。的带余除法。解解:8.例例6.6.解：采用综合除法，可得解：采用综合除法，可得9.例例7.将多项式将多项式 表示成表示成 的方幂之和的方幂之和的形式。的形式。提示：提示：用综合除法把多项式表示成幂级数。用综合除法把多项式表示成幂级数。解解:10.例例8.8.解：解：11.例例9.分解因式分解因式提示：提示：先用综合除法求有理根，再结合试用重因式方法。先用综合除法求有理根，再结合试用重因式方法。解解: 因为因为 的有理根只可能为的有理根只可能为 ，所以先用综合除法：，所以先用综合除法：12.得到得到-1-1是一个是一个2 2重根，所以重根，所以考虑考虑用辗转相除法求出用辗转相除法求出所以有理数域上的不可约多项式所以有理数域上的不可约多项式 是是 的的2 2重因式，重因式， 因此因此 于是于是13.c)用辗转相除法求最大公因式用辗转相除法求最大公因式例例10.设设 ，求，求 使得使得 。 提示：提示：采用竖式除法及带余除法定理求解即可。采用竖式除法及带余除法定理求解即可。解：解：14.所求的所求的例例11.11.15.解：解：16.17.d)用微商判别一个多项式有否重因式、重根用微商判别一个多项式有否重因式、重根例例12.求求 有重根的条件。有重根的条件。提示：提示：应用应用 有重根当且仅当有重根当且仅当 即可。即可。解解18. 有重根当且仅当有重根当且仅当 ，即做，即做辗转相除法所得的余式辗转相除法所得的余式 或或 。 由于由于 蕴含蕴含 ，因此，因此 有重根的条件有重根的条件是是例例13.求求 的非零根的重数。的非零根的重数。提示：提示：先求微商，再对先求微商，再对 的关系分类讨论。的关系分类讨论。19.例例14.14.求求 的根。的根。 解：因为解：因为 如果如果 ，那么，那么 ， 没用非零根，所以没用非零根，所以 的非零根的重数的非零根的重数 。 如果如果 ，则从，则从 的因式的因式 的根都是单根知，的根都是单根知， 中非零的根的重数中非零的根的重数 。提示：提示：先求微商，再用辗转相除法得到先求微商，再用辗转相除法得到 与与 的最大公因式。的最大公因式。20.由于由于 与与 有完全相同的不可约因式有完全相同的不可约因式 ， 可见可见 有根有根 。再用综合除法，有。再用综合除法，有解：解： 用辗转相除法，得用辗转相除法，得21.故故1 1是四重根，同理可知是四重根，同理可知-2-2是三重根。是三重根。22.（2）证明问题）证明问题a)关于多项式的最大公因式与互素的证明关于多项式的最大公因式与互素的证明23.例例15.若若 ， 则则 。提示：提示：用最大公因式和互素的定义证明。用最大公因式和互素的定义证明。24.例例16.设设 都是多项式，而且都是多项式，而且 证明：证明： 提示：提示：用反证法及不可约因式证明。用反证法及不可约因式证明。25.例例17.17.设设 是一个正整数，是一个正整数， 与与 不全为零，不全为零，证明：证明： 证明：设证明：设 ，则，则显然显然 ，由上述例题知，由上述例题知于是存在于是存在 ，使，使26.由由因此，因此， 是是 与与 的一个最大公因式的一个最大公因式 又由于又由于 是首一多项式，故是首一多项式，故 也是首一多项式也是首一多项式因此因此27.b)整除性的证明整除性的证明例例18.设设 是是 中不可约多项式，中不可约多项式， ，若，若 与与 有一个有一个公共复根公共复根 ，则在，则在 中，中， 。提示：提示：用不可约多项式的性质证明。用不可约多项式的性质证明。证明证明 是是 与与 的公共复根的公共复根, ,则则 与与 在复数域在复数域上的最大公因式上的最大公因式 不是常数不是常数. .由于由于 都在都在 中中, ,所以它们的最大公因式所以它们的最大公因式 也在也在 中中. .由由 的的不可约性以及不可约性以及 , ,得到得到 , ,其中常数其中常数 , ,因此因此 . .28.例例19.19.证明：对任意的正整数证明：对任意的正整数 ，均有，均有证明：设证明：设 为为 的根，则的根，则 且且 因为因为故故 是是 的根的根而而 无重根，则无重根，则 的根都是的根都是 的根，故的根，故29.例例20.设设 ，证明：证明： 。 提示：提示：利用公式利用公式证明证明 从从 的构成易使人联想到公式的构成易使人联想到公式所以所以即即 , ,因此有因此有所以所以30.例例21.证明：如果证明：如果 ，那么，那么 。 提示：提示：证明证明 由条件由条件设设 是不等于是不等于1 1的不同的两个的不同的两个3 3次单位根次单位根, ,分别代入上式分别代入上式, ,得得将将 看作一个由两个方程看作一个由两个方程, ,两个未知量构成的齐次线性方程组两个未知量构成的齐次线性方程组的解的解, ,这个方程组的系数行列式是这个方程组的系数行列式是由由CramerCramer法则法则, ., .由余数定理由余数定理, ,我们有我们有31.c)关于重根、重因式的证明关于重根、重因式的证明例例22.证明证明没有重根。没有重根。提示：提示： 无重根的充要条件无重根的充要条件证明证明 考虑微商考虑微商 , ,则则 . .而而所以所以 与与 的因式都是的因式都是 的因式的因式 , ,形式为形式为 . . 由于由于 的常数项的常数项 , ,所以所以 , ,因此因此 故故 没有重因式没有重因式32.例例23.23.次数大于零的整系数多项式次数大于零的整系数多项式 不能分解成两个次数较低的整系不能分解成两个次数较低的整系数多项式的乘积，则数多项式的乘积，则 在复数域上无重根。在复数域上无重根。证明：由已知条件可知，证明：由已知条件可知， 在有理数域上不可约，在有理数域上不可约， 从而在有理数域上有从而在有理数域上有 又因为多项式互素与数域的扩张无关，因此又因为多项式互素与数域的扩张无关，因此 在复数域上也有在复数域上也有 故故 在复数域上无重因式，从而也无重根在复数域上无重因式，从而也无重根 33.例例24.设设 是数域是数域 上上 次多项式，证明：如果次多项式，证明：如果 ，那么，那么 有有 重根。重根。提示：提示：一个多项式根的个数不可能多于该多项式的次一个多项式根的个数不可能多于该多项式的次数（重根按重数计）。数（重根按重数计）。证明证明 设设 在复数域上的标准分解是在复数域上的标准分解是，则，则 是是 的的 重根，所以重根，所以因此因此 ，上式中上式中 是复数是复数. .但实际上但实际上 . .因为根据显然的结论：因为根据显然的结论：可得可得即即 ，所以，所以 在在 中有中有 重根重根34.例例25.设设 是是 次多项式，次多项式， ，记，记 ，若若 ，则，则 有有 重零根。重零根。 提示：提示：利用上题结论。利用上题结论。证明证明 因为因为 . . 若若 ， 则则有有 ，由例，由例2424， 有有 重根重根. .由由 知知 ，因此，因此 . . 35.d)d)多项式不可约的证明多项式不可约的证明例例26.26.设设 是互异整数，是互异整数，证明：证明： 在有理系数域上不可约在有理系数域上不可约 。 提示：提示：反证法。反证法。证明证明 若若 在在 中可约中可约,则有则有 ,使使 其中其中 ， .则则所以所以假如有假如有 使使 ,则由则由 的连续的连续性性,存在实数存在实数 ,使使 ,于是有于是有 ,这与这与 矛盾矛盾.所以所以 或者全为或者全为1,或者全为或者全为-1. 也是如此也是如此.不妨不妨设设 则则36.如果如果 的次数小于的次数小于 ,那么那么 的次数小于的次数小于 ,但有但有 个不同的根个不同的根,这是不可能的这是不可能的.所以所以 . 的首项系数为的首项系数为1， ，所以，所以 的首项系数同为的首项系数同为1或或 -1，若，若 ，则，则 但有但有 个不同的根个不同的根 ，得到矛盾，得到矛盾.所以所以 作多项式作多项式 .那么对次那么对次数小于数小于 的多项式的多项式 都是它的根都是它的根,因此因此 ,即即 则则 ,得到矛盾得到矛盾.37.例例27.27.设设 是整系数多项式，若是整系数多项式，若 为奇数，则为奇数，则 在有理数域上不可约。在有理数域上不可约。证明：反证法。假设证明：反证法。假设 在有理数域上可约，则在有理数域上可约，则 可以可以 分解成一次与二次整系数多项式的乘积，设分解成一次与二次整系数多项式的乘积，设 其中其中 由由 为奇数，知为奇数，知 为奇数为奇数 由由 知知 为奇数为奇数 为奇数为奇数 为偶数为偶数 产生矛盾，故假设不成立，从而产生矛盾，故假设不成立，从而 在有理数域上不可约在有理数域上不可约38.例例28.28.设设 ，其中，其中 是是互异整数互异整数. 证证明：明：若若 在有理数域上可约，那么在有理数域上可约，那么它它是一个整系数多项是一个整系数多项式的平方式的平方。提示：提示：用可约的定义证明。用可约的定义证明。证明证明 显然显然 是一个是一个 次整系数多项式次整系数多项式, ,由于由于 在有理数在有理数域上可约域上可约, ,那么它能分解成两个次数较低的有理系数多项式的乘积那么它能分解成两个次数较低的有理系数多项式的乘积, ,也能也能分解成两个次数较低的整系数多项式的乘积分解成两个次数较低的整系数多项式的乘积. .设设因为因为 , ,所以所以 , ,从而从而 同为同为1 1或或者同为者同为-1,-1,因此因此, ,由于由于 的次数都小于的次数都小于 , ,所以所以 , ,因而因而 . .39.证明：反证法。若证明：反证法。若 在有理数域上可约，则在有理数域上可约，则 存在次数小于存在次数小于 的整系数多项式的整系数多项式 ， 使得使得 由由 ，则，则 于是于是 ，否则，次数小于，否则，次数小于 的多项式的多项式 有有 个根，矛盾，故个根，矛盾，故 由前面知由前面知 ，这与，这与 的首项系数为的首项系数为1 矛盾，故假设不成立。矛盾，故假设不成立。例例29.29.设设 其中其中 是互不相同的整数，证明：是互不相同的整数，证明： 在有理数域在有理数域上不可约。上不可约。40.例例30.30.设设 无有理根，无有理根， 是素数，是素数，满足满足 ， ，证明证明 在有理数域上不可约。在有理数域上不可约。提示：提示：用反证法证明。用反证法证明。证明证明 用反证法用反证法. .假如假如 在在 中可约中可约, ,那么有整系数多项式那么有整系数多项式 使使 ，可以假定，可以假定 由由 , ,知知 , ,所以可假设所以可假设于是于是41.当当 时时, ,由上两式可以推出由上两式可以推出 或或 , ,这都与假设矛盾这都与假设矛盾. .当当 时时, ,由由 得得 , ,于是可得于是可得 , ,因此有因此有 , ,那么那么 有有理根有有理根, ,与条件矛盾与条件矛盾. .所以所以 在在 中不可约中不可约. .例例31.31. 在有理数域上不可约的充要条件是对任意有理数在有理数域上不可约的充要条件是对任意有理数 ，有有 在有理数域上不可约。在有理数域上不可约。 42.提示：提示：用不可约多项式定义证明。用不可约多项式定义证明。证明：必要性。证明：必要性。 假设假设 在有理数域上可约，则存在在有理数域上可约，则存在 ， 使得使得 其中其中 令令 ，由，由 知知 从而从而 且且 即即 在有理数域上可约，矛盾，故假设不成立在有理数域上可约，矛盾，故假设不成立43.充分性。充分性。假设假设 在有理数域上可约，则存在有理系数多项式在有理数域上可约，则存在有理系数多项式 ，使得使得 其中其中由由 ，可得，可得又因为又因为 ，故有，故有从而从而 是可约的，矛盾，故假设不成立是可约的，矛盾，故假设不成立 ，从而从而 在有理数域上不可约在有理数域上不可约 44.e)e)其它有关的证明其它有关的证明例例32.32.实系数多项式实系数多项式 的首项系数的首项系数 ，且无实根，证明：，且无实根，证明： 存在实多项式存在实多项式 使使 。证明：由实多项式证明：由实多项式 无实根，则其根全为虚根，设为无实根，则其根全为虚根，设为 ，于是，于是 令令 ，将，将 展开，把不含展开，把不含 的项集中起来记为的项集中起来记为 ，将含，将含 的项集中起来，提出的项集中起来，提出公因公因 子子 后记为后记为 ，则，则 其中其中 ，由，由 故故45.例例33.33.设设 是实系数多项式，证明：若对任何实数是实系数多项式，证明：若对任何实数 都有都有 ， 则存在实系数多项式则存在实系数多项式 ，使，使证明：若证明：若 ，结论显然成立；若，结论显然成立；若 ， 设设 的标准分解式为的标准分解式为 不妨设不妨设 ，由，由 充分大时，充分大时， ，故，故 下证下证 全为偶数，全为偶数，若其从右边数起第一个奇数为若其从右边数起第一个奇数为 ， 取取 ，则则 矛盾，故矛盾，故 全为偶数，全为偶数， 46.令令而而 是首项系数大于零且无实根，由上例知存在是首项系数大于零且无实根，由上例知存在 使得使得令令 则则 与与 是实系数多项式，且是实系数多项式，且例例34.34.设设 是整系数多项式，证明：若是整系数多项式，证明：若 在在 取两个整数值取两个整数值 时取时取 这两个函数值，则这两个函数值，则 在在 时没有有时没有有理根，理根， 在在 时的有理根只能是时的有理根只能是47.证明：假设证明：假设 是是 的一个有理根，其中的一个有理根，其中 ，则，则 其中其中 是整系数多项式，所以是整系数多项式，所以 由由 ，可知，可知 即它们的符号相反，所以即它们的符号相反，所以 ，于是，于是 这表明这表明 在在 时没有有理根时没有有理根 把把 两式相加得到两式相加得到48.高等代数中的数学家高等代数中的数学家艾森斯坦艾森斯坦艾森斯坦是德国数学家，艾森斯坦是德国数学家，中学时已独立进行数学中学时已独立进行数学研究。研究。 他的主要贡献是他的主要贡献是数论及其有关的椭圆函数论及其有关的椭圆函数论。数论。 他早期的工作涉他早期的工作涉及三次，四次及高次互及三次，四次及高次互反律，三元二次型；后反律，三元二次型；后来研究椭圆函数论，目来研究椭圆函数论，目的也是研究高次互反律。的也是研究高次互反律。以他名字命名的以他名字命名的艾森斯艾森斯坦判别法坦判别法是研究多项式是研究多项式的重要工具。的重要工具。49.