第二讲第二讲 有理数和一元一有理数和一元一次方程的解法次方程的解法有理数有理数 基础知识回顾基础知识回顾一、数的分类：有理数有理数整数整数分数分数正整数正整数负整数负整数0正分数正分数负分数负分数有理数有理数正有理数正有理数负有理数负有理数练习：把下列各数填入下列的集合里：练习：把下列各数填入下列的集合里：2727， ，8.58.5，-14-14， ，0.50.5，-3.25-3.25，0 0，6 6，正数集合：正数集合： ； 负数集合负数集合 ；正整数集合：正整数集合： ；正分数集合正分数集合 ；负整数集合：负整数集合： ； 负分数集合负分数集合 ；需要注意的问题：需要注意的问题：1.分数与小数的关系分数与小数的关系分数分数=有限小数有限小数+无限循环小数无限循环小数2.0是表示没有吗？是表示没有吗？0 0表示具有相反意义量的基准，是正数与表示具有相反意义量的基准，是正数与负数的分界，既不是正数，也不是负数，负数的分界，既不是正数，也不是负数，是唯一的一个中性数。是唯一的一个中性数。3.不是有理数不是有理数二、用正负数表示具有相反意义的量二、用正负数表示具有相反意义的量1. 1. 如如果果从从某某处处向向下下3 3米米记记作作3 3米米，那那么么向向上上2.52.5米米可记作可记作 。2. 支出支出100100元记作元记作100100元，则元，则+66+66元表示元表示 ；既无；既无支出又无收入可记作支出又无收入可记作 。3.3.某商场计划每月销售电视某商场计划每月销售电视180180台，该商场在记账时台，该商场在记账时把完成计划记作把完成计划记作0 0台，超额完成计划用正数表示，台，超额完成计划用正数表示，未完成计划用负数表示，那么每月销售未完成计划用负数表示，那么每月销售150150台该如台该如何记帐？每月销售何记帐？每月销售200200台呢？台呢？三、数轴三、数轴（一）定义：（一）定义：规定了规定了原点、正方向、单位长度原点、正方向、单位长度的的直线直线叫做数轴。叫做数轴。原点：原点：0点点正方向：一般向右（向上）为正方向正方向：一般向右（向上）为正方向单位长度：不一定是单位长度：不一定是1，也可以是很大或这是，也可以是很大或这是很小的数，但刻度一定要均匀。很小的数，但刻度一定要均匀。原点、正方向、单位长度又叫做数轴的三要素原点、正方向、单位长度又叫做数轴的三要素（二）数轴的作用：（二）数轴的作用：1.能将已知数在数轴上表示出来。能将已知数在数轴上表示出来。注：所有的有理数都能用数轴上的点来表示，但数注：所有的有理数都能用数轴上的点来表示，但数轴上的点表示的不一定是有理数。轴上的点表示的不一定是有理数。2.利用数轴可以比较数的大小利用数轴可以比较数的大小 数轴上的原点表示数轴上的原点表示0 0，原点右边的点表示正数，原点右边的点表示正数，原点左边的点表示负数；在数轴上，右边的数总比原点左边的点表示负数；在数轴上，右边的数总比左边的数大。左边的数大。练习：练习：1.A1.A点点在在原原点点右右边边3 3个个单单位位，B B点点在在A A点点左左边边5 5个个单单位位，C C点点在在B B点点左左边边4 4个个单单位位，则则A A点点表表示示的的数数是是 ，B B点点表表示示的的数数是是 ，C C点点表表示示的的数数是是 。2.2.在在-5.1-5.1和和-2.2-2.2的之间的整数有的之间的整数有 。3.3.在在数数轴轴上上，距距离离表表示示3 3的的点点5 5个个单单位位长长度度的的点点所表示的数是所表示的数是 。4.4.世世界界最最高高峰峰珠珠穆穆朗朗玛玛峰峰的的高高度度约约是是88488848米米，你能把你能把88488848在数轴上表示出来吗？在数轴上表示出来吗？四、相反数和倒数四、相反数和倒数1.1.相反数：只有符号不同的两个数互为相反数。相反数：只有符号不同的两个数互为相反数。0 0的相反数是的相反数是0 0注注：（1 1）它它们们在在数数轴轴上上表表示示的的点点位位于于原原点点的的两两旁旁，距离原点的距离相等。距离原点的距离相等。（2）a的相反数是的相反数是-a,a-b的相反数是的相反数是b-a.（3）互为相反数的两个数和为互为相反数的两个数和为0，和为和为0的两个数的两个数互为相反数。互为相反数。如果一个数的相反数大于它本身，则这个数是什如果一个数的相反数大于它本身，则这个数是什么数？如果一个数的相反数不大于它本身呢？么数？如果一个数的相反数不大于它本身呢？2.2.倒数：乘积为倒数：乘积为1 1的两个数互为倒数的两个数互为倒数0 0没有倒数没有倒数注：注：（1 1）互为倒数的两个数符号相同。）互为倒数的两个数符号相同。（2）a的倒数是的倒数是1/a五、绝对值五、绝对值（一）定义：（一）定义：在数轴上，一个数所对应的点离开原点在数轴上，一个数所对应的点离开原点的的距离距离叫做这个数的绝对值。叫做这个数的绝对值。注：（注：（1 1）距离不可能小于距离不可能小于0 0，所以绝对值不小于，所以绝对值不小于0 0（2 2）绝对值等于正数的数有两个，这两个数互为）绝对值等于正数的数有两个，这两个数互为相反数。相反数。（二）法则：（二）法则：正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，是它的相反数，0的绝对值既是它的本身又是的绝对值既是它的本身又是它的相反数，就是它的相反数，就是0。a0a=0a01.1/61.1/6的绝对值是的绝对值是 ，3.23.2的绝对值是的绝对值是 。2. 2. 代代表表在在数数轴轴上上表表示示 的的点点离离开开原原点点的的距距离离，这个距离是这个距离是 。3.3.绝对值等于绝对值等于5 5的数有的数有 个，分别是个，分别是 。（三）利用绝对值比较两个负数的大小：（三）利用绝对值比较两个负数的大小：对于两个负数而言，由于它们都位于原点对于两个负数而言，由于它们都位于原点的左侧，绝对值越大，在数轴上的位置就越向的左侧，绝对值越大，在数轴上的位置就越向左，也就越小。左，也就越小。比较大小：比较大小：有理数的基本概念练习1.1.下列关于绝对值的叙述正确的是下列关于绝对值的叙述正确的是 。A.A.有理数的绝对值一定比有理数的绝对值一定比0 0大。大。B.B.只有两个数相等，绝对值才相等。只有两个数相等，绝对值才相等。C.C.两两个个有有理理数数比比较较大大小小，绝绝对对值值大大的的反反而而小。小。D.D.任何有理数的绝对值都不小于本身。任何有理数的绝对值都不小于本身。2.2.绝对值最小的有理数为绝对值最小的有理数为_。3.3.绝对值不大于绝对值不大于3 3的整数有的整数有 。 4.4.如如果果数数a a的的绝绝对对值值等等于于本本身身，则则a a是是 数数，如如果数果数a a的绝对值等于它的相反数，则的绝对值等于它的相反数，则a a是是 数。数。5.互为相反数的两个数的商是互为相反数的两个数的商是。 6.相相反反数数等等于于本本身身的的数数有有 ，倒倒数数等等于于本本身身的的数有数有，绝对值等于本身的数有，绝对值等于本身的数有。7.正正式式篮篮球球比比赛赛对对比比赛赛用用球球的的气气压压有有严严格格的的规规定定，要要求求用用球球的的质质量量与与规规定定质质量量的的差差距距不不能能超超过过1515克克，下下面面是是一一次次比比赛赛前前对对6 6个个篮篮球球的的检检测测结结果果，用用正正数数记记超超过过规规定定质质量量的的克克数数，用用负负数数记记不不足足规规定定质质量量的的克克数数，检检测测结结果果：8 8，-6-6，2020，-15-15，-2-2，+5+5，其其中中符符合合要要求求的的有有几几个个？如如果果要要你你选选择择两两个个比比赛赛用用球球，你你会会选选择择哪哪两两个个？用绝对值的形式说明你的理由。用绝对值的形式说明你的理由。六、有理数的运算：六、有理数的运算： （一）有理数的加法：（一）有理数的加法： 同同号号两两数数相相加加，取取 的的符符号号，并并把把绝绝对对值值 ； 异异号号两两数数相相加加，绝绝对对值值相相等等时时 ，绝绝对对值值不不等等时时，取取 符符号号，并用并用 ； 注：异号相加大减小，符号跟着大的走注：异号相加大减小，符号跟着大的走 （二）有理数的乘法：（二）有理数的乘法： 几几个个有有理理数数相相乘乘，积积的的符符号号由由负负因因数数的的个个数数决决定，再把绝对值相乘作为积的绝对值。定，再把绝对值相乘作为积的绝对值。 （三）有理数的乘方：（三）有理数的乘方： 求几个相同因数的积的运算叫做乘方求几个相同因数的积的运算叫做乘方a an n表示表示n n个个a a相乘，其中相乘，其中a a是底数，是底数，n n是指数，是指数， a an n叫做幂叫做幂 正正数数的的任任何何次次幂幂都都是是正正数数，而而负负数数的的奇奇次次幂幂是是负负数数，偶偶次次幂幂是是正正数数，0 0的的任任何何次次幂幂都都是是0 0。任任何何一一个个不等于不等于0 0的数的的数的0 0次幂都等于次幂都等于1 1。 注：乘方实质上是乘法的简便写法注：乘方实质上是乘法的简便写法 在在(-3)(-3)2 2中，底数是中，底数是 ，指数是，指数是 ； 在在-3-32 2中，底数是中，底数是 ，指数是，指数是 。 判断下列计算是否正确：计算下列各题：计算下列各题：有理数的应用问题： （1 1）1010袋袋化化肥肥称称得得重重量量分分别别为为97kg97kg，95kg95kg，86kg86kg，96kg96kg，94kg94kg，93kg93kg，87kg87kg，88kg88kg，98kg98kg，91kg91kg，已已知知每每袋袋额额定定重重量量为为90kg90kg，求求这这批批化化肥肥的的总总重重是是多多少少kg?kg?与额定总重量相差多少？与额定总重量相差多少？ （2 2）某某企企业业第第一一季季度度的的盈盈亏亏情情况况如如下下：一一月月盈盈利利2828万万元元，二二月月亏亏损损4444万万元元，三三月月盈盈利利8080万万元元，该该企企业第一季度共盈利业第一季度共盈利 。 （3 3）大大年年初初一一小小明明从从家家出出发发去去拜拜年年，向向西西走走了了3.53.5千千米米到到达达小小红红家家，继继续续走走了了2 2千千米米到到达达小小锋锋家家，然然后后向向东东走走了了7.57.5千千米米到到达达小小龙龙家家，最最后后回回家家。小小龙家距小红家龙家距小红家_千米，小明一共走了千米，小明一共走了_千米。千米。（4 4）某某日日小小明明在在一一南南北北方方向向的的跑跑道道上上练练习习折折返返跑跑。他他从从A A地地出出发发，每每次次折折返返的的时时候候记记录录下下自自己己的的跑跑步步情情况况如如下（向南为正方向，单位：米）下（向南为正方向，单位：米）5656， 9191， 6161， 9696现在他在现在他在A A地的什么方向？距地的什么方向？距A A地多远？共跑了多少米？地多远？共跑了多少米？（5 5）某某校校对对初初三三女女生生进进行行了了百百米米测测验验，达达标标成成绩绩为为1818秒秒，下下面面是是一一小小组组8 8名名女女生生的的成成绩绩纪纪录录。其其中中“+”+”号号表表示成绩大于示成绩大于1818秒。秒。+1+1， 0.80.8， 0 0， +1.2+1.2， +0.1+0.1， 0 0， 0.50.5， +0.6+0.6（1 1）这个小组女生的达标率是）这个小组女生的达标率是_。（2 2）这一组女生的平均成绩是多少秒？）这一组女生的平均成绩是多少秒？ （6 6）气气象象统统计计资资料料表表明明，高高度度每每增增加加10001000米米，气气温温就就降降低低大大约约66，现现在在某某地地80008000米米高高空空的的气气温温大大约约是是零零下下2121，则则地地面面气气温温是是_。 （7 7）要要拆拆掉掉由由12801280盆盆花花组组成成的的一一个个花花坛坛，第第1 1次次搬搬走走一一半半，第第2 2次次搬搬走走剩剩下下的的一一半半，如如此下去，搬第此下去，搬第6 6次后剩下的花有次后剩下的花有_盆。盆。（8 8）有有一一张张0.10.1毫毫米米厚厚的的纸纸，若若将将它它连连续续对对折折1010次，则厚度是多少？次，则厚度是多少？综合提高应用：综合提高应用：1.1.将将-4-4，-3-3，-2-2，-1-1，0 0，1 1，2 2，2.2.3 3，4 4填入右图中的填入右图中的9 9个方格中，个方格中，3.3.使得所有横行，竖行，斜对角线使得所有横行，竖行，斜对角线4.4.上上3 3个数相加的和都为个数相加的和都为0 0。5.2.王先生的信用卡密王先生的信用卡密码（四位数）有如下特征：（四位数）有如下特征：四个数字中没有四个数字中没有0 0，前两位数是，前两位数是5 5的的幂，后两，后两位数是位数是2 2的的幂，四个数字的和是奇数，四个数字的和是奇数，这四个四个数字的数字的积是是 。A. 60 B. 240 C. 480 D. 120A. 60 B. 240 C. 480 D. 1203.若若a a与与b b互为相反数，互为相反数，c c与与d d互为倒数，互为倒数，x x的绝对值为的绝对值为2 2求：求：4.5.6. 7.7.在在玩玩2424点点游游戏戏中中，小小明明抽抽到到了了黑黑桃桃1 1、红红桃桃2 2、黑黑梅梅花花2 2、红红方方块块3 3（红红色色扑扑克克牌牌代代表表负负数数，黑黑色色扑扑克克牌牌代代表表正正数数）。请请将将这这组组扑扑克克牌牌凑凑成成2424或或2424。列出算式：列出算式：_ = _ = _9.有理数的巧算：有理数的巧算：（1）计算：计算：1-2+3-4+5-6+-98+99-100=1-2+3-4+5-6+-98+99-100=（2 2）计算：）计算：-1+3-5+7-9+11-+1999-2001+2003=-1+3-5+7-9+11-+1999-2001+2003= 10.10.给给出出1 1，2 2，3 3，4 4，1111，1212这这1212个个数数，在在其其中中某某些些数数的的前前面面添添加加负负号号后后，使使这这1212个个数数的的和为零。试写出一个你认为正确的式子。和为零。试写出一个你认为正确的式子。1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12=01 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12=0一元一次方程一元一次方程 一、基本概念：一、基本概念：（一）方程（一）方程:含有未知数的等式叫做方程。含有未知数的等式叫做方程。（二）方程的解：使方程左右两边相等的（二）方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值积作方程的解。未知数的值积作方程的解。（检验方程的（检验方程的依据）依据）（三）解方程：求方程的解的过程叫做解（三）解方程：求方程的解的过程叫做解方程。方程。（四）一元一次方程：只含有一个未知数，（四）一元一次方程：只含有一个未知数，且未知数的次数是且未知数的次数是1，系数不为，系数不为0，这样的，这样的方程叫做一元一次方程。方程叫做一元一次方程。（五）等式性质：（五）等式性质：1.等式的两边同时加上或减去相同的数，等等式的两边同时加上或减去相同的数，等式仍然成立。式仍然成立。2.等式的两边同时乘以同一个数或除以同一等式的两边同时乘以同一个数或除以同一个不为个不为0的数，等式仍然成立。的数，等式仍然成立。注：等式的性质是解方程的理论依据，但注：等式的性质是解方程的理论依据，但解方程时方程两边同乘的数也不能为解方程时方程两边同乘的数也不能为0。（六）解一元一次方程的一般步骤：六）解一元一次方程的一般步骤：1.去分母去分母（方程两边同乘以各分母的最小公倍数）（方程两边同乘以各分母的最小公倍数）2.去括号去括号3.移项移项（移项要变号）（移项要变号）4.合并同类项合并同类项5.系数化为系数化为1（方程两边同除以未知数的系数）（方程两边同除以未知数的系数）1 1、下列方程中是一元一次方程的有、下列方程中是一元一次方程的有 。 练习：练习：2.2.关于关于x x的的方程方程x x3m-13m-1+7m-5=0+7m-5=0是一元一次方程，是一元一次方程，则则m=m= ，x=x= 。3.3.关于的方程关于的方程 =1=1是一元一次方程，是一元一次方程，则则a=a= 。 4 4、判断下列解方程的步骤是否正确，错误的改正过来、判断下列解方程的步骤是否正确，错误的改正过来（1 1）方程）方程6x=-5x6x=-5x移项得移项得6x+5x=0 6x+5x=0 。 （ ）（2 2）方程方程3(2x-3)=-2x3(2x-3)=-2x去括号得去括号得6x-3=-2x 6x-3=-2x （ ）（3 3）方程方程 去分母得去分母得 （ ） 5.5.解下列方程：解下列方程：6.6.若若x=3x=3是方程是方程3x+a=4x-63x+a=4x-6的解，则的解，则a=a= 。7.7.若方程若方程-4x=-5x+2-4x=-5x+2与方程与方程3kx-5=-3(x-k)3kx-5=-3(x-k)的解的解相同，则相同，则k=k= 。8.8.当当x=1x=1时，代数式时，代数式x x2 2-3ax+4-3ax+4的值是的值是7 7，当，当x=-1x=-1时，时，代数式的值是代数式的值是 。9.9.判断下列等式变化是否正确判断下列等式变化是否正确 10.10.解关于解关于x x的方程：的方程：ax+5=2x-1ax+5=2x-1