考点梳理考点梳理1设异面直线l1，l2的方向向量分别为m1，m2，则l1与l2的夹角满足cos |cosm1，m2|.2设直线l的方向向量和平面的法向量分别为m，n，则直线l与平面的夹角满足sin |cosm，n|.第第7讲讲立体几何中的向量方法立体几何中的向量方法()()求空间角求空间角3求二面角的大小b如图如图，n1，n2分别是二面角分别是二面角l的两个半平面的两个半平面，的法向量，则二面角的大小的法向量，则二面角的大小满足满足cos cosn1，n2或或cosn1，n2一个考情解读异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角是近年高考的常见内容在新课程标准下，立体几何的基本理论知识要求有所降低，因此应用向量这一工具解题尤为重要特别是对于易建系的空间图形，应尽量建立空间直角坐标系解决，以降低解题难度【助学助学微博微博】1如果平面的一条斜线与它在这个平面上的射影的方向向量分别是a(1,0,1)，b(0,1,1)，那么，这条斜线与平面所成的角是_考点自测考点自测答案答案602已知两平面的法向量分别为m(0,1,0)，n(0,1,1)，则两平面所成的二面角的大小为_答案答案45或或135答案304. 在如图所示的正方体A1B1C1D1ABCD中，E是C1D1的中点，则异面直线DE与AC夹角的余弦值为_5. 如图所示，在三棱柱ABCA1B1C1中，AA1底面ABC，ABBCAA1，ABC90，点E、F分别是棱AB、BB1的中点，则直线EF和BC1所成的角是_答案60考向一考向一求异面直线所成的角求异面直线所成的角【例2】 (2012苏锡常镇四市调研(二)如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB4，AD2，AA12，F是棱BC的中点，点E在棱C1D1上，且D1EEC1(为实数)考向二考向二利用向量求直线与平面所成的角利用向量求直线与平面所成的角方法总结 (1)异面直线的夹角与向量的夹角有所不同，应注意思考它们的区别与联系(2)直线与平面的夹角可以转化成直线的方向向量与平面的法向量的夹角，由于向量方向的变化，所以要注意它们的区别与联系【训练2】(2013苏北四市调研)如图，已知三棱柱ABC A1B1C1的侧面与底面垂直，AA1ABAC1，ABAC，M，N，P分别是CC1，BC，A1B1的中点(1)求证：PNAM；(2)若直线MB与平面PMN所成的角为，求sin 的值【例3】(2012天津卷)如图，在四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，ACAD，ABBC，BAC45，PAAD2，AC1.(1)证明：PCAD；(2)求二面角APCD的正弦值；(3)设E为棱PA上的点，满足异面直线BE与CD所成的角为30，求AE的长考向三考向三利用向量求二面角利用向量求二面角方法总结 求二面角最常用的方法就是分别求出二面角的两个面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角【训练3】 (2011湖北卷)如图，已知正三棱柱ABCA1B1C1的各棱长都是4，E是BC的中点，动点F在侧棱CC1上，且不与点C重合(1)当CF1时，求证：EFA1C；(2)设二面角CAFE的大小为，求tan 的最小值.向量法通过空间坐标系把空间图形的性质代数化，避免了寻找平面角和垂线段等诸多麻烦，使空间点线面的位置关系的判定和计算程序化、简单化主要是建系、设点、计算向量的坐标、利用数量积的夹角公式计算 规范解答规范解答15利用空间向量求空间角利用空间向量求空间角【示例】 (2011江苏卷)如图，在正四棱柱ABCD A1B1C1D1中，AA12，AB1，点N是BC的中点，点M在CC1上，设二面角A1DNM的大小为.(1)当90时，求AM的长；审题路线图审题路线图 设设CMt，建系确定点的坐标，利用平面，建系确定点的坐标，利用平面的法向量垂直求的法向量垂直求(1)问，利用法向量表示问，利用法向量表示cos 求求(2)问问1(2012福建卷)如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，AA1AD1，E为CD中点(1)求证：B1EAD1；(2)在棱AA1上是否存在一点P，使得DP平面B1AE？若存在，求AP的长；若不存在，说明理由；(3)若二面角AB1EA1的大小为30，求AB的长高考经典题组训练高考经典题组训练2. (2012江西卷)在三棱柱ABCA1B1C1中，已知ABACAA1，BC4，点A1在底面ABC的投影是线段BC的中点O.(1)证明在侧棱AA1上存在一点E，使得OE平面BB1C1C，并求出AE的长(2)求平面A1B1C与平面BB1C1C夹角的余弦值