第五章第五章 数值积分方法数值积分方法计算计算 但是在许多实际问题经常遇到下列情况：但是在许多实际问题经常遇到下列情况：（1）原函数存在但不能用原函数存在但不能用初等函数初等函数表示；表示； （2）原函数可以用初等函数表示，但原函数可以用初等函数表示，但结构复杂结构复杂； （3）被积函数没有表达式，仅仅是一张被积函数没有表达式，仅仅是一张函数表函数表。 问题提出问题提出 解决以上情况的积分问题，最有效的办法为数值积分法。此种方法是利用被积函数在一些离散点处的函数值，而求得满足一定代数精度要求的定积分近似值。2021/8/261取取左左端点端点矩形矩形近似近似 数值积分的数值积分的思想：思想：分割分割、近似、近似、求和求和取取右右端点端点矩形矩形近似近似 定积分定积分几何几何意义：意义：曲边梯形的面积曲边梯形的面积2021/8/262 数值积分公式的数值积分公式的一般形式一般形式：其中其中求积求积节点节点求积求积系数系数仅与仅与求积节点求积节点有关有关求积公式的求积公式的截断误差截断误差或或余项余项：2021/8/2635.1 插值型求积公式插值型求积公式思想思想用被积函数用被积函数 在区间在区间 上的上的插值多项式插值多项式近似代替计算近似代替计算作作n次次Lagrange插值多项式插值多项式: :设已知函数设已知函数 在节点在节点上的函数值上的函数值2021/8/264其中其中余项余项2021/8/265则有数值积分公式则有数值积分公式 这是用插值函数代替被积函数导出的定积分近似这是用插值函数代替被积函数导出的定积分近似计算公式，称为计算公式，称为插值型数值积分公式插值型数值积分公式。2021/8/266n=1时的求积公式时的求积公式一、梯形一、梯形公式公式2021/8/267用用梯形梯形面积近似面积近似 这是用线性插值函数代替被积函数导出的定积分近这是用线性插值函数代替被积函数导出的定积分近似计算公式，称为似计算公式，称为梯形数值积分公式梯形数值积分公式。几何意义几何意义2021/8/268截断误差：截断误差：已知线性插值的截断误差为已知线性插值的截断误差为 积分中值定理：积分中值定理： 连连续、不变号续、不变号2021/8/269n=2时的求积公式时的求积公式二、二、Simpson公式公式将将 a, b 二二 等分，等分节点等分，等分节点 x0 = a ，x1 = (a +b)/2，x2 = b 作为积分节点，构造二次作为积分节点，构造二次Lagrange插值多插值多项式项式L2(x)：2021/8/2610 这是用二次插值函数代替被积函数导出的定积分近似计这是用二次插值函数代替被积函数导出的定积分近似计算公式，称为算公式，称为辛普森数值积分公式辛普森数值积分公式。几何意义：几何意义：几何意义：几何意义：2021/8/2611SimpsonSimpson积分公式的截断误差（定理）：积分公式的截断误差（定理）： 积分中值定理：积分中值定理： 连续、不变号连续、不变号2021/8/2612复合求积法复合求积法 通常把积分区间等分成若干个子区间，在每个子区通常把积分区间等分成若干个子区间，在每个子区间上用低阶的求积公式（如梯形积分公式间上用低阶的求积公式（如梯形积分公式Simpson积分公式），对所有的子区间求和即得整个区间积分公式），对所有的子区间求和即得整个区间a, b上的积分公式，这种方法称为上的积分公式，这种方法称为复合求积法复合求积法。5.2 复合复合求积求积公式公式2021/8/26135.2.1 5.2.1 复化梯形积分复化梯形积分 将将a, b分成若干小区间，在每个区间分成若干小区间，在每个区间xi, xi+1上用上用梯形积分公式，再将这些小区间上的数值积分累加梯形积分公式，再将这些小区间上的数值积分累加起来，就得到区间起来，就得到区间a, b上的数值积分。这种方法称上的数值积分。这种方法称为为复化梯形积分复化梯形积分。 计算公式计算公式 将将a, b n等分等分, h = xi+1- xi= (b -a)/n, xi = a + ih, i = 0,1,2,n,2021/8/2614记为记为记为记为 T T( (h h) ) 或或或或 T Tn n( ( f f ): ):复化梯形复化梯形公式的几何意义公式的几何意义小梯形小梯形面积面积之和之和近似近似复化梯形复化梯形公式公式2021/8/2615复化梯形复化梯形公式的余项公式的余项设设由由介值介值定理定理余项估计式余项估计式2021/8/2616 计算公式计算公式 将将a, b 2m 等分等分, m 为积分子区间数，记为积分子区间数，记 n = 2m，n+1为节点总数为节点总数 ，h = xi+1- - xi= (b - -a)/n, xi = a + ih, i = 0,1,2,n,5.2.2 复化复化Simpson公式：公式：2021/8/2617复化复化Simpson公式公式复化复化Simpson公式的几何意义公式的几何意义小抛物小抛物面积面积之和之和近似近似系数首尾为系数首尾为1，奇数点为，奇数点为4，偶数点为，偶数点为22021/8/2618复化复化Simpson公式的余项公式的余项设设由由介值介值定理定理余项估计式余项估计式2021/8/2619例：例： 分别利用复化分别利用复化梯形梯形公式、公式、复化复化Simpson公式公式计算计算积分积分 的近似值，要求按复化的近似值，要求按复化Simpson公公式计算时误差不超过式计算时误差不超过 。解：解： 首先来确定首先来确定步长步长复化复化Simpson公式的余项：公式的余项：其中其中2021/8/2620本题本题 的求法：的求法：由由归纳法归纳法知知2021/8/2621解不等式得解不等式得将区间将区间 8等分，分别采用复化等分，分别采用复化Simpson、梯形梯形公式公式 0 1/8 1/4 3/8 10.9973980.9896880.976727 1/2 5/8 6/8 7/8 10.9588510.9361560.9088580.8771930.8414712021/8/2622复化复化梯形梯形公式公式( (n=8) )复化复化Simpson公式公式( (n=4) )2021/8/2623代数精度代数精度的判别方的判别方法法 如果求积公式如果求积公式对一切不高于对一切不高于m次的多项式都次的多项式都恒成立恒成立，而对于某个，而对于某个m+1次多项式次多项式不能精确成立不能精确成立，则称该求积公式具有，则称该求积公式具有m次代数精度。次代数精度。 定理定理 求积公式求积公式具有次具有次m代数精度的充要条件是代数精度的充要条件是 为为 时求积公式时求积公式精确成立精确成立，而，而 为为 时求积公式时求积公式不能成为等式。不能成为等式。5.3 数值积分公式的代数精度和数值积分公式的代数精度和 Gauss求积求积公式公式2021/8/2624例例2 见见p73的例的例5.52021/8/2625 Gauss求积求积公式公式一、一、 Gauss积分问题的提法积分问题的提法 前述前述的的求积公式中求积节点是取求积公式中求积节点是取等距节点等距节点，求积系数，求积系数计算方便，但计算方便，但代数精度代数精度要受到限制；要受到限制； 为了提高为了提高代数精度代数精度，需要适当选择求积节点，需要适当选择求积节点: :当求积节点个数确定后，不管这些求积节点如何选当求积节点个数确定后，不管这些求积节点如何选 取，取，求积公式的求积公式的代数精度代数精度最高最高能达到多少？能达到多少？具有具有最高最高代数精度代数精度的求积公式的求积公式中求积节点如何选取？中求积节点如何选取？积分公式的积分公式的一般形式一般形式：2021/8/2626 形如形如 的的插值型插值型求积公式的代数精度最高不超过求积公式的代数精度最高不超过2n+1次。次。 定理定理2021/8/2627 这样由方程组的4个方程就能求出4个未知数，得根据定理知三点插值型求积公式的代数精度为5，同理可以去验证三点高斯求积公式二、二、 Gauss求积公式的应用求积公式的应用积分积分见书上的见书上的P75. 2021/8/2628部分资料从网络收集整理而来，供大家参考，感谢您的关注！