上页下页铃结束返回首页2.2 极限的性质与运算法则极限的性质与运算法则一、一、性质性质性质性质1(唯一性唯一性) 若极限若极限lim f(x)存在，则极限唯一。存在，则极限唯一。注注 此定理对数列也成立。此定理对数列也成立。注注 1、其他类型的极限对应的邻域由定义中、其他类型的极限对应的邻域由定义中x的变化范的变化范围确定。围确定。2、此处只说有一个空心邻域，至于空心邻域有多大由、此处只说有一个空心邻域，至于空心邻域有多大由具体函数确定。具体函数确定。上页下页铃结束返回首页性质性质3(局部保号性局部保号性)性质性质4注注性质性质5上页下页铃结束返回首页二、二、四则运算法则四则运算法则定理定理推论推论上页下页铃结束返回首页 定理定理 如果lim f与lim g存在，则有 lim(fg)=lim flim g 。 因此，在上述时刻以后，恒有这就证明了lim(fg)=AB ，即lim(fg)=lim flim g。总有那么一个时刻， 在此时刻以后，恒有|(fg)-(AB)|f-A|+|g-B| 证明证明：设limf=A，limg=B，则对于任意给定的e 0， | f-A|21e ， |g-B|21e 。 上页下页铃结束返回首页注注1、应用时必须注意条件，如极限存在、分母不为、应用时必须注意条件，如极限存在、分母不为零、偶次根号下非负等；零、偶次根号下非负等；2、定理中、定理中C、n、都是与自变量无关的常量。都是与自变量无关的常量。 上页下页铃结束返回首页 如果lim f与lim g存在，则 lim(fg)=lim flim g ； lim fg=lim flim g 下页=2。 例例1 解：解：上页下页铃结束返回首页讨论讨论：提示提示：例例2答案答案上页下页铃结束返回首页如果lim f与lim g存在且lim g 0,则 例例2 解：解： 例例3 解：解：gfgflimlimlim=BA(B0)。 上页下页铃结束返回首页 如果lim f与lim g存在且lim g 0，则 。 例例4 解：解：gfgflimlimlim=BA(B0)。 上页下页铃结束返回首页讨论：讨论：提示：提示： 当Q(x0)=P(x0)=0时，分子分母约去(x-x0)。 上页下页铃结束返回首页 如果lim f与lim g存在且lim g 0，则 。 例例5 解：解：gfgflimlimlim=BA(B0)。 上页下页铃结束返回首页 解：解：将分子分母同除以n 2，得 解：解：将分子分母同除以x 4 ，得 例例6 例例7 上页下页铃结束返回首页 解：解：将分子分母同除以x 3 ，得 例例8 讨论：讨论：上页下页铃结束返回首页证明原式由即得所证.证证上页下页铃结束返回首页例例上页下页铃结束返回首页 例例9 解：解：上页下页铃结束返回首页解例10 初等展开上页下页铃结束返回首页例11-1上页下页铃结束返回首页解例11 有理化上页下页铃结束返回首页例例12 , 求求 a , b 的值的值解解上页下页铃结束返回首页例例13 解解 当 时， ， 的分母都趋于零，原式 出现“ ”的形式，两项均不存在极限，故不能直接使用极限运算法则，此时需先通分，变换一下形式。 原式 = （消去零因子）（消去零因子）上页下页铃结束返回首页14. 求解法解法 1 原式 =解法解法 2 令则原式 =上页下页铃结束返回首页15. 试确定常数 a ,b 使上页下页铃结束返回首页16. 试确定常数 a 使解解 : 令则故因此上页下页铃结束返回首页例例17. 确定常数 a , b , 使解解: 原式故于是而上页下页铃结束返回首页 下列各题的解题过程是否有错误？如何改正错误？解题评析：解题评析：下页上页下页铃结束返回首页= 结束上页下页铃结束返回首页本周本周作业一：作业一：4. 已知已知答案答案2(答案答案 1)(答案答案 -2)13(答案答案 -5)上页下页铃结束返回首页本周本周作业二：作业二：1答案答案2答案答案 1答案答案 2/345答案答案 2/3求答案答案 19/36上页下页铃结束返回首页9(答案答案 1)1011. 已知已知 , 求求 k 的值的值12.已知 求a,b的值。13 设是多项式 , 且求