第十讲 股票期权价格的特征要点：探讨欧式期权价格、美式期权价格和标的资产价格之间的关系。证明：提前执行不付红利股票美式看涨期权决不是最佳选择，但在某些条件下，提前执行基于这个股票的美式看跌期权则是最佳的。影响期权价格的因素六种因素影响股票期权的价格1股票的现价2执行价格3到期期限4股票价格的波动率5无风险利率6期权有效期内预计发放的红利股票价格和执行价格 如果看涨期权在将来某一时间执行，则其收益为股票价格与执行价格的差额；随着股票价格的上升，看涨期权的价值也就越大；随着执行价格的上升，看涨期权的价值就越小；对于看跌期权来说，其收益为执行价格与股票价格的差额。看跌期权的行为刚好与看涨期权相反。当股票价格上升时，看跌期权的价值下降；当执行价格上升时，看跌期权的价值上升。到期期限当期权的有效期限增加时，美式看跌期权和看涨期权的价值都会增加。例子：考虑其他条件相同，只有到期日不同的两个美式期权则有效期长的期权其执行的机会不仅包含了有效期短的那个期权的所有执行机会，而且它的获利机会会更多。因此有效期长的期权的价值总是大于或等于有效期短的期权价值。 随着有效期的增加，欧式看跌期权和欧式看涨期权的价值并不一定必然增加，这是因为有效期长的期权的执行机会并不一定包含有效期短的期权的所有执行机会。有效期长的期权只能在其到期日执行；例子：考虑同一股票的两个欧式看涨期权，一个到期期限为1个月，另一个到期期限为2个月。假定，预计在六周后将支付大量的红利。红利会使股票价格下降，这就有可能使有效期短的期仅的价值超过有效期长的期权的价值。波动率股票价格的波动率是用来衡量未来股票价格变动的不确定性。随着波动率的增加，股票上升很高或下降很低的机会也随着增加。对于股票的持有者来说，这两种变动趋势将互相抵消；但对于看涨期仅或看跌期权约持有者来说，则不是这样。看涨期权的持有者从股价上升中获利，当股价下跌时，由于他或她的最大损失就是期权费，所以他仅有有限的损失。与此类似，看跌期权约持有者从股价下跌中获利，当股价上升时，仅有有限的损失。随着波动率的增加，看涨期权和看跌期权的价值都会增加。无风险利率 无风险利率对期权价格的影响并不直接，当整个经济中的利率增加时，股票价格的预期增长率也倾向于增加，但期权持有者收到的未来现金流的现值将减少。两种影响都将减少看跌期仅的价值：因此随着无风险利率的增加，看跌期仅的价格将减少。而对于看涨期权来说，前者将增加看涨期权的价格，而后者将倾向于减少看涨期权约价格。可证明对看涨期权来说，前者的影响将起主导作用，即随着无风险利率的增加，看涨期权的价格总是随之增加。 所有这些结果都是建立在其他变量保持不变的基础上； 当利率上升(或下降)时，股票价格也将下降(或上升)。若考虑利率变化和随之而来的股价变化的净效应则可能会得出与上而相反的结论。红利在除息日后，红利将减少股票的价格，对于看涨期权的价值来说这是个坏消息，而对于看跌期权的价值来说则是一个好消息。看涨期权的价值与预期红利的大小成反向变动，而看跌期权的价值与预期红利的大小成正向变动假设与符号假定存在一些市场参与者，如大的投资银行，市场中： 1没有交易费用。 2所有交易利润(减去交易损失后)具 备相同的税率。 3可以按无风险利率借入和贷出资 金。字母的含义为：S：股票现价X：期权执行价格T：期权的到期时间t： 现在的时间 ：在T时刻股票的价格r：在T时刻到期的投资的无风险利率C：购买一股股票的美式看涨期权的价值P：出售一股股票的美式看跌期权的价值c：购买一股股票的欧式看涨期权的价值p：出售一股股票的欧式看跌期权的价值 ：股票价格的波动率期权价格的上下限期权价格的上限 美式看涨期权或欧式看涨期权的持有者有权以其一确定的价格购买一股股票，在任何情况下，期权的价值都不会超过股票的价值。股票价格是期权价格的上限： cS, CS 如果不存在这一关系，则套利者购买股票并卖出看涨期权轻易地获得无风险利润。 美式看跌期权或欧式看跌期权的持有者有权以X的价格出售一股股票；无论股票价倍变得多么低，期权的价值都不会超过X 。因此上限： pX和PX 对于欧式期权来说，在T时刻，期权的价值都不会超过X，因此现在期权的价值不会超过X的现值： 如果不存在这一关系则套利者可出售期权并将所得收入以无风险利率进行投资，获得无风险收益。不付红利的看涨期权的下限不付红利的欧式看涨期权的下限是：例子： 假定S20，X18r每年10，T-t1年。在本例中，如果期权价格不等于371，有无套利机会？考虑欧式看涨期权的价格等于3.00的情况，即小于理论上的最小值3.71套利者可以购买看涨期权并卖空股票期初：现金流为 2031700；如果17以年利率10投资1年期末：期权到期， 1700将变为如果股票价格高于18，套利者以18的价格执行期权，并将股票的空头平仓，则可获利： 187918.00079如果股票价格低于18，则套利者从市场上购买股票并将股票空头平仓。套利者甚至可获得更高的利润。例如，如果股票价格为17，则套利者的盈利为：正式证明，考虑下面两个组合：组合A：一个欧式看涨期仅加上金额为 的现金组合B：一股股票。在T时刻，组合A的价值为：在T时刻，组合B的价值为在不存在套利机会的情况下下列等式是成立的： 对于一个看涨期权来说，可能发生的最坏情况是期权到期价值为零，这意味着期权的价值必须为正值，即c0，则：例子： 考虑 一个不付红利的股票的美式看涨期权，此时股票价格为51时、执行价格为50，距到期日有六个月无风险年利率为12；该期权价格的下限为多少？（3.91）不付红利的欧式看跌期权的下限 对于一个不付红利股票的欧式看跌期权，其价格的下限为：例子：假定S37，X40，r5每年，T-t05年；。在本例中,下限为：问题：考虑欧式看跌期权价格为1时，即小于理论上的最小值2.01时，如何套利？套利者可借入六个月期的38，同时用所借资金购买看跌期权和股票。在六个月末，套利者将支付如果股票价格低于4000，套利者执行期权以40卖出股票，归还所借款项本金和利息，其获利为： 40003896104 如果股票价格高于40，套利者放弃期权，卖出股票并偿付所借款项本金和利息，甚至可获得更高的利润。 例: 如果股票价格为42，则套利者的利润为： 4238963.04正式证明，考虑两个组合：组合C：一个欧式看跌期权加上一股股 票。组合D：金额为 的现金对于一个看跌期权，可能发生的最坏情况是期权到期价值为零，所以期权的价值必须为正值，即p0。这意味着：练习： 考虑一个不付红利股票的欧式看跌期权，股票价格为38，执行价格为40，距到期日还有三个月，无风险年利率为10。则该期权价格的下限为多少？提前执行：不付红利股票的看涨期权问题一：提前执行不付红利的美式看涨期权是有利吗？案例：考虑一个不付红利股票的美式看涨期权，距到期日还有1个月，胶票价格为50，执行价格为40，期权的实值额很大，期权的持有者可能很想立即执行它。但如果投资者计划持有该股票超过一个月，那么这就不是最佳的策略。更好的方案是持有期权，并在期权的到期日执行它。此时，支付40的执行价格的时间要比立即执行晚一个月。这就是说，可获得本金为40、期限为一个月的利息。由于股票不支付红利，则投资者不会牺牲任何来自股票的收益。股票价格在这一个月内还有可能会低于40(虽然机会可能很遥远)。在这种情况下，投资者将不会执行期权并庆幸没有提前执行期权。结论： 如果投资者计划在期权的有效期内持有股票(在本例中为一个月)，则提前执行期权没有好处。问题二：如果投资者认为股票现在被高估，是否应该执行期权并卖出股票呢? 在这种情况下，投资者最好是出售该期权而不是执行它。 那些确实想持有股票的投资者将会购买该期权。这类投资者是定存在的，否则股票的现价就不会是50。收取的期权费将大于期权的10的内在价值。期权下限为：正式证明，可考虑两个组合：组合E：一个美式看涨期权加上金额为 的现金组合F：一股股票分析：1、如果看涨期权在 时刻执行，组合E的价值为：当 T时，由于r0，组合E的价值总是小于S 2、如果持有看涨期权到期，则在T时刻组合E的价值为：组合F的价值为： 总结：如果立即执行期权则组合E的价值低于组合F的价值，如果持有者直到到期日才执行期权，则组合E的价值将等于或高于组合F的价值。在到期日之前，不付红利股票的看涨期权决不应该执行。因此，同一种不付红利股票的美式看涨期权价值与相同股票的欧式看涨期权的价值相同，即C=c但美式看涨期权的持有者包含有相应的欧式看涨期权的所有执行机会，则： 看涨期权不应提前执行：原因之一是由于期权可提供保险；当持有看涨期权而不是持有股票本身时看涨期权保证持有者在股票价格下降到执行价格之下时不受损失。一旦该期权被执行，股票价格取代了执行价格，这种保险就消失了；原因之二是与货币的时间价值有关。越晚支付执行价格越好。提前执行：不付红利的看跌期权问题三：提前执行不付红利的看跌期权是否有利？案例：假定执行价格为10，股票价格接近为0通过立即执行期权，投资者可立即获利10。如果投资者等待，则执行期权的盈利可能低于10，但是由于股票价格不可能为负值，所以盈利不会超过10。另外，现在收到10比将来收到10更好。该期权应立即执行。分析：组合G：一个美式看跌期权加上一股股 票组合H：金额为 的现金可以得出：组合Hp，C=c,可以得出(关系上限)：关系下限，先考虑两组合：组台I：欧式看涨期权加上金额为X的现金组合J：美式看跌期权加上一股股票在T时刻执行美式看跌：组台I价值：组合J价值：在T之前执行美式看跌：组合I价值：组合J价值： X结论：组台I价值组合J价值案例： 考虑不付红利股票的美式看涨期权，执行价格为20，到期期限为5个月，期权价格为l.5。则同一股票相同执行价格的到期期限的欧式看涨期权的价格也是如此。假定股票的现价为19，无风险年利率为10。执行价格为20，到期期限为5个月的欧式看跌期权的价格为： 这表明PC在1和0.18之间。由于C为150，P必须在1.68和2.50之间；即与美式看涨期权执行价格和到期期限相同的美式看跌期权价格的上限和下限分别为250和168。