组组 合合 变变 形形第第 十十 一一 章章112 两相互垂直平面内的弯曲两相互垂直平面内的弯曲113 拉伸拉伸紧缩与弯曲与弯曲115 扭扭转与弯曲与弯曲111 概述概述114 偏心拉偏心拉压） 截面核心截面核心 内容提要内容提要 本章主要研究了利用外力分解或简化的方法对组合变形进行本章主要研究了利用外力分解或简化的方法对组合变形进行强度计算的方法和步骤强度计算的方法和步骤重点重点1.杆件在组合变形下的应力计算方法杆件在组合变形下的应力计算方法2.拉拉(压压)和弯曲的组合和弯曲的组合3.扭转与弯曲的组合扭转与弯曲的组合难点难点1.将组合变形分解为基本变形的途径将组合变形分解为基本变形的途径2.危险截面和危险点的确定危险截面和危险点的确定 一、一、 组合合变形概念形概念 : 构件在荷构件在荷载作用下作用下发生两种或两种生两种或两种 以上的基本以上的基本变形形,则构件的构件的变形称形称为组合合变形。形。二、二、 解决解决组合合变形形问题的基本方法的基本方法 : 叠加法叠加法三、工程三、工程实例例: 111 概述概述处理组合变形的基本方法处理组合变形的基本方法一，将一，将组合合变形形 分解分解 为基本基本变形形将外力将外力简化或分解，化或分解， 使之每个力使之每个力(或力偶或力偶)对应一种基本一种基本变形；形； 三，利用三，利用 叠加原理叠加原理 将基本将基本变形下的形下的应力和力和变形叠加形叠加二，分二，分别计算在每一种基本算在每一种基本变形下构件的的形下构件的的应力和力和变形；形；= =+ + += =+ +两相互垂直平面内的弯曲也称两相互垂直平面内的弯曲也称 斜弯曲。斜弯曲。双双对称截面梁称截面梁 在水平和垂直两在水平和垂直两纵向向对称面内同称面内同时受受横向外力作用，分横向外力作用，分别在水平在水平纵向向对称面和垂直称面和垂直纵向向对称面内称面内发生生对称弯曲。称弯曲。112 两相互垂直平面内的弯曲两相互垂直平面内的弯曲梁在垂直梁在垂直纵对称面称面 xy 面内面内发生平面弯曲生平面弯曲 。Z轴为中性中性轴yxz挠曲线挠曲线梁的轴线梁的轴线对称轴对称轴垂直纵向对称面垂直纵向对称面xyz 梁的轴线梁的轴线对称轴对称轴水平纵向对称面水平纵向对称面梁在水平梁在水平纵向向对称面称面 xz 平面内弯曲，平面内弯曲，y 轴为中性中性轴。挠曲线挠曲线yzxP1P2a 一、一、 梁任意横截面上的内力分析梁任意横截面上的内力分析P1 使梁在使梁在 XZ 平面内弯曲平面内弯曲y 轴为中性中性轴）P2 使梁在使梁在 XY 平面内弯曲平面内弯曲z 轴为中性中性轴）yzxmmxP1P2ammzyMyMy = P1 x （使梁在（使梁在 XZ 平面内弯曲，平面内弯曲，y 为中性中性轴）P1 和和 P2在在 mm 面内面内产生的弯矩生的弯矩为yzxMZ = P2 (x-a) （使梁在（使梁在 XY 平面内弯曲，平面内弯曲，z 为中性中性轴）mmxP1P2ammzyMZMy 二二 、 梁横截面上的应力分析梁横截面上的应力分析 （任意点（任意点 C(y, z) 的正应力）的正应力）o z ymmzyMZMyMZ C ( y,z )mmzymmzyMZMyo z yMZ C ( y,z )与与 My 相相应的正的正应力力为与与 Mz 相相应的正的正应力力为o z ymmzyMZMyMZ C ( y,z )C 点点处的正的正应力力为三、三、 横截面上中性轴的位置横截面上中性轴的位置 yze (z0,y0)该点的正点的正应力等于力等于 零零假假设点点 e ( z0 ,y0 ) 为中性中性轴上任意一点上任意一点中性轴中性轴三、三、 横截面上中性轴的位置横截面上中性轴的位置 yze (z0,y0)中性中性轴方程方程为中性中性轴是一条通是一条通过横截面形心的直横截面形心的直线。 z yo 中性轴中性轴中性中性轴的位置由的位置由 它与它与 y 轴的的夹角角 确定确定 yZo 公式中角度 是横截面上合成弯矩 M 的矢量与 y 轴的夹角。 M中性轴中性轴yZo横截面上合成弯矩横截面上合成弯矩 M 为 M中性轴中性轴动画画yx M中性轴中性轴 z yo讨论：所以所以挠曲曲线与外力合成弯矩所在面不共面与外力合成弯矩所在面不共面 ,此此为斜弯曲的斜弯曲的变形特征。形特征。 （1） 一般情况下，截面的一般情况下，截面的 IzIy , 故中性故中性轴与合成弯矩与合成弯矩 M 所在平面不垂直，此所在平面不垂直，此为斜弯曲的受力特征。斜弯曲的受力特征。z 中性轴中性轴 z yo讨论：讨论：（2） 对于于圆形、正方形等形、正方形等 Iy=Iz 的截面，有的截面，有 = ，梁，梁发生生 平面弯曲，正平面弯曲，正应力可用合成弯矩力可用合成弯矩 M 按正按正应力力计算公式算公式计算。算。梁的梁的挠曲曲线一般仍是一条空一般仍是一条空间曲曲线，故梁的，故梁的扰曲曲线方程方程仍仍应分分别按两垂直面内的弯曲来按两垂直面内的弯曲来计算，不能直接用合成弯矩算，不能直接用合成弯矩进行行计算。算。 Mzyo中性轴四、四、 强度分析强度分析作平行于中性作平行于中性轴的两直的两直线分分别与与横截面周横截面周边相切于相切于 D1 、D2两点两点，D1 、D2 两点分两点分别为横截面上横截面上最大拉最大拉应力点和最大力点和最大压应力点。力点。zyozyo中性轴中性轴中性轴中性轴对于矩形、工字形等有两个相互垂直的于矩形、工字形等有两个相互垂直的对称称轴的截面的截面梁横截面的最大正梁横截面的最大正应力力发生在截面的棱角生在截面的棱角处。 ，zyozyo中性轴中性轴可根据梁的可根据梁的变形情况，直接确定截面上最大拉，形情况，直接确定截面上最大拉，压应力点的位置，无需定出中性力点的位置，无需定出中性轴。中性轴中性轴五，强度条件五，强度条件斜弯曲的危斜弯曲的危险点点处于于单轴应力状力状态，所以，所以强度条件度条件为 xA B CzyP2=2KNP1=1KN 0.5m 0.5m 4080zyo a d b c例题例题 : 矩形截面的悬臂梁承受荷载矩形截面的悬臂梁承受荷载 如下图。试如下图。试 确定确定危险截面、危险点所在位置，计算梁内最大正应力的值。危险截面、危险点所在位置，计算梁内最大正应力的值。P1=1KNP2=2KNA B Czy 0.5m 0.5m x解解: (1) 外力分析外力分析在在 P2 力作用下将在力作用下将在 XOZ 平面内平面内发生平面弯曲生平面弯曲（ y 为中性中性轴）故此梁的故此梁的变形形为两个相互垂直平面弯曲的两个相互垂直平面弯曲的组合合- 斜弯曲斜弯曲梁在梁在 P1力作用下将在力作用下将在XOY平面内平面内发生平面弯曲生平面弯曲（ z为中性中性轴）P1=1KNA B Czy 0.5m 0.5m x(2) 绘制弯矩图绘制弯矩图绘出出 MZ (x)图 图图1KN.m 图图1KN.m绘出出 MY(x) 图， A 截面截面为梁的危梁的危险截面。截面。其其值为 MZ = 1 KN.m MY = 1 KN.mP2=2KNzyxP1=1KNP2=2KNA B Czy 0.5m 0.5m xMz使使A截面上部受拉，下部截面上部受拉，下部受受压。My使使A截面前部受拉，后部截面前部受拉，后部受受压。 图图1KN.m 图图1KN.mzyx（3） 应力分析应力分析zyxzyxD1 是最大拉是最大拉应力点力点D2 是最大是最大压应力点力点两点正两点正应力的力的绝对值相等相等拉拉压拉拉压zyxzyx8040zyzyx8040zy MZ = 1 KN.m MY = 1 KN.mMZoz d xa b cy（4中性轴的位置中性轴的位置oz d xa b cyoz d xa b cyMZMYMYMYoMZz d xa b cy8040zy中性轴中性轴 8040zy中性轴中性轴 D1D2（5绘制绘制总应力分布图总应力分布图+- D1=70.2 D2=-70.2拉拉压例题：例题：20a 号工字钢悬臂梁受集度为号工字钢悬臂梁受集度为 q 的均布荷载和集中力的均布荷载和集中力P = ga/2 作用。已知钢的许用应力作用。已知钢的许用应力 =160MPa，a=1m。试求此。试求此梁的许可荷载集度梁的许可荷载集度 q。400PqaaACByz400PqaaACByz解：将力解：将力P向向 y 轴和和 z 轴分解分解PyPzPy= Pcos400 = 0.383qaPz= Psin400 = 0.321qa400PqaaACByzPyPzPy 与均布荷与均布荷载 q 在在 xy平面平面产生平面弯曲生平面弯曲z为中性中性轴）。）。Pz 在在 xz平面平面产生平面弯曲生平面弯曲y为中性中性轴）。）。x400PqaaACByzPyPzx(1) 画弯矩图画弯矩图qPyACBxy面面PzACBxz面面qPyACBxy面面PzACBxz面面DD0.617abcda0.456qa20.266qa20.383qa2Mz图图adcb0.321qa20.642qa20.444qa2My图图0.617abcda0.456qa20.266qa20.383qa2Mz图图adcb0.321qa20.642qa20.444qa2My图图A，D 两截面可能是危两截面可能是危险截面截面MzA = 0.266qa2MzD = 0.456qa2MyA = 0.642qa2MyD = 0.444qa2A 截面：截面： D 截面：截面：MzA = 0.266qa2MzD = 0.456qa2MyA = 0.642qa2MyD = 0.444qa2A 截面：截面： D 截面：截面：（2计算算应力力查工字工字钢表表 20a 号号A 截面：截面： D 截面：截面：梁的危险点在梁的危险点在 A 截面棱角处截面棱角处例题：例题： 分布荷载分布荷载 q=1.2KN/m，采用矩形截面，采用矩形截面 h:b=3:2，跨距，跨距 l =3.6m。容许应力。容许应力 =10MPa。试设计截面尺寸。试设计截面尺寸。bhZyq300qbhZyq300qqyqz解：解：q将向将向轴 x，y 分解分解qybhZyq300qyqzqz该梁梁为斜弯曲斜弯曲qyqzbhZyq300qyqz梁中梁中间截面有最大弯矩截面有最大弯矩最大正最大正应力力发生在角点上生在角点上qyqzbhZyq300qyqzqyqzb=87.6mmh=131mmzy五，斜弯曲的挠度五，斜弯曲的挠度分分别求出求出 Py 引起的引起的挠度度 fy 和和 Pz 引起的引起的挠度度 fz方法：叠加原理方法：叠加原理fzfyf 1总挠度度为 fzyfzfyf 1总挠度与度与轴的的夹角角为 1 一、一、组合合变形的受力特点形的受力特点11 2 拉伸拉伸紧缩与弯曲与弯曲 杆件将杆件将发生拉伸生拉伸 (紧缩 ) 与弯曲与弯曲组合合变形。形。作用在杆件上的作用在杆件上的 外力既有外力既有轴向拉向拉 ( 压 ) 力，力，还有横向力。有横向力。二、二、变形特点形特点PPSSP 产生弯曲生弯曲变形形S 产生拉伸生拉伸变形形 PyPxPy 产生弯曲生弯曲变形形Px 产生拉伸生拉伸变形形二、二、 拉拉(压压)与弯曲内力分析与弯曲内力分析xzy0MZNMy杆件横截面上内力杆件横截面上内力弯曲弯曲 拉拉(压)：轴力力N弯矩弯矩 MZ 或或 My (或二者皆有或二者皆有) 剪力剪力因因为引起的剪引起的剪应力力较小，故一般不考小，故一般不考虑。 横截面上任意一点横截面上任意一点 ( z, y) 处的的正正应力力计算公式算公式为三、三、 应力分析应力分析xzy0MZNMy( z,y )拉伸正拉伸正应力力 N弯曲正弯曲正应力力 Mz， My轴力力跨中截面是杆的危跨中截面是杆的危险截面截面PSS与与轴力力对应的拉伸正的拉伸正应力力与弯矩与弯矩对应的最大弯曲正的最大弯曲正应力力 PSS -杆危杆危险截面下截面下边缘各点各点处的上的拉的上的拉应力力为 PSS -动画画 当材料的许用拉应力和许用压应力不相等时，应分别建立杆件的抗拉、 压强度条件。 四，强度条件四，强度条件由于危由于危险点点处的的应力状力状态仍仍为单轴应力状力状态，故其，故其为例题例题: 一折杆由两根无缝钢管焊接一折杆由两根无缝钢管焊接 而成而成,已知两根钢管的外径都已知两根钢管的外径都 是是140mm ,壁厚都是壁厚都是10 mm 。 试求折杆危险截面上的最大试求折杆危险截面上的最大 拉应力和最大压应力。拉应力和最大压应力。1.6 m1.2 m1.6 mAB10 KN1.2 mCA1.6 m1.2 m1.6 mAB10 KN1.2 mCAHARARB解：（解：（1） 首先求支反力。首先求支反力。 由静力平衡方程可求得由静力平衡方程可求得 RA = RB= 5 KNHA= 01.6 m1.2 m1.6 mAB10 KN1.2 mCAHARARB 由于折杆本身和它所受的由于折杆本身和它所受的 力都是左右力都是左右对称的，故只称的，故只 需分析它的一半即需分析它的一半即 AC杆杆 任一横截面任一横截面 x 上的内力。上的内力。（2用截面法分析内力用截面法分析内力 由由图示尺寸可求得示尺寸可求得10 KNCABRARB将将 RA 沿沿 AC 的的轴线和垂直和垂直AC 轴线的方向分解的方向分解为xA 产生生轴向向压缩yA 产生弯曲生弯曲10 KNCABRARBx任任 一一 横截面横截面 x 上的内力上的内力轴力力 N = XA弯矩弯矩 M (x) = YA x剪力剪力 Q = YA （略）（略）10 KNCABRARB 轴力力 N = XA 弯矩弯矩 M (x) = YA x危危险截面截面为11截面，截面，其内力其内力11轴力力 N = XA = 3 KN弯矩弯矩 M = YA 2 = 8 KN.mx10 KNCABRARB(3) AC 杆危杆危险截面截面 上的上的 最大拉最大拉应力和最大力和最大压应力力g点点为最大最大压应力点，力点，f点点为最大拉最大拉应力点。力点。x11gf例题：悬臂吊车如图所示。横梁用例题：悬臂吊车如图所示。横梁用20a工字钢制成。工字钢制成。其抗弯刚度其抗弯刚度Wz=237cm3,横截面面积横截面面积A=35.5cm2，总荷载，总荷载P=34KN，横梁材料的许用应力为，横梁材料的许用应力为 =12.5MPa。校核横。校核横梁梁AB的强度。的强度。ABCD1.2m1.2m300ABCD1.2m1.2m300解：分析解：分析AB的受力的受力DABPRSNAB300ABCD1.2m1.2m300ABDPNABRS300NAB=PRA=0.5PHA=0.866PRAHAAB为平面弯曲与平面弯曲与压缩组合合变形。形。中中间截面截面为危危险截面。最大截面。最大压应力力发生在生在该截面的上截面的上边缘。压缩正正应力力最大弯曲正最大弯曲正应力力ABCD1.2m1.2m300ABDPNABRS300RAHAABCD1.2m1.2m300114 偏心拉偏心拉压） 截面核心截面核心定定义：当外力作用：当外力作用线与杆的与杆的轴线平行但不重合平行但不重合时，将引起将引起轴向拉伸向拉伸紧缩和平面弯曲两种基本和平面弯曲两种基本变形。形。o1yzP1，偏心拉压），偏心拉压） xyzyzo1PPeP以横截面具有两以横截面具有两对称称轴的等直杆承受偏心拉力的等直杆承受偏心拉力 P 为例例 一、一、 将外力向截面形心将外力向截面形心简化，使每个力化，使每个力(或力偶或力偶)只只产生一种生一种基本基本变形形式形形式xyzyzo1P轴向拉力：向拉力： P力偶矩力偶矩 : m = P e，将将 m 分解为两力偶分解为两力偶 my 、 mz ePmymzzP , yPP 使杆使杆发生拉伸生拉伸变形形My 使杆使杆发生生 XZ 平面内的平面平面内的平面弯曲弯曲变形形y 为中性中性轴）yzo1PxMz 使杆使杆发生生 XY 平面内的平面平面内的平面弯曲弯曲变形形z 为中性中性轴）yzPnnMyMz轴力力 N = P , 弯矩弯矩 My = my = P Zp , Mz = mz = Pyp 二、任意横截面二、任意横截面 n-n 上的内力分析上的内力分析NyzPnnC(y,z)MyMz 三、任意横截面三、任意横截面 n-n 上上 C 点的点的应力分析力分析y,zN轴力轴力 N = P , 弯矩弯矩 My = my = P Zp , Mz = mz = Pyp由由 N 产生的正生的正应力力yzMyMzy,zN轴力轴力 N = P , 弯矩弯矩 My = my = P Zp , Mz = mz = Pyp由由 My 产生的正生的正应力力由由 Mz 产生的正生的正应力力yzMyMzy,zN由于由于 C 点在第一象限内点在第一象限内,根据杆件的根据杆件的变形可知形可知, 均为拉应力由叠加原理，即得由叠加原理，即得 C点点处的正的正应力力为yzMyMzy,zN式中：式中：A 为横截面面横截面面积；Iy , Iz 分分别为横截面横截面对 y 轴和和 z 轴的的惯性矩；性矩；任意横截面任意横截面 n-n上的上的 C点的正应力为点的正应力为（ ZP，yP ）分）分别为外力外力 P 作用点的坐作用点的坐标；（ Z，y ）分）分别为所求所求应力点的坐力点的坐标。上式是一个平面方程。表明正上式是一个平面方程。表明正应力在横截面上按力在横截面上按线性性规律律变化。化。应力平面与横截面的交力平面与横截面的交线直直线 = 0就是中性就是中性轴。四，中性轴的确定四，中性轴的确定令令 y0 , z0 代表中性代表中性轴上任一点的坐上任一点的坐标，即得，即得 中性中性轴方程方程y0z中性轴中性轴讨论讨论: :（1） 在偏心拉伸在偏心拉伸 (紧缩) 情情 况下，中性况下，中性轴是一条不通是一条不通过 截面形心的直截面形心的直线。yz中性轴中性轴o（2） 用用 ay 和和 az 记中性中性轴在在 y , z 两两轴上的截距，上的截距，则有有yP , zP讨论讨论:y0z中性轴中性轴外力作用点外力作用点（3） 中性中性轴与外力作用点分与外力作用点分别处于截面形心的相于截面形心的相对两两侧。讨论讨论:y0z中性轴中性轴外力作用点外力作用点yz中性轴中性轴（4中性中性轴将横截面上的将横截面上的应力区域分力区域分为拉拉应力区域和力区域和压应力区域力区域 。横截面上最大拉横截面上最大拉应力和最大力和最大压应力分力分别为D1 , D2 两切点。两切点。(a)(b)(c)yzD1D2yyzz（5对于周边具有棱角的截面，其危险点必定在截面的棱角处，对于周边具有棱角的截面，其危险点必定在截面的棱角处，并可根据杆件的变形来确定。并可根据杆件的变形来确定。yzD1D2中中性性轴最大拉应力最大拉应力 t max 和最大压应力和最大压应力 c min 分别在截面的棱角分别在截面的棱角 D1 、 D2 处处 . 无需先确定中性轴的位置无需先确定中性轴的位置 ,直接观察确定危险点的位置即可。直接观察确定危险点的位置即可。yzD1D2中中性性轴五，五，强度条件度条件由于危由于危险点点处仍仍为单轴应力状力状态，因此，求得最大正，因此，求得最大正应力后，建立的力后，建立的强度条件度条件为例题例题: 图示一夹具。在夹紧零件图示一夹具。在夹紧零件 时时, 夹具受到的外力为夹具受到的外力为 P = 2KN 。 知，外力作用线与夹具竖杆知，外力作用线与夹具竖杆轴线间的距离为轴线间的距离为 e = 60 mm,竖杆横截面的尺寸为竖杆横截面的尺寸为 b = 10 mm , h = 22 mm, 材料许用应力材料许用应力 = 170 M Pa 。 试校核此夹具竖杆的强度。试校核此夹具竖杆的强度。 eyzhbPeyhbPP 解：（解：（1） 外力外力 P 向向轴向向简化化P （2） 竖杆任一横截面杆任一横截面 n-n 上的内力上的内力轴力轴力弯矩弯矩zeyhbPPPz（3强度分析强度分析 竖杆的危杆的危险点在横截面的点在横截面的 内内侧边缘处 ，该处对应与与轴力和弯矩的正力和弯矩的正应力同号，力同号，都是拉都是拉应力。力。 由于由于强度条件得到度条件得到满足，所以足，所以竖杆在杆在强度上是安全的。度上是安全的。hbyz危险点处的正应力为危险点处的正应力为zyPABCDCD 线上各点上各点处为最大最大压应力力AB 线上各点上各点处为最大拉最大拉应力力例题例题 ：指出图示拉杆上最大拉应力和最大压应力点的位置。：指出图示拉杆上最大拉应力和最大压应力点的位置。PmZmy例例题 ：矩形截面柱如：矩形截面柱如图所示。所示。P1的作用的作用线与杆与杆轴线重合，重合，P2作用在作用在 y 轴上。知，上。知， P1= P2=80KN，b=24cm , h=30cm。如。如要使柱的要使柱的 mm 截面只出截面只出现压应力，求力，求 P2 的偏心距的偏心距 e。yzebhP1P2mm解：解：（1将力将力 P2 向截面形心向截面形心简化后，梁化后，梁 上的外力有上的外力有轴向向压力力力偶矩力偶矩yzebhP1mmP2mzP2(2) mm 横截面上的内力有横截面上的内力有轴力力 N = P弯矩弯矩 Mz = P2e轴力力产生生压应力力弯矩弯矩产生的最大正生的最大正应力力yzebhP1mmP2mzP2(3) 横截面上不产生拉应力的条件为横截面上不产生拉应力的条件为解得：解得： e =10cmyzebhP1mmP2mzP2例题：正方形截面立柱的中间处开一个槽，使截面例题：正方形截面立柱的中间处开一个槽，使截面面积为原来截面面积的一半。求：开槽后立柱的的最面积为原来截面面积的一半。求：开槽后立柱的的最大压应力是原来不开槽的几倍。大压应力是原来不开槽的几倍。aaPPaa未开槽前立柱未开槽前立柱为轴向向压缩解：解：aaPPaa开槽后开槽后11是危是危险截面截面11PPa/2aaP11危危险截面截面为偏心偏心压缩将力将力 P 向向11形心形心简化化未开槽前立柱的最大压应力未开槽前立柱的最大压应力开槽后立柱的最大压应力开槽后立柱的最大压应力aaPPaayz11， 截面核心截面核心中性轴中性轴（yP，zP为外力作用点的坐外力作用点的坐标（ay，az为中性中性轴的截距的截距当中性当中性轴与与图形相切或形相切或远离离图形形时，整个，整个图形上将形上将只有拉只有拉应力或只有力或只有压应力。力。yz中性轴中性轴yz中性轴中性轴yz中性轴中性轴中性轴中性轴yzyz截面核心截面核心1 1，定，定义义 ：当外力作用点位于包括截面形心的一个区域内：当外力作用点位于包括截面形心的一个区域内时时，就可，就可以保以保证证中性中性轴轴不穿不穿过过横截面整个截面上只有拉横截面整个截面上只有拉应应力或力或压应压应力）力） ，这这个区域就称个区域就称为为 截面核心截面核心yz当外力作用在截面核心的当外力作用在截面核心的边界界上上时，与此相，与此相应的中性的中性轴正好正好与截面的周与截面的周边相切。截面核心相切。截面核心的的边界就由此关系确定。界就由此关系确定。中性轴中性轴2，截面核心的绘制，截面核心的绘制截面核心截面核心yz0d (1) 圆形截面的截面核心确定圆形截面的截面核心确定 A1作切线作切线 为中性轴为中性轴 ,在两个形心主惯性轴上的截距分别为在两个形心主惯性轴上的截距分别为yz0dA圆截面的截面的惯性半径性半径为1yz0dA1 由于圆截面对于圆心由于圆截面对于圆心 o 是对称的是对称的 , 因此因此,截面核心的边界对于圆心也截面核心的边界对于圆心也 应是极对称的应是极对称的,从而可知，截面核从而可知，截面核 心边界是一个以心边界是一个以 o 为圆心、以为圆心、以 d/8 为半径的圆。为半径的圆。2hbABCDyz0(2) 矩形截面的截面核心确定矩形截面的截面核心确定 作切线作切线 为中性轴，得两截距分别为为中性轴，得两截距分别为1hbABCDyz01 矩形截面的hbABCDyz01234 同理同理,分别作切线分别作切线 、 、 ，可求得对应的核心边界上，可求得对应的核心边界上点的坐标依次为点的坐标依次为2hbABCDyz01234直直线 绕顶点点 B 旋旋转到直到直线 时，将得到一系列通，将得到一系列通过 B点点但斜率不同的中性但斜率不同的中性轴，而，而 B点坐点坐标 yB , zB 是是这一系列一系列中性中性轴上所共有的。上所共有的。 矩形截面核心形状分析矩形截面核心形状分析3hbABCDyz02341 这些中性些中性轴方程方程为hbABCDyz02341上式可以看作是表示外力作用点坐上式可以看作是表示外力作用点坐标间关系的直关系的直线方程方程 。故外力作用点移故外力作用点移动的的轨迹是直迹是直线。（1） 对于具有棱角的截面，均可按上述方法确定截面核心。于具有棱角的截面，均可按上述方法确定截面核心。（2） 对于周于周边有凹有凹进 部分的截面如部分的截面如T字形截面），字形截面）， 不能取与凹不能取与凹进部分的周部分的周边相切的直相切的直线作作为中性中性轴， 因因为这种直种直线穿穿过 横截面。横截面。 4、讨论：、讨论：LaABCP11 5 扭扭转与弯曲与弯曲研究研究对象：象：圆截面杆截面杆受力特点：杆件同受力特点：杆件同时承受承受转矩和横向力作用。矩和横向力作用。变形特点：形特点：发生扭生扭转和弯曲两种基本和弯曲两种基本变形。形。ABLaP一、一、 内力分析内力分析 设一直径一直径为 d 的等直的等直圆杆杆 AB , B 端具有与端具有与 AB 成直角的成直角的刚臂。臂。研究研究AB杆的内力。杆的内力。BAABLaPB横向力：横向力： P （引起平面弯曲）（引起平面弯曲）力偶矩：力偶矩： m = Pa （引起扭（引起扭转）将力将力 P 向向 AB 杆右端截面的杆右端截面的形心形心B简化得化得AB 杆杆为弯扭弯扭组合合变形形APmx画内力画内力图确定危确定危险截面截面固定端固定端为危危险截面截面AAPmPlmA截面截面 C3C4T C3C4 C2C1二、二、 应力分析应力分析危危危危险险点点点点为为 C1 C1 和和和和 C2 C2 最大扭最大扭转剪剪应力力 发生在截面生在截面周周边上的各点上的各点处。 C2C1危危险截面上的最大弯曲截面上的最大弯曲正正应力力 发生在生在C1 、C2 处C1C2C3C4TA截面截面 C3C4 C2C1C1C2C3C4T对于于许用拉、用拉、压应力相等的力相等的塑性材料制成的杆塑性材料制成的杆这两点的两点的危危险程度是相同的。程度是相同的。 可取任可取任一点一点C1 来研究。来研究。C1 点点处于平面于平面应力状力状态C1 动画画三、强度分析三、强度分析1、主、主应力力计算算C1 第三第三强度理度理论,计算相当力算相当力2、 相当相当应力力计算算 第四强度理论,计算相当应力3、 强强 度计算度计算 C1 1该公式适用于公式适用于图示的平面示的平面应力状力状态。 是危是危险点的正点的正应力，力， 是危是危险点的剪点的剪应力。且横截面不限于力。且横截面不限于圆形截面。形截面。C1 讨 论 可以是弯扭可以是弯扭可以是弯扭可以是弯扭组组合合合合变变形中由弯曲形中由弯曲形中由弯曲形中由弯曲产产生的正生的正生的正生的正应应力；力；力；力； 是由扭是由扭是由扭是由扭转变转变形引起的剪形引起的剪形引起的剪形引起的剪应应力。力。力。力。C1 还还可以是弯曲，拉可以是弯曲，拉可以是弯曲，拉可以是弯曲，拉压压与扭与扭与扭与扭转组转组合合合合变变形中由弯曲与拉形中由弯曲与拉形中由弯曲与拉形中由弯曲与拉压压）产产生的正生的正生的正生的正应应力。力。力。力。 也可以是也可以是也可以是也可以是 拉拉拉拉压压与扭与扭与扭与扭转组转组合合合合变变形中由拉形中由拉形中由拉形中由拉压压产产生的正生的正生的正生的正应应力；力；力；力；C1 该公式适用于公式适用于 弯，扭弯，扭 组合合变形；拉形；拉压与扭与扭转 的的组合合变形；形；以及以及 拉拉压），改），改动 与与 弯曲弯曲 的的组合合变形。形。弯、扭弯、扭组合合变形形时，相，相应的相当的相当应力表达式可改写力表达式可改写为对于圆形截面杆有对于圆形截面杆有2上两式只适用于上两式只适用于 弯，扭弯，扭 组合合变形下的形下的 圆截面杆。截面杆。式中式中W为杆的抗弯截面系数。杆的抗弯截面系数。M，T分分别为危危险截面的弯矩截面的弯矩和扭矩。和扭矩。例题例题 ： 图图 示一钢制实心圆轴，轴上的齿轮示一钢制实心圆轴，轴上的齿轮 C 上作用有上作用有铅垂切向力铅垂切向力 5 KN,径向力径向力 1.82 KN;齿轮齿轮 D上作用有水平切向力上作用有水平切向力10 KN,径向力径向力 3.64 KN 。齿轮。齿轮 C 的节圆直径的节圆直径 dc = 400 mm ,齿轮齿轮 D 的的节圆直径节圆直径 dD =200 mm。设许用应力。设许用应力 =100 MPa ,试按试按第四强度理论求轴的直径。第四强度理论求轴的直径。BACDyz5KN10KN300mm300mm100mmx1.82KN3.64KN解：解：1 、外力的、外力的简化化xyzACBD5KN1KN.m1.82KN3.64kN10kN1KN.m将每个将每个齿轮上的外力上的外力向向该轴的截面形心的截面形心简化，化，BACDyz5KN10KN300mm300mm100mmx1.82KN3.64KN1 KN.m 1 KN.m 使使使使轴产轴产生扭生扭生扭生扭转转5KN 5KN ， 3.64KN 3.64KN 使使使使轴轴在在在在 xz xz 纵对纵对称面内称面内称面内称面内产产生弯曲。生弯曲。生弯曲。生弯曲。 1.82KN 1.82KN ，10KN 10KN 使使使使轴轴在在在在 xy xy 纵对纵对称面内称面内称面内称面内产产生弯曲。生弯曲。生弯曲。生弯曲。 2、 轴的的变形分析形分析xyzACBD5KN3.64kN1.82KN10kN1KN.m1KN.mxyzACBD5KN3.64kN3、绘制轴的内力图、绘制轴的内力图MyC=0.57KN.mMyB=0.36KN.m0.570.36CBMy图图xyzACBD1.82KN10kN0.2271CBMz图图MZC=0.227KN.mMZB=1KN.mxyzACBDT=1KN.m1KN.m1KN.m1CT图图-圆杆杆发生的是斜生的是斜弯曲与扭弯曲与扭转的的组合合变形形xyzACBD5KN3.64kN0.570.36CBMy图图1.82KN10kN0.2271CBMz图图由于通由于通过圆轴轴线的的任一平面都是任一平面都是纵向向对称称平面，故平面，故轴在在 xz 和和 xy 两平面内弯曲的合成两平面内弯曲的合成结果仍果仍为平面弯曲平面弯曲，从而可用，从而可用总弯矩来弯矩来计算算该截面正截面正应力。力。xyzACBD5KN3.64kN0.570.36CBMy图图1.82KN10kN0.2271CBMz图图B 截面是危截面是危险截面截面MyC=0.57KN.mMZC=0.227KN.mMyB=0.36KN.mMZB=1KN.m4、危、危险截面上的截面上的内力内力计算算xyzACBD5KN3.64kN0.570.36CBMy图图1.82KN10kN0.2271CBMz图图xzyyzxyzACBD5KN3.64kN0.570.36CBMy图图1.82KN10kN0.2271CBMz图图B截面的截面的总弯矩弯矩为yzxyzACBD5KN3.64kN0.570.36CBMy图图1.82KN10kN0.2271CBMz图图B 截面的扭矩截面的扭矩值为xyzACBD5KN3.64kN0.570.36CBMy图图1.82KN10kN0.2271CBMz图图1CT图图5，由强度条件求轴的直径，由强度条件求轴的直径轴需要的直径需要的直径为例题：传动轴如图所示。在例题：传动轴如图所示。在A处作用一个外力偶矩处作用一个外力偶矩 m=1KN.m，皮带轮直径皮带轮直径 D=300mm，皮带轮紧边拉力为，皮带轮紧边拉力为N1，松边拉力为，松边拉力为N2。且且N1=2 N2，L=200mm，轴的许用应力，轴的许用应力 =160MPa。试用第三。试用第三强度理论设计轴的直径强度理论设计轴的直径ZN1N2dxyABcL/2L/2mZN1N2dxyABcL/2L/2mm解：将力向解：将力向轴的形的形 心心简化化mP=3N2轴产生扭生扭转和垂直和垂直纵向向对称面内的平面弯曲称面内的平面弯曲mP=3N2m画内力画内力图+T=1KN.m+1KN.m中中间截面截面为危危险截面截面T=1KN.mMmax=1KN.m例题：空心圆杆例题：空心圆杆AB和和CD杆焊接成整体结构。受力如图。杆焊接成整体结构。受力如图。AB杆的外径杆的外径 D=140mm，内，外径之比，内，外径之比 d/D=0.8，材料的，材料的许用应力许用应力 =160MPa。试用第三强度理论校核。试用第三强度理论校核AB杆的强度。杆的强度。ABCD1.4m0.6m15KN10KN0.8mABCD1.4m0.6m15KN10KN0.8mABPm解：将力向解：将力向B截面截面 形心形心简化得化得P=25KNAB为扭扭转和平面和平面弯曲的弯曲的组合合变形。形。ABPmP=25KN+15KN.m-20KN.m画扭矩画扭矩图和弯矩和弯矩图固定端截面固定端截面为危危险截面截面T=15KN.m例题：例题： P1=0.5KN ，P2=1KN ， =160MPa。（1用第三强度理论计算用第三强度理论计算 AB 的直径的直径（2若若AB杆的直径杆的直径 d = 40mm，并在，并在 B 端加一水平力端加一水平力 P3 = 20KN，校核的强度。，校核的强度。P1P2ABCD400400400P1P2ABC400400m将将 P2 向向简化得化得AB 为弯扭弯扭组合合变形形P1P2ABCD400400400P1P2ABC400400m固定端截面是危固定端截面是危险截面截面P1P2ABCD400400400P1P2ABC400400mP3AB 为弯，扭与拉伸弯，扭与拉伸组合合变形形固定端截面是危固定端截面是危险截面截面P1P2ABCD400400400(2) 在在 B 端加拉力端加拉力 P3P3P1P2ABC400400mP3P1P2ABCD400400400P3固定端截面最大的正固定端截面最大的正应力力为最大的剪最大的剪应力力为例题：例题： 直径直径d=40mm的实心钢圆轴，在某一横截面上的内力分的实心钢圆轴，在某一横截面上的内力分量为量为N=100KN，Mx=0.5KN.m，My=0.3KN.m。已知此轴的许。已知此轴的许用应力用应力 =150MPa。试按第四强度理论校核轴的强度。试按第四强度理论校核轴的强度。xzyNMyMxxzyNMxN产生生轴向拉伸向拉伸My产生生xz平面弯曲平面弯曲Mx产生扭生扭转由由N引起拉伸正引起拉伸正应力力为由由My引起最大弯曲正引起最大弯曲正应力力为MyAA点点为危危险点点由由Mx引起最大剪引起最大剪应力力为xzyNMx由由N引起拉伸正应力为引起拉伸正应力为由由My引起最大弯曲正应力为引起最大弯曲正应力为MyA由由Mx引起最大剪应力为引起最大剪应力为最大正最大正应力力为xzyNMxMyA由第四由第四强度条件度条件