第十章第十章 定积分应用定积分应用0xya y=f (x)bx+dxx9/18/20241 定积分概念的出现和发展都是由实际问题引起和定积分概念的出现和发展都是由实际问题引起和推动的。因此定积分的应用也非常广泛。本书主要介推动的。因此定积分的应用也非常广泛。本书主要介绍几何、物理上的应用问题，例如：平面图形面积，绍几何、物理上的应用问题，例如：平面图形面积，曲线弧长，曲线弧长，旋转体体积，水压力，抽水做功，引力等。旋转体体积，水压力，抽水做功，引力等。第一节第一节 定积分的元素法定积分的元素法一、问题的提出一、问题的提出 如何应用定积分解决实际问题如何应用定积分解决实际问题_微元法：微元法：9/18/20242回顾回顾 曲边梯形面积曲边梯形面积 A 的计算过程：的计算过程：把区间把区间a, b分成分成n个小区间个小区间, 有有总量总量A 对于对于a, b具有区间可加性具有区间可加性,计算计算 Ai的近似值的近似值得得A的的近似值近似值(1) 分割分割.(2) 近似近似.(3) 求和求和.(4) 求极限求极限.n个部分量个部分量Ai 的和的和.ab0xyy = f (x)即即A可以分割成可以分割成9/18/20243 把上述步骤把上述步骤略去下标略去下标，改写为：，改写为：(1) 分割分割.(2) 近似近似.(3) 求和求和.(4) 求极限求极限.计算计算 A的近似值的近似值x x+dx这种方法通常称为这种方法通常称为微元法微元法或或元素法元素法面积微元面积微元用用 A表示表示x, x+dx上的小上的小曲边梯形的面积，曲边梯形的面积，取微元取微元 任取一个具有任取一个具有代表性代表性的小区间的小区间 x, x+dx (区间微元区间微元)，9/18/202441.若总量若总量U非均匀分布在变量非均匀分布在变量 x的某个区间的某个区间a, b上上;2.总量总量U有可加性有可加性. (1) 求微元求微元 局部近似得局部近似得 dU = f (x)dx(2) 求全量求全量 微元积分得微元积分得应用方向：应用方向：平面图形的面积；体积；平面曲线的弧长；平面图形的面积；体积；平面曲线的弧长；功；水压力；引力和平均值等功；水压力；引力和平均值等可用微元法的条件可用微元法的条件步骤9/18/20245(1) 整体问题转化为局部问题；整体问题转化为局部问题；(2) 在局部范围内，以常代变，以直代曲；在局部范围内，以常代变，以直代曲；微元法的实质微元法的实质(3) 取极限取极限 (定积分定积分) 由近似值变为精确值。由近似值变为精确值。9/18/20246例例1.写出长为写出长为 l 的非均匀细直棒质量的积分表达式，的非均匀细直棒质量的积分表达式，任一点的线密度是长度的函数。任一点的线密度是长度的函数。解解:建立坐标如图建立坐标如图,oxlx x+dx设任意点设任意点x的密度为的密度为step1.step2. 下面用微元法讨论定积分在几何，物理中的下面用微元法讨论定积分在几何，物理中的一些应用。一些应用。微元法微元法 (Element Method)9/18/20247第二节 定积分在几何上的应用一、平面图形的面积一、平面图形的面积二、体积二、体积三、平面曲线的弧长三、平面曲线的弧长9/18/20248平面图形的面积一、直角坐标系情形一、直角坐标系情形二、极坐标系情形二、极坐标系情形三、小结三、小结 思考题思考题9/18/20249曲边梯形的面积曲边梯形的面积由由y=f1(x)和和y=f2(x)围成的面积围成的面积:一、直角坐标系情形9/18/202410解解3) 面积元素面积元素2) 选选x为积分变量为积分变量,解方程组解方程组即这两个抛物线的交点为：即这两个抛物线的交点为：x x+dx1) 求出两抛物线的交点求出两抛物线的交点.9/18/202411讨论：讨论：由左右两条曲线由左右两条曲线x 左左(y)与与x 右右(y)及上下两条直线及上下两条直线y d与与y c所围成的平面图形的所围成的平面图形的面积如何表示为定积分？面积如何表示为定积分？提示：提示： 面积为面积为面积元素面积元素 dA= 右右(y) 左左(y)dy, ,选积分变量选积分变量,9/18/2024129/18/202413解解两曲线的交点两曲线的交点选选 为积分变量为积分变量y+dyy9/18/202414如果曲边梯形的曲边为参数方程如果曲边梯形的曲边为参数方程曲边梯形的面积曲边梯形的面积9/18/202415解解椭圆的椭圆的参数方程参数方程由对称性知总面积等于由对称性知总面积等于4倍第一象限部分面积倍第一象限部分面积9/18/202416 ( ) +d .dA.r = ( )o.r d 二、极坐标系情形曲边扇形是由曲曲边扇形是由曲线线r ( )及射及射线线 , , 所所围围成的图形成的图形. .图形是曲边图形是曲边扇扇( (梯梯) )形形如何化不规则如何化不规则为规则为规则以圆扇形面积近以圆扇形面积近似小曲边扇形的似小曲边扇形的面积，得到面积面积，得到面积元素：元素： 9/18/202417 ( ) +d .dA.r = ( )o.r d 面积元素面积元素以圆扇形面积近似小以圆扇形面积近似小曲边扇形面积，得到曲边扇形面积，得到面积元素：面积元素：曲边扇形的面积曲边扇形的面积 9/18/202418例例4: 计算阿基米德螺线计算阿基米德螺线 r = a (a 0)上相应于上相应于 从从0 到到 2 的一段弧与极轴所围成的一段弧与极轴所围成的图形的面积的图形的面积.ox r = a 2 a解解: 取取极极角角 为为积积分分变变量量, 变变化化区区间间为为0, 2 , 取取小小区间区间 , + d ，则，则面积元素面积元素9/18/2024199/18/202420解解利用对称性知利用对称性知心形线也称圆外旋轮线心形线也称圆外旋轮线2a9/18/2024219/18/2024229/18/202423求在直角坐标系下、参数方程形式求在直角坐标系下、参数方程形式下、极坐标系下平面图形的面积下、极坐标系下平面图形的面积.（注意恰当的（注意恰当的选择积分变量选择积分变量有助于简化积有助于简化积分运算）分运算）三、小结9/18/202424立体体积一、旋转体体积一、旋转体体积二、已知截面面积的立体体积二、已知截面面积的立体体积三、小结三、小结 思考题思考题 9/18/202425 旋转体旋转体就是由一个平面图形绕这平面内一条直就是由一个平面图形绕这平面内一条直线旋转一周而成的立体这直线叫做线旋转一周而成的立体这直线叫做旋转轴旋转轴圆柱圆柱圆锥圆锥圆台圆台一、旋转体的体积9/18/202426如何计算黄瓜的体积？如何计算黄瓜的体积？旋转体的体积为旋转体的体积为9/18/202427解解直线直线 方程为方程为9/18/202428直线直线 方程为方程为9/18/202429解解星形线也称：圆内旋轮线星形线也称：圆内旋轮线9/18/202430xyoa a0 2 或或.P .一圆沿另一圆一圆沿另一圆内缘内缘无滑动地无滑动地滚动，动圆圆周上任一点滚动，动圆圆周上任一点所画出的曲线。所画出的曲线。.星形线(圆内旋轮线圆内旋轮线)9/18/2024319/18/2024329/18/2024339/18/202434例例4 求椭圆求椭圆 ，分别绕，分别绕 X轴、轴、Y轴、直线轴、直线 y=-c 旋转一周所得旋转体的体积。旋转一周所得旋转体的体积。9/18/202435解解9/18/2024369/18/2024379/18/202438 如果一个立体不是旋转体，但却如果一个立体不是旋转体，但却知道该立体上垂直于一定轴的各个截知道该立体上垂直于一定轴的各个截面面积，那么，这个立体的体积也可面面积，那么，这个立体的体积也可用定积分来计算用定积分来计算.二、已知截面面积的立体的体积9/18/202439xA(x)dV=A(x)dxx已知平行截面面积为已知平行截面面积为 A(x)的立体的立体.aV平行截面面积为已知的立体的体积b9/18/202440oyRxxyRR. .y tan 问题：问题：问题：问题：还有别的方法吗？还有别的方法吗？还有别的方法吗？还有别的方法吗？(x, y),截面积截面积A(x).例例5：半径为：半径为R的正圆柱体被通过其底的直径并与底面的正圆柱体被通过其底的直径并与底面成成 角的角的平面所截，平面所截，得一圆柱楔。求其体积。得一圆柱楔。求其体积。.9/18/202441oyRxRR方法方法方法方法2 2 2 2.半径为半径为R的正圆柱体被通过其底的直径并与底面成的正圆柱体被通过其底的直径并与底面成 角的角的平面所截，平面所截，得一圆柱楔。求其体积。得一圆柱楔。求其体积。9/18/202442oyRxRR 方法方法方法方法2 2 2 2ABCD BCDC.截面积截面积S(y) (x, y)= 2x= ytan .S(y).半径为半径为R的正圆柱体被通过其底的直径并与底面成的正圆柱体被通过其底的直径并与底面成 角的角的平面所截，平面所截，得一圆柱楔。求其体积。得一圆柱楔。求其体积。9/18/202443 hRxoxA(x)A(x)V =. . .Ry.例例6：求以半径为：求以半径为R的圆为底，平行且等于底圆的圆为底，平行且等于底圆直径的线段为顶，高为直径的线段为顶，高为h的正劈锥体的体积。的正劈锥体的体积。y9/18/202444旋转体的体积旋转体的体积平行截面面积为已知的立体的体积平行截面面积为已知的立体的体积绕绕 轴旋转一周轴旋转一周绕绕 轴旋转一周轴旋转一周绕非轴直线旋转一周绕非轴直线旋转一周三、小结9/18/202445平面曲线的弧长一、平面曲线弧长的概念一、平面曲线弧长的概念二、直角坐标情形二、直角坐标情形三、参数方程情形三、参数方程情形四、极坐标情形四、极坐标情形五、小结五、小结9/18/202446一、平面曲线弧长的概念9/18/202447弧长元素弧长元素弧长弧长二、直角坐标情形9/18/202448解解所求弧长为所求弧长为sl9/18/202449解解所求弧长为所求弧长为9/18/202450曲线弧为曲线弧为弧长弧长三、参数方程情形9/18/202451解解 星形线的参数方程为星形线的参数方程为根据对称性根据对称性第一象限部分的弧长第一象限部分的弧长9/18/202452曲线弧为曲线弧为弧长弧长四、极坐标情形9/18/202453解解分部积分部积分法分法9/18/202454解解9/18/202455直角坐标系下直角坐标系下参数方程情形下参数方程情形下极坐标系下极坐标系下五、五、求弧长的公式求弧长的公式小结小结：9/18/202456第三节 定积分的物理应用一、变力、变距离作功一、变力、变距离作功二、水压力二、水压力三、引力三、引力四、小结四、小结9/18/202457用元素法用元素法9/18/202458建立坐标轴如上图所示建立坐标轴如上图所示,提提示示：根根据据物物理理学学, , 在在电电量量为为+q的的点点电电荷荷所所产产生生的的电电场场中中, , 距离点电荷距离点电荷r处的单位正电荷所受到的电场力的大小为：处的单位正电荷所受到的电场力的大小为： 9/18/202459问题：问题：物体在变力物体在变力F(x)的作用下，从的作用下，从x轴上轴上a点移动到点移动到 b点，点，求变力所做的功。求变力所做的功。用元素法用元素法1）在）在a,b上考虑小区间上考虑小区间x, x+ x，在此小区间上，在此小区间上 W dW=F(x)dx 2）将）将dW从从a到到b求定积分，就得到所求的功求定积分，就得到所求的功F(x)F(x)9/18/202460F 由由物物理理学学知知道道, , 一一定定量量的的气气体体在在等等温温条条件件下下, , 压压强强p与与体体积积V的乘积是常数的乘积是常数k , , 即即9/18/202461解解建立坐标系如图建立坐标系如图这一薄层水的重力为这一薄层水的重力为功元素为功元素为(kN m)kJ把把这这一一薄薄层层水水抽抽出出水水池池所所作作的的功功等等于于克克服服这这一一薄薄层层重重量量所所作作的的功功9/18/202462例例4 修修建建一一座座大大桥桥墩墩时时，先先要要下下围围囹囹，并并且且抽抽尽尽其其中中的的水水以以便便施施工工，已已知知围围囹囹的的直直径径为为20m，水水深深27m，围囹高出水面，围囹高出水面3m,求抽尽水所作的功。求抽尽水所作的功。xxdx273200分析分析（如下图）建立坐标系：（如下图）建立坐标系： 9/18/202463 因因这这一一薄薄层层水水抽抽出出围围囹囹所所作作的的功功近近似似于于克克服服这这一一薄薄层层重重量量所所作作的的功，所以功元素为：功，所以功元素为：解解建立坐标系如图建立坐标系如图这一薄层水的重力为这一薄层水的重力为于是在于是在3,30上，抽尽水所作的功为：上，抽尽水所作的功为：xxdx273200xxdx273200O在水面在水面9/18/202464解：解：建立坐标系如图建立坐标系如图需计算薄片的宽度需计算薄片的宽度9/18/202465问题：水的压力是如何产生的？问题：水的压力是如何产生的？水有重量，所以水也会对与其接触的物体产生压力，水有重量，所以水也会对与其接触的物体产生压力，水的压力来自水中的四面八方。水的压力来自水中的四面八方。 水压的强度和水的深度有关，愈深則水的压强愈大。水压的强度和水的深度有关，愈深則水的压强愈大。 问题：水库的堤坝为什么上边窄，下边宽？问题：水库的堤坝为什么上边窄，下边宽？9/18/202466 如果有一面积为如果有一面积为A 的平板水平地放置在水深为的平板水平地放置在水深为h处，处，那么，平板一侧所受的水压力为：那么，平板一侧所受的水压力为： P pA 如果这个平板铅直放置在水中，那么，由于水深如果这个平板铅直放置在水中，那么，由于水深不同，不同点处压强不同，不同点处压强 p不相等，所以平板所受水的压不相等，所以平板所受水的压力就不能用上述方法计算力就不能用上述方法计算9/18/202467y9/18/202468y9/18/202469例例6 6解解如图建立坐标系如图建立坐标系,此闸门一侧受到静水压力为此闸门一侧受到静水压力为9/18/202470其中其中G为引力系数，引力的方向沿着两质点连线方向为引力系数，引力的方向沿着两质点连线方向如果要计算一根细棒对一个质点的引力，那么，由如果要计算一根细棒对一个质点的引力，那么，由于细棒上各点与该质点的于细棒上各点与该质点的距离距离是变化的，且各点对是变化的，且各点对该质点的引力的该质点的引力的方向方向也是变化的，就不能用上述公也是变化的，就不能用上述公式来计算式来计算更重要的是向量不能求和相加！更重要的是向量不能求和相加！9/18/202471这是引力这是引力dF的方向不随小区间的方向不随小区间x, x+dx的改变而变的改变而变化的情形。化的情形。9/18/202472由对称性知由对称性知,引力在铅直方向分力引力在铅直方向分力这是引力这是引力dF的方向的方向随随小区间小区间x, x+dx的改变而变化的的改变而变化的情形情形, 应将引力应将引力dF分解为分解为dFx和和dFy后再分别用定积分计后再分别用定积分计算算9/18/2024739/18/202474 尤尤其其是是如如何何在在具具体体问问题题中中取取“微微元元”微微功功、微微压压力力、微微引引力力等等。这这对对于于从从形形式式到到内内容容真真正正地地把把握握公公式式是是非非常常必必要要的的，相相反反如如果果仅仅满满足足于于套套用用公公式式解解决决一一些些简简单单问问题题而而不不求求甚甚解解，那那么么遇遇到到一一些些稍稍有有灵活性的问题，便可能束手无策，不知如何下手。灵活性的问题，便可能束手无策，不知如何下手。 关于定积分在物理方面的应用，除了应熟记各个关于定积分在物理方面的应用，除了应熟记各个公式的结果外，还须了解其推导过程。公式的结果外，还须了解其推导过程。9/18/202475解解设木板对铁钉的阻力为设木板对铁钉的阻力为第一次锤击时所作的功为第一次锤击时所作的功为例例：用铁锤把钉子钉入木板，设木板对铁钉的阻力用铁锤把钉子钉入木板，设木板对铁钉的阻力与铁钉进入木板的深度成正比，铁锤在第一次锤击与铁钉进入木板的深度成正比，铁锤在第一次锤击时将铁钉击入时将铁钉击入1厘米，若每次锤击所作的功相等，厘米，若每次锤击所作的功相等，问第问第n次锤击时又将铁钉击入多少？次锤击时又将铁钉击入多少？设设 次击入的总深度为次击入的总深度为 厘米厘米次锤击所作的总功为次锤击所作的总功为9/18/202476依题意知，每次锤击所作的功相等依题意知，每次锤击所作的功相等次击入的总深度为次击入的总深度为第第 次击入的深度为次击入的深度为9/18/202477利用利用“微元法微元法”思想求变力作功、思想求变力作功、水压力和引力等物理问题水压力和引力等物理问题（注意熟悉相关的物理知识）（注意熟悉相关的物理知识）四、小结9/18/202478思考题思考题 一球完全浸没水中，问该球面所受的总一球完全浸没水中，问该球面所受的总压力与球浸没的深度有无关系？它所受的总压力与球浸没的深度有无关系？它所受的总压力与它在水中受到的浮力有何关系？压力与它在水中受到的浮力有何关系？9/18/202479思考题解答思考题解答 该球面所受的总压力方向向上（下半球该球面所受的总压力方向向上（下半球面所受的压力大于上半球面），其值为该球面所受的压力大于上半球面），其值为该球排开水的重量，即球的体积，也就是它在水排开水的重量，即球的体积，也就是它在水中受到的浮力因此该球面所受的总压力与中受到的浮力因此该球面所受的总压力与球浸没的深度无关球浸没的深度无关9/18/202480练练 习习 题题9/18/2024819/18/2024829/18/202483练习题答案练习题答案9/18/202484