9.4 9.4 函数项级数的和函数的性质函数项级数的和函数的性质一、连续性一、连续性 定理定理4.1(4.1(函数列的极限函数的连续性函数列的极限函数的连续性) )定理定理4.2(4.2(函数项级数的和函数的连续性函数项级数的和函数的连续性) )分析：分析：定理定理4.14.1的证明的证明：由于由于定理得证定理得证. .同理可证定理同理可证定理4.2.4.2.例例1 1 (1)(1)证明：证明：(2)(2)解：解：所以所以从而，从而，例例2.2.内闭一致收敛内闭一致收敛证明：证明：证明：证明：由于由于2.Dini2.Dini定理：定理：证明：证明：若不然，若不然，矛盾！矛盾！定理定理定理定理（级数形式）（级数形式）二、逐项积分二、逐项积分1.1.函数列：函数列：定理定理4.34.3极限与积分交换极限与积分交换证明：证明：由定理由定理4.14.1知，知，于是有，于是有，定理定理4.34.3与定理与定理4.34.3的连续条件改为可积，的连续条件改为可积，结论仍然成立结论仍然成立. .注：注：定理定理4.44.4基本要求基本要求: :一致收敛一致收敛+ +可积可积可逐项积分可逐项积分2.2.级数形式：级数形式：例例3 3解解: :三、逐项可导三、逐项可导 1.1.函数列形式：函数列形式：定理定理4.54.5(2(2) )证明：证明： 由由，由由，由由，则有，则有由积分换序定理：由积分换序定理：定理定理4.54.5表明：表明：在一致收敛的条件下，极限运算与在一致收敛的条件下，极限运算与 求导运算的顺序可以交换求导运算的顺序可以交换. .定理定理4.64.62.2.函数项级数形式：函数项级数形式：即有：即有：逐项可导逐项可导注意注意: :级数一致收敛并不能保证可以逐项求导级数一致收敛并不能保证可以逐项求导.例如，级数例如，级数逐项求导后得级数逐项求导后得级数所以原级数不可以逐项求导所以原级数不可以逐项求导例例4 4解：解：同理：同理：则由则由M M判别法知，判别法知，例例5.5.证明：证明：所以不能直接用定理所以不能直接用定理4.2.4.2.内闭一致收敛其他阶导数的连续性类似可证其他阶导数的连续性类似可证. .四、小结3. 内闭内闭一致收敛性一致收敛性. .1. 一致收敛的函数列的极限函数的积分性质；一致收敛的函数列的极限函数的积分性质；2. 一致收敛的函数项级数的和函数的积分性质；一致收敛的函数项级数的和函数的积分性质；作业习题10.51(1)(3),2,4,5,6,8(1)