高一数学高一数学 冯冯 伟伟教学目标教学目标 知识与技能目标知识与技能目标 掌握平面向量的数量积的定义、性质及其物理意义掌握平面向量的数量积的定义、性质及其物理意义过程与方法目标过程与方法目标 （1）通过向量数量积物力背景的了解，体会物理学和）通过向量数量积物力背景的了解，体会物理学和 数学的关系数学的关系 （2）通过向量数量积定义的给出，体会简单归纳与严）通过向量数量积定义的给出，体会简单归纳与严 谨定义的区别谨定义的区别 （3）通过向量数量积性质的学习，体会类比，猜想，）通过向量数量积性质的学习，体会类比，猜想， 证明的探索式学习方法证明的探索式学习方法 情感、态度与价值观目标情感、态度与价值观目标 通过本节探究性学习，让学生尝试数学研究的过程。通过本节探究性学习，让学生尝试数学研究的过程。 教学重点教学重点 平面向量数量积的定义及性质平面向量数量积的定义及性质 教学难点教学难点 对向量数量积定义及性质的理解和应用对向量数量积定义及性质的理解和应用情境情境1 1 如图，一个物体在力如图，一个物体在力F F的作用下产生位移的作用下产生位移s s，且力，且力F F与位移与位移s s的夹角为的夹角为，那么力，那么力F F所做的功所做的功W W与哪些因素有关与哪些因素有关？是不是力越大所做的功就越大？是不是力越大所做的功就越大？ sF课前预习课前预习一、两个向量夹角一、两个向量夹角 已知非零向量已知非零向量a与与，作，作 a， ，则，则（0）叫）叫a与与的夹角的夹角.记作记作 a，b。规定规定1： 0a，b在讨论垂直问题时，规定零向量与任意向量垂直。在讨论垂直问题时，规定零向量与任意向量垂直。规定规定2： 当当a，b=/2，我们说向量，我们说向量 a 与向量与向量 b 互互 相垂直，记作相垂直，记作ab。问题问题1 1 当当为何值时，为何值时，向量向量 a a 与向量与向量 b b 同向？同向？ 当当为何值时，为何值时，向量向量 a a 与向量与向量 b b 反向？反向？ 当向量当向量 a a 与向量与向量 b b 共线时，共线时，为多少？为多少？Fcos 情境情境2 2：如图，一个物体在力如图，一个物体在力F F的作用下产生位移的作用下产生位移s s，且力，且力F F与位移与位移s s的夹角为的夹角为，在这个过程中，真正使物体前进的，在这个过程中，真正使物体前进的力是哪一个？力是哪一个？sF二、向量在轴上的正射影二、向量在轴上的正射影 该射影在轴该射影在轴l l上的坐标，叫做上的坐标，叫做a a在轴在轴l l上的上的数量数量或在轴或在轴l l方方向上的数量。向上的数量。lOAA1 1O1 1 已知向量已知向量a a和轴和轴l l。作。作OA=aOA=a，过点过点O,AO,A分别作轴分别作轴l l的垂线，的垂线，垂足分别为垂足分别为O O1 1，A A1 1 。 则向量则向量O O1 1A A1 1叫做向量叫做向量a a在轴在轴l l上的上的正射影正射影（简称射影）。（简称射影）。问题问题2 2 设向量设向量a a的方向与轴的方向与轴l l的正向所成的角为的正向所成的角为， 则向量则向量a a在轴在轴l l上的数量上的数量a al l等于多少？等于多少？lOAA1 1O1 1a al l =|a|cos =|a|cos 例例1 1 已知轴已知轴l l，向量，向量练习练习1 1 已知轴已知轴l l，向量，向量情境情境3 3：如图，一个物体在力如图，一个物体在力F F的作用下产生位移的作用下产生位移s s，且力，且力F F与位移与位移s s的夹角为的夹角为，那么力，那么力F F所做的功所做的功W W是多少？是多少？ sF三、力做功的计算三、力做功的计算WFscos 定义定义 a|a|b bcoscosa，b叫做向量叫做向量a a与与b b的数量积的数量积 （或内积），记作（或内积），记作abab，即，即 ab= ab=a|a|b bcos cos a，b. .四、向量的数量积（内积）四、向量的数量积（内积）例例2 2 已知已知a a5 5，b b4 4，a a与与b b的夹角的夹角120120， 求求ab. ab. 1010 练习练习2 2 课本课本109109页页 练习练习A 1A 1（1 1）（）（2 2）何时为正数？何时为负数？何时为零？何时为正数？何时为负数？何时为零？ 问题问题3 3 两向量的数量积是向量还是数量？两向量的数量积是向量还是数量？ab=ab=a|a|b bcoscos当当009090时，时，abab0 0；当当9090180180时，时，abab0 0；当当9090时，或者有一个为时，或者有一个为0 0时，时，abab0.0.当没有零向量时当没有零向量时问题问题4 4：根据投影的概念，数量积根据投影的概念，数量积 ab= ab=a|a|b bcoscos的几何意义如何？的几何意义如何？ 数量积数量积abab等于等于a a的模与的模与b b在在a a方向上的投影方向上的投影b bcoscos的乘积，或等于的乘积，或等于b b的模与的模与a a在在b b方向上的投影方向上的投影a acoscos的乘积，的乘积，练习练习3 3的数量。的数量。数量为数量为2 2，五、向量的数量积（内积）的性质五、向量的数量积（内积）的性质问题问题5 5 abab与与baba是什么关系？为什么？是什么关系？为什么？ ababba ba 特别的，如果特别的，如果b b是单位向量是单位向量e e，则得到什么结论，则得到什么结论？aeaeea = ea = |a| cosa，e问题问题6 6 若若abab，则，则abab等于多少？反之成立吗？等于多少？反之成立吗？ ab abab ab0 0当当a a与与b b同向时，同向时，ababa ab b；当当a a与与b b反向时，反向时，ababa ab b；aaaaa a2 2a a2 2或或a a问题问题7 7 当当a a与与b b同向时，同向时，abab等于什么？当等于什么？当a a与与b b反向时，反向时，abab等于什么？特别地，等于什么？特别地，aaaa等于什么？等于什么？ 问题问题8 8 对于向量对于向量a a，b b，如何求它们的夹角，如何求它们的夹角？ 问题问题9 9 abab与与a ab b的大小关系如何？为什么的大小关系如何？为什么？ ababa ab b 达标练习达标练习边长为边长为4 4， 时，三角形各是什么样时，三角形各是什么样的三角形？的三角形？课堂小结课堂小结3.3.向量的数量积。向量的数量积。ab=ab=a|a|b bcos cos a，b. .2.2.向量在轴上的正射影向量在轴上的正射影a al l =|a|cos =|a|cos 1.1.两个向量夹角两个向量夹角00a a，b b4 4、向量的数量积（内积）的性质、向量的数量积（内积）的性质ababa ab b aeaeea = ea = |a| cosa，eab abab ab0 0aaaaa a2 2a a2 2或或a a课后作业课后作业 课本课本109109页页 练习练习A 2A 2（3 3）（）（4 4） 练习练习B 1B 1（3 3）（）（4 4） 2 2