第一章 二、二、 极限的四则运算法则极限的四则运算法则 三、三、 复合函数的极限运算法则复合函数的极限运算法则 一一 、函数极限的性质、函数极限的性质 第四节机动 目录 上页 下页 返回 结束 函数极限性质与运算法则1.函数极限的唯一性机动 目录 上页 下页 返回 结束 2. 局部有界性定理定理1 . 一一 、函数极限的性质、函数极限的性质 3. 局部保号性定理定理3.1 若且 A 0 ,证证: 已知即当时, 有当 A 0 时, 取正数则在对应的邻域上( 0)则存在( A 0 )机动 目录 上页 下页 返回 结束 若取则在对应的邻域上 若则存在使当时, 有推论推论:分析分析:机动 目录 上页 下页 返回 结束 定理定理 若在的某去心邻域内, 且 则证证: 用反证法.则由定理3. 1,的某去心邻域 , 使在该邻域内与已知所以假设不真, (同样可证的情形)思考: 若定理3. 2 中的条件改为是否必有不能不能! 存在如 假设 A 0 , 条件矛盾,故机动 目录 上页 下页 返回 结束 二、二、 极限的四则运算法则极限的四则运算法则则有定理定理 4 . 若机动 目录 上页 下页 返回 结束 推论推论: 若且利用保号性定理证明 .说明说明: 定理 4 可推广到有限个函数相加、减的情形 .提示提示: 令定理定理 5. 若则有说明说明: 定理 5 可推广到有限个函数相乘的情形 .推论推论 1 .( C 为常数 )推论推论 2 .( n 为正整数 )例例1. 设 n 次多项式试证证证:机动 目录 上页 下页 返回 结束 定理定理 6. 若且 B0 , 则有机动 目录 上页 下页 返回 结束 x = 3 时分母为 0 !例例2. 设有分式函数其中都是多项式 ,试证: 证证: 说明说明: 若不能直接用商的运算法则 .例例3. 若机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例4. 求解解: 时,分子分子分母同除以则分母原式机动 目录 上页 下页 返回 结束 一般有如下结果：一般有如下结果：为非负常数 )机动 目录 上页 下页 返回 结束 三、三、 复合函数的极限运算法复合函数的极限运算法则则定理定理7. 设且 x 满足时,又则有证证: 当时, 有当时, 有对上述取则当时故因此式成立.机动 目录 上页 下页 返回 结束 定理定理7. 设且 x 满足时,又则有 说明说明: 若定理中若定理中则类似可得机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例5. 求求解解: 令已知 原式 =机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例6 . 求求解解: 方法方法 1则令 原式方法方法 2机动 目录 上页 下页 返回 结束 内容小结内容小结1. 极限运算法则(1) 极限四则运算法则(2) 复合函数极限运算法则注意使用条件2. 求函数极限的方法(1) 分式函数极限求法时, 用代入法( 分母不为 0 )时, 对型 , 约去公因子时 , 分子分母同除最高次幂(2) 复合函数极限求法设中间变量机动 目录 上页 下页 返回 结束 思考及练习思考及练习1.是否存在 ? 为什么 ?答答: 不存在 . 否则由利用极限四则运算法则可知存在 , 与已知条件矛盾.问机动 目录 上页 下页 返回 结束 2. 求解法解法 1 原式 =解法解法 2 令则原式 =机动 目录 上页 下页 返回 结束 3. 试确定常数 a 使解解 : 令则故机动 目录 上页 下页 返回 结束 因此备用题备用题 设解解:利用前一极限式可令再利用后一极限式 , 得可见是多项式 , 且求故机动 目录 上页 下页 返回 结束