圆的圆的有关性质有关性质薛庆海薛庆海圆圆定义定义点和圆的位置关系点和圆的位置关系经过不在同一条直经过不在同一条直线上的三个点的圆线上的三个点的圆基基本本定定理理垂径定理及其推论垂径定理及其推论圆圆心心角角，弧弧、弦弦，弦心距之间的关系弦心距之间的关系圆周角定理及其推论圆周角定理及其推论条件、步骤条件、步骤圆内接四边形圆内接四边形点的集合点的集合推理推理单元知识结构：单元知识结构：单元知识要点和要求单元知识要点和要求1.理解圆的定义：理解圆的定义：“在一个平面内，圆是在一个平面内，圆是到到 定点的距离等于定长的点的集合。定点的距离等于定长的点的集合。” 圆圆是是到到定定点点的的距距离离等等于于定定长长的的所所有有点点组组成成 的的图图形形，是是封封闭闭曲曲线线，圆圆是是圈圈，要要和和日日常生活中的圆形区分开。常生活中的圆形区分开。 圆有外部和内部圆有外部和内部 2 .理解点与圆的三种位置关系，并会应用。理解点与圆的三种位置关系，并会应用。QPRO P点在圆外点在圆外 OP r R点在圆内点在圆内 OR rQ点在圆上点在圆上 OQ=r3 圆的确定圆的确定 圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小。圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小。 （1）经过一点可作无数个圆）经过一点可作无数个圆 （2）经过）经过A、B两点可作无数个圆，圆心在线段两点可作无数个圆，圆心在线段AB 的垂直平分线上。的垂直平分线上。（3）经过三点的圆）经过三点的圆 a）经过在一直线上的三个点不能作圆。经过在一直线上的三个点不能作圆。 b） 定理定理:不在同一条直线上的三个点确定一个圆不在同一条直线上的三个点确定一个圆. 理解确定的含义理解确定的含义: 不在同一条直线上的三个点能不在同一条直线上的三个点能作且只能作一个圆。作且只能作一个圆。 会用尺规作已知三角形的外接圆会用尺规作已知三角形的外接圆. c）外心的概念：三角形外接圆的圆心是三角形的外心的概念：三角形外接圆的圆心是三角形的外心外心.外心是三角形三边垂直平分线的交点，外心到外心是三角形三边垂直平分线的交点，外心到三角形三个顶点的距离相等。锐角、钝角、直角三三角形三个顶点的距离相等。锐角、钝角、直角三角形的外心分别在三角形的内部、外部和斜边中点角形的外心分别在三角形的内部、外部和斜边中点4 .理解圆的轴对称性理解圆的轴对称性,掌握垂径定理及其推论掌握垂径定理及其推论,并并会运用它们解决有关计算、证明和作图问题会运用它们解决有关计算、证明和作图问题. (1)圆是轴对称图形圆是轴对称图形,经过圆心的每条直线都是经过圆心的每条直线都是圆的对称轴。（不能说直径是圆的对称轴）圆的对称轴。（不能说直径是圆的对称轴） (2) 垂径定理垂径定理:垂直于弦的直径平分弦垂直于弦的直径平分弦, 并且平分弦所对的两条弧。并且平分弦所对的两条弧。 表示法表示法:如图如图, CD是是 O的直径的直径,CDAB AE=BE,AD=BD,AC=BCABCEODO.推论推论1:平分弦平分弦(不是直径不是直径)的直径垂直于弦的直径垂直于弦, 并且平分弦所对的两条弧并且平分弦所对的两条弧（3)垂径定理的推论垂径定理的推论表示法表示法:如上图如上图, CD是是 O的直径的直径, AE=BE(AB不是直径不是直径) CDAB AD=BD,AC=BC平分弦所对的一条弧的直径，平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的两条弧垂直平分弦，并且平分弦所对的两条弧表示法表示法:如上图如上图, CD是是 O的直径的直径, AC=BC CDAB AE=BE,AD=BD弦的垂直平分线经过圆心弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧并且平分弦所对的两条弧表示法表示法: 如图如图, CDAB, AE=BE CD是是 O的直径的直径, AD=BD,AC=BC推论推论2:圆的两条平行弦所夹的弧相等圆的两条平行弦所夹的弧相等表示法表示法:如图如图, AB/CD AC=BD BCADABCEODO.垂垂径径定定理理及及推推论论1可可叙叙述述为为：一一条条直直线线如如果果它它具具有有垂垂直直于于弦弦平平分分弦弦平平分分弦弦所所对对的的劣劣弧弧平平分分弦弦所所对对的的优优弧弧经经过过圆圆心心等等五五个个性性质质中中的的任任何何两两个个，它它就就有有其其余余的的三三个个（其中有一种情况所说的弦不能是直径）（其中有一种情况所说的弦不能是直径）（4）弦心距是重要辅助线，常用的有三种：）弦心距是重要辅助线，常用的有三种：a)作作OMAB, 垂足为垂足为M,则则AM=BMb)已知已知M是是AB的中点时，连结的中点时，连结OM,则则OM垂直垂直ABc)已知已知C是弧是弧AB的中点时，连结的中点时，连结OC,则则OC垂直平分垂直平分ABBAOM(a)BAOM(b)BAOC(c)5理解圆的旋转不变性，掌握圆心角，弦，弦心距的理解圆的旋转不变性，掌握圆心角，弦，弦心距的概念和圆心角，弧、弦，弦心距之间的相等关系，并概念和圆心角，弧、弦，弦心距之间的相等关系，并能运用它们解决有关计算、证明能运用它们解决有关计算、证明（1）圆是以圆心为对称中心的中心对称图形，圆具）圆是以圆心为对称中心的中心对称图形，圆具有围绕圆心旋转的不变性，它是研究圆心角，弧、弦，有围绕圆心旋转的不变性，它是研究圆心角，弧、弦，弦心距之间的关系的依据弦心距之间的关系的依据（2）定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的）定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等推推论论：在在同同圆圆或或等等圆圆中中，如如果果两两个个圆圆心心角角，两两条条弧弧，两两条条弦弦或或两两条条弦弦的的弦弦心心距距中中有有一一组组量量相相等等，那那么么它它们们所对应的其余各组量都分别相等所对应的其余各组量都分别相等 定理与推论使用的前提条件必须是定理与推论使用的前提条件必须是“在同圆或等圆中在同圆或等圆中”（3）在同圆或等圆中，若证明两条弦相等，可以考虑：）在同圆或等圆中，若证明两条弦相等，可以考虑： 证明弦所对的弧相等证明弦所对的弧相等 证明弦的弦心距相等证明弦的弦心距相等 6理解圆周角的概念，掌握圆周角定理及其推理解圆周角的概念，掌握圆周角定理及其推论，并能熟练地运用它们进行论证和计算论，并能熟练地运用它们进行论证和计算（1）定定理理：同同一一条条弧弧所所对对的的圆圆周周角角等等于于它它所所对的对的 圆圆 心心 角的一半角的一半表示法：表示法：A= ， 如图如图 定理的证明运用了数学的分情况讨论的思想OCABOABCAOBC.（2）推论）推论推论推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等，：同弧或等弧所对的圆周角相等，同圆或等圆中同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等，相等的圆周角所对的弧相等推论推论2：半圆或直径所对的：半圆或直径所对的圆周角圆周角是直角；是直角； 90度的度的圆周角圆周角所对的弦是直径（所对的弧是半圆）所对的弦是直径（所对的弧是半圆）表示法：表示法： AB是是 O的直径的直径 AC BC或或 AB是是 O的直径的直径推论推论3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形那么这个三角形是直角三角形表示法：表示法： 是直角三角形是直角三角形ABCO.ABCD7 理解圆的内接四边形的概念和性质，并且会在推理解圆的内接四边形的概念和性质，并且会在推 理论证中应用理论证中应用（1）定理：圆的内接四边形对角互补，并且任何一）定理：圆的内接四边形对角互补，并且任何一 个外角都等于它的内对角个外角都等于它的内对角表示法：如图表示法：如图(2)圆内接四边形圆内接四边形ABCD中中A:B:C:D=m:n:p:q 则则m+p=n+q(3) 圆内接平行四边形是矩形圆内接平行四边形是矩形 圆内接梯形是等腰梯形圆内接梯形是等腰梯形 圆内接菱形是正方形圆内接菱形是正方形DCABE10课本例题得出的规律：课本例题得出的规律：（1）过相交两圆的交点的直线与两圆分别有两个交点一）过相交两圆的交点的直线与两圆分别有两个交点一个圆上两个交点的连线与另一个圆上两个交点的连线平行个圆上两个交点的连线与另一个圆上两个交点的连线平行（2）三角形两边的乘积等于第三边上的高与三角形）三角形两边的乘积等于第三边上的高与三角形外接圆直径的乘积外接圆直径的乘积ABCEFD.EACOBD单元例题解析单元例题解析 例例1 一圆弧拱桥的跨度为一圆弧拱桥的跨度为8米，拱高为米，拱高为2米，米， 求此拱桥的半径求此拱桥的半径.由垂径定理得由垂径定理得AD=BD= ,AC=BC.又又CD=2米米, 在在RtAOD中中 即即 解解得：得： OA=5（米）米）答答: : 拱桥的半径为拱桥的半径为5 5米米. .OABCD解解: :设设ABAB表示桥拱表示桥拱, ,弧弧ABAB的圆心为的圆心为O,O,过过O O作弦作弦ABAB的垂线的垂线OD,DOD,D为垂足为垂足, ,且与且与ABAB交于交于C.C.连结连结OAOA例例2 2 如图如图, ,以以ABAB为直径作半圆为直径作半圆, ,CDCD是任一弦是任一弦, ,由由A ,BA ,B向向CDCD所所在直线作垂线在直线作垂线, ,垂足为垂足为E,F,BFE,F,BF交半圆于交半圆于G.G.求证求证: :EC=FD,AC=DG.EC=FD,AC=DG.ABFECDOGM证明证明 连结连结AGAG作作OMEF,MOMEF,M为垂足为垂足. . 则则CM=DM.CM=DM.OMOM，又，又，即即是的直径，是的直径，又又 例例3中，中，C=90 度，度，AC=8,BC=15,以为以为圆心，为半径的圆心，为半径的 交于交于求的长求的长.CABDM解解: :方法一：方法一： 作作，为垂足，则，为垂足，则 在在中中， ， 例如图，四边形内接于例如图，四边形内接于 ，过作，过作 交的延长线于交的延长线于 求证：求证： 分析分析 DCADCADCADCADBADBA DBADBAAEBCD圆内接圆内接四边四边形形ABCD证明略证明略1、如图，O的半径OA=1，弦AB、AC长分别是 、 ，求BAC的度数。分析：过O点作OD AB，OE AC。答案： BAC=75EOCFBA 2、如图，O是ABC的外接圆，AD BC于D，AE是直径，求证： BAE= CAD。分析： 证法一：连结BE。 EDCAB证法二：连结CE。证法三：延长AD到F，连结EF。 F3、如图，AB是O的直径，弦CD垂直AB于E，F是弧AC上的任一点，AF与DC的延长线交于点P， 求证：FA FP=FC FD。PFEDACB分析：欲证FA FP=FC FD只证FA：FC=FD：FP FAD FCP1、过圆O内的点P的最长弦与最短弦分别为10cm、8cm，则OP长为 cm。2、圆内接四边形ABCD的内角A： B： C=2：3：4，则A= ， D= 。3、一水平放置的圆柱形水管横截面如图所示，水管横截面半径13cm，水面宽AB=24cm，则水管中水深 cm。AB360908分析：过点O作OE垂直AB，作OF垂直CD，连结OP4、已知圆O半径2cm，弦AB所对的劣弧为 圆的，则弦AB长为 cm。5、边长为a的等边三角形外接圆半径等于 。6、如图，P是圆O外的一点，PB、PD分别交圆O 于点A、C且AB=CD，求证：PA=PC。PBDCAOEF谢谢收看谢谢收看 再见再见