1.2 1.2 收敛数列的性质收敛数列的性质 定理定理 ( (唯一性唯一性) )若数列收敛若数列收敛, , 则其极限唯一则其极限唯一. .证明证明由定义由定义, ,一、一、 收敛数列的基本性质收敛数列的基本性质故极限唯一故极限唯一. .收敛数列性质收敛数列性质相应的相应的, , 可以给出有界和有可以给出有界和有下界下界的定义的定义定义定义 ( (数列有界的定义数列有界的定义) )若存在一个实数若存在一个实数M M，对数列所有的项都满足，对数列所有的项都满足, 一个数列即有上界又有下界一个数列即有上界又有下界, , 则称为则称为有界数列有界数列.定理定理 ( (有界性有界性) )收敛数列性质收敛数列性质定理定理 收敛数列性质收敛数列性质证明证明收敛数列性质收敛数列性质注收敛数列性质收敛数列性质定理定理二、二、 极限的四则运算极限的四则运算极限的四则运算极限的四则运算证证极限的四则运算极限的四则运算极限的四则运算极限的四则运算例例1 1:解解应用举例应用举例例例2 2解解应用举例应用举例三、夹逼定理三、夹逼定理证明证明定理定理：夹逼定理夹逼定理上两式同时成立上两式同时成立, ,例例3 3解解由夹逼定理得由夹逼定理得夹逼定理应用夹逼定理应用例例4 4证证夹逼定理应用夹逼定理应用例例5 5则则证明：证明：由夹逼定理由夹逼定理由不等式由不等式夹逼定理应用夹逼定理应用例例6 6证明证明：经典例题经典例题经典例题经典例题例例7 7证明证明证明：证明：由例由例6 6经典例题经典例题一子数列也收敛于一子数列也收敛于 .定理定理2.62.6 如果数列如果数列收敛于收敛于，那么它的任，那么它的任定义定义2.2 2.2 在数列在数列 中按照先后次序任意抽取中按照先后次序任意抽取无限多项这样得到的一个数列称为无限多项这样得到的一个数列称为原数列的原数列的子数列子数列，简称简称子列子列. .四、子列极限四、子列极限数列子列数列子列取取则当则当，证明证明设设是数列是数列的任一子列，由的任一子列，由故对于任意给定的正数故对于任意给定的正数存在着正整数存在着正整数当当时时，成立。成立。数列子列数列子列五、五、 无穷小无穷小定义：定义： 定理定理 无穷小无穷小 六、小结六、小结1 1、收敛数列的性质、收敛数列的性质: : 唯一性、有界性、不等式性质唯一性、有界性、不等式性质2 2、极限的四则运算、极限的四则运算5 5、无穷小、无穷小3 3、夹逼准则、夹逼准则 ( (两边夹法则两边夹法则) )4 4、子列极限、子列极限总结总结作业作业习题1. 2 ， 3， 4（2, 3 ，5），5, 6, 7.