第一节第一节 平面向量的概念及其线性运算平面向量的概念及其线性运算完全与教材同步，主干知识精心提炼。素质和能力源于基完全与教材同步，主干知识精心提炼。素质和能力源于基础，基础知识是耕作础，基础知识是耕作“半亩方塘半亩方塘”的工具。视角从【考纲点击的工具。视角从【考纲点击】中切入，思维从【考点梳理】中拓展，智慧从【即时应用】中切入，思维从【考点梳理】中拓展，智慧从【即时应用】中升华。科学的训练式梳理峰回路转，别有洞天。去尽情畅游中升华。科学的训练式梳理峰回路转，别有洞天。去尽情畅游吧，它会带你走进不一样的精彩！吧，它会带你走进不一样的精彩！三年三年3 3考高考指数考高考指数:1.1.了解向量的实际背景；了解向量的实际背景；2.2.理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义；理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义；3.3.理解向量的几何表示；理解向量的几何表示；4.4.掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义；掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义；5.5.掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义；掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义；6.6.了解向量线性运算的性质及其几何意义了解向量线性运算的性质及其几何意义. .1.1.平面向量的线性运算及共线向量定理是高考考查的重点，也平面向量的线性运算及共线向量定理是高考考查的重点，也是热点，难度中等偏下是热点，难度中等偏下. .2.2.题型以客观题为主，与解析几何交汇命题则以解答题为主题型以客观题为主，与解析几何交汇命题则以解答题为主. .1.1.向量的有关概念向量的有关概念(1)(1)定义：既有定义：既有_又有又有_的量叫做向量的量叫做向量. .(2)(2)表示方法：用表示方法：用_来表示向量来表示向量. .有向线段的长度表示向有向线段的长度表示向量的量的_，用箭头所指的方向表示向量的，用箭头所指的方向表示向量的_._.用用 来表示来表示. .大小大小方向方向有向线段有向线段大小大小方向方向(3)(3)模：向量的模：向量的_叫做向量的模，记作叫做向量的模，记作 长度长度【即时应用【即时应用】(1)(1)判断下列命题的真假：判断下列命题的真假：( (请在括号中填写请在括号中填写“真真”或或“假假”) )向量的大小是实数向量的大小是实数 ( )( )向量可以用有向线段表示向量可以用有向线段表示 ( )( )向量就是有向线段向量就是有向线段 ( )( )向量向量 的长度和向量的长度和向量 的长度相等的长度相等 ( )( )(2)(2)请写出物理中的三个向量请写出物理中的三个向量_. _. 【解析【解析】(1)(1)向量是既有大小又有方向的量，向量的大小为实向量是既有大小又有方向的量，向量的大小为实数，故数，故为真；向量可以用有向线段来表示，有向线段的长度为真；向量可以用有向线段来表示，有向线段的长度为向量的大小，有向线段的方向为向量的方向，所以为向量的大小，有向线段的方向为向量的方向，所以为真；为真；为假；为假； 是大小相等、方向相反的向量，故是大小相等、方向相反的向量，故为真为真. .(2)(2)由向量的定义可知，物理中的速度、力、加速度等都为向由向量的定义可知，物理中的速度、力、加速度等都为向量量. .答案：答案：(1)(1)真真 真真 假假 真真(2)(2)速度、力、加速度速度、力、加速度( (答案不唯一答案不唯一) )2.2.特殊向量特殊向量(1)(1)零向量：长度为零向量：长度为_的向量叫做零向量，记作的向量叫做零向量，记作0; ;零向量的方零向量的方向向_._.(2)(2)单位向量：长度为单位向量：长度为_的向量叫做单位向量的向量叫做单位向量. .(3)(3)共线向量：方向相同或共线向量：方向相同或_的向量叫做共线向量，共线向量的向量叫做共线向量，共线向量也叫做也叫做_向量；规定：零向量与任何向量共线向量；规定：零向量与任何向量共线. .(4)(4)相等向量：长度相等向量：长度_且方向且方向_的向量叫做相等向量的向量叫做相等向量. .(5)(5)相反向量：长度相反向量：长度_且方向且方向_的向量叫做相反向量的向量叫做相反向量. .0 0不确定不确定1 1个单位个单位平行平行相反相反相等相等相同相同相等相等相反相反【即时应用【即时应用】(1)(1)判断下列命题的真假：判断下列命题的真假：( (请在括号中填写请在括号中填写“真真”或或“假假”) )若若a与与b平行，则平行，则b与与a方向相同或相反方向相同或相反 ( )( )若若a与与b平行同向，且平行同向，且| |a|b|,|,则则a b ( )( )|a|=|=|b| |与与a、b的方向没有关系的方向没有关系 ( )( )(2)(2)把平面上一切单位向量归结到共同的始点，那么这些向量的把平面上一切单位向量归结到共同的始点，那么这些向量的终点所构成的图形是终点所构成的图形是_._.【解析【解析】(1)(1)假，当假，当a为零向量时，方向是不确定的为零向量时，方向是不确定的. . 假，向量不能比较大小假，向量不能比较大小. .真，向量真，向量a与与b的模相等，即长度相等，与方向无关的模相等，即长度相等，与方向无关. .(2)(2)这些向量的终点所构成的图形是以共同的始点为圆心，以单这些向量的终点所构成的图形是以共同的始点为圆心，以单位位1 1为半径的圆为半径的圆. .答案：答案：(1)(1)假假 假假 真真 (2)(2)圆圆3.3.向量的加法与减法向量的加法与减法. .【即时应用【即时应用】(1)(1)下列命题是否正确下列命题是否正确( (请在括号中填请在括号中填“”或或“”) ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )(2)(2)若菱形若菱形ABCDABCD的边长为的边长为2 2，则则 =_. =_. 【解析【解析】(1)(1)不正确不正确. .因为因为正确正确. .因为因为正确正确. .因为因为 (2)(2)答案：答案：(1)(1)(2)2(2)24.4.向量的数乘与共线向量定理向量的数乘与共线向量定理(1)(1)向量的数乘向量的数乘长度：长度：方向方向当当00时，时，a的方向与的方向与a的方向的方向_；当当00时，时，a的方向与的方向与a的方向的方向_，当当=0=0时，时，a=_=_其方向是任意的其方向是任意的. .相同相同相反相反0(2)(2)向量的数乘的运算律向量的数乘的运算律设设,为实数，则为实数，则(a)=_;)=_;(+)(+)a=_;(=_;(a+ +b)=_.)=_.(3)(3)共线向量定理共线向量定理向量向量a( (a0) )与与b共线，当且仅当有唯一一个实数共线，当且仅当有唯一一个实数，使得，使得_._.()()aa+aa+bb=a【即时应用【即时应用】(1)(1)思考：在共线向量定理中，当思考：在共线向量定理中，当a= =0时，时，还唯一吗？还唯一吗？提示：提示：当当a= =0且且b= =0时，时，可以为任意实数，不唯一，当可以为任意实数，不唯一，当a= =0且且b0时，时，不存在不存在. . (2)(2)填空填空8(8(a+ +c)+7()+7(a- -c)-)-c=_.=_. =_. =_.设两非零向量设两非零向量e1 1, ,e2 2不共线，且不共线，且k(k(e1 1+ +e2 2)()(e1 1+k+ke2 2),),则实数则实数k k的值为的值为_._.点点C C在线段在线段ABAB上，且上，且 则则【解析解析】原式原式=8=8a+8+8c+7+7a-7-7c- -c=15=15a. .原式原式= (= (a+8+8b-4-4b-2-2b)= ()= (a+2+2b) )k(k(e1 1+ +e2 2)()(e1 1+k+ke2 2) )，k(k(e1 1+ +e2 2)=()=(e1 1+k+ke2 2) )即即(k-)(k-)e1 1=(k-k)=(k-k)e2 2e1 1, ,e2 2不共线，不共线，解得解得k=0k=0或或1.1.又又= = 答案：答案：1515a ( (a+2+2b) 0) 0或或1 1 例题归类全面精准，核心知识深入解读。本栏目科学归纳例题归类全面精准，核心知识深入解读。本栏目科学归纳考向，紧扣高考重点。【方法点睛】推门只见窗前月：突出解考向，紧扣高考重点。【方法点睛】推门只见窗前月：突出解题方法、要领、答题技巧的指导与归纳；题方法、要领、答题技巧的指导与归纳；“经典例题经典例题”投石冲投石冲破水中天：例题按层级分梯度进行设计，层层推进，流畅自然，破水中天：例题按层级分梯度进行设计，层层推进，流畅自然，配以形异神似的变式题，帮你举一反三、触类旁通。题型与方配以形异神似的变式题，帮你举一反三、触类旁通。题型与方法贯通，才能高考无忧！法贯通，才能高考无忧！ 平面向量的有关概念平面向量的有关概念【方法点睛【方法点睛】 1.1.平面向量的概念辨析题的解题方法平面向量的概念辨析题的解题方法准确理解向量的基本概念是解决该类问题的关键，特别是对相准确理解向量的基本概念是解决该类问题的关键，特别是对相等向量、零向量等概念的理解要到位，充分利用反例进行否定等向量、零向量等概念的理解要到位，充分利用反例进行否定也是行之有效的方法也是行之有效的方法. .2.2.几个重要结论几个重要结论(1)(1)相等向量具有传递性，非零向量的平行具有传递性；相等向量具有传递性，非零向量的平行具有传递性；(2)(2)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量；向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量；(3)(3)平行向量与起点无关平行向量与起点无关. .【例【例1 1】已知下列命题：】已知下列命题：单位向量都相等单位向量都相等若若a与与b是共线向量，是共线向量，b与与c是共线向量，则是共线向量，则a与与c是共线向量是共线向量两个有共同起点而长度相等的非零向量，它们的终点必相同两个有共同起点而长度相等的非零向量，它们的终点必相同由于由于0方向不确定，故方向不确定，故0不能与任意向量平行不能与任意向量平行如果如果a= =b，b= =c，则，则a= =c如果如果| |a|=|=|b| |，则，则a与与b的方向相同的方向相同. .其中不正确的命题是其中不正确的命题是_(_(请把不正确的命题的序号都请把不正确的命题的序号都填上填上).).【规范解答【规范解答】各单位向量的模都相等，但方向不一定相同，各单位向量的模都相等，但方向不一定相同，故故不正确；当不正确；当b= =0时，时，a与与c可以为任意向量，故可以为任意向量，故不正确；不正确；两个有共同起点而长度相等的非零向量，如果它们的方向相两个有共同起点而长度相等的非零向量，如果它们的方向相同，则它们的终点必相同，否则终点不相同，故同，则它们的终点必相同，否则终点不相同，故不正确；不正确；规定规定0与任意向量平行，故与任意向量平行，故不正确；如果不正确；如果a、b、c都为零向都为零向量，则量，则a= =c, ,如果如果a、b、c为非零向量，则它们的长度都相等、为非零向量，则它们的长度都相等、方向相同，所以方向相同，所以a= =c, ,故故正确；正确；不正确不正确. .答案：答案：【反思【反思感悟感悟】平面向量的基本概念较多，比较容易遗忘，复习平面向量的基本概念较多，比较容易遗忘，复习时要构建良好的知识结构来帮助记忆，还可以与物理中、生活中时要构建良好的知识结构来帮助记忆，还可以与物理中、生活中的模型进行类比和联想来记忆的模型进行类比和联想来记忆. . 平面向量的线性运算平面向量的线性运算【方法点睛【方法点睛】1.1.平面向量的线性运算法则的应用平面向量的线性运算法则的应用三角形法则和平行四边形法则是向量线性运算的主要方法，共三角形法则和平行四边形法则是向量线性运算的主要方法，共起点的向量和用平行四边形法则，差用三角形法则起点的向量和用平行四边形法则，差用三角形法则. .2.2.两个重要结论两个重要结论(1)(1)向量的中线公式：若向量的中线公式：若P P为线段为线段ABAB中点，则中点，则 (2)(2)向量加法的多边形法则向量加法的多边形法则【提醒【提醒】当两个向量共线当两个向量共线( (平行平行) )时，三角形法则同样适用时，三角形法则同样适用. .向量向量加法的平行四边形法则与三角形法则在本质上是一致的，但当两加法的平行四边形法则与三角形法则在本质上是一致的，但当两个向量共线个向量共线( (平行平行) )时，平行四边形法则就不适用了时，平行四边形法则就不适用了. .【例【例2 2】在】在ABCABC中，中，(1)(1)若若D D是是ABAB边上一点，且边上一点，且 则则=( )=( )(2)(2)若若O O是是ABCABC所在平面内一点所在平面内一点,D,D为为BCBC边中点边中点, ,且且那么那么( )( )(3)(3)若若 =_.=_.【解题指南【解题指南】(1)D(1)D是是ABAB边上的三等分点，把边上的三等分点，把 表表示；示；(2)(2)由由D D为为BCBC边中点可得边中点可得 即可求解；即可求解；(3)(3)由由 可得可得ABCABC为正三角形，为正三角形， 是是该正三角形高的该正三角形高的2 2倍倍. .【规范解答【规范解答】(1)(1)选选 故选故选A.A.(2)(2)选选A.A.因为因为D D为为BCBC边中点，边中点，(3)(3)ABCABC是边长为是边长为2 2的正三角形，的正三角形， 为三角形高的为三角形高的2 2倍，所以倍，所以答案：答案：【反思【反思感悟感悟】用已知向量来表示另外一些向量是解向量问题用已知向量来表示另外一些向量是解向量问题的基础，除了利用向量的线性运算法则外，还应充分利用平面的基础，除了利用向量的线性运算法则外，还应充分利用平面几何的一些定理，如三角形的中位线定理、相似三角形的对应几何的一些定理，如三角形的中位线定理、相似三角形的对应边成比例等边成比例等. . 共线向量定理的应用共线向量定理的应用【方法点睛【方法点睛】1.1.共线向量定理及其应用共线向量定理及其应用(1)(1)可以利用共线向量定理证明向量共线，也可以由向量共线求可以利用共线向量定理证明向量共线，也可以由向量共线求参数的值参数的值. .(2)(2)若若a, ,b不共线，则不共线，则a+b= =0的充要条件是的充要条件是=0,=0,这一结论这一结论结合待定系数法应用非常广泛结合待定系数法应用非常广泛. .2.2.证明三点共线的方法证明三点共线的方法若若 则则A A、B B、C C三点共线三点共线. .【例【例3 3】已知】已知a, ,b不共线，不共线， = =a, =, =b, =, =c, =, =d, =, =e, ,设设tRtR，如果，如果3 3a= =c,2,2b= =d, ,e=t(=t(a+ +b),),是否存在实数是否存在实数t t使使C C，D D，E E三点在一条直线上？若存在，求出实数三点在一条直线上？若存在，求出实数t t的值，若不存在，请的值，若不存在，请说明理由说明理由. .【解题指南【解题指南】先假设存在，再用先假设存在，再用a, ,b表示目标向量，最后判断表示目标向量，最后判断是否有是否有 成立即可成立即可. .【规范解答【规范解答】由题设知，由题设知， =d-c=d-c=2b-3a=2b-3a, , = =e- -c=(t-3)=(t-3)a+t+tb, ,C C，D D，E E三点在一条直线上的充要条件是存在实数三点在一条直线上的充要条件是存在实数k k，使得，使得 即即(t-3)(t-3)a+t+tb=-3k=-3ka+2k+2kb, ,整理得整理得(t-3+3k)(t-3+3k)a=(2k-t)=(2k-t)b. .因为因为a, ,b不共线，所以有不共线，所以有 解之得解之得故存在实数故存在实数 使使C C，D D，E E三点在一条直线上三点在一条直线上. .【反思【反思感悟感悟】1.1.注意待定系数法在解决此类问题中的应用注意待定系数法在解决此类问题中的应用. .其中的其中的k k只是桥梁，可设而不求只是桥梁，可设而不求. .2.2.本例中应用待定系数法求本例中应用待定系数法求t t的值时，不可忽视的值时，不可忽视a, ,b不共线的不共线的条件条件. . 把握高考命题动向，体现区域化考试特点。本栏目以最新的把握高考命题动向，体现区域化考试特点。本栏目以最新的高考试题为研究素材，解析经典考题，洞悉命题趋势，展示现场高考试题为研究素材，解析经典考题，洞悉命题趋势，展示现场评卷规则。对例题不仅仅是详解评析，更是从命题层面评价考题，评卷规则。对例题不仅仅是详解评析，更是从命题层面评价考题，从备考角度提示规律方法，拓展思维，警示误区。【考题体验】从备考角度提示规律方法，拓展思维，警示误区。【考题体验】让你零距离体验高考，亲历高考氛围，提升应战能力。为你顺利让你零距离体验高考，亲历高考氛围，提升应战能力。为你顺利穿越数学高考时空增添活力，运筹帷幄、决胜千里。穿越数学高考时空增添活力，运筹帷幄、决胜千里。【创新探究【创新探究】以向量为背景的新定义问题以向量为背景的新定义问题【典例】【典例】(2011(2011山东高考山东高考) )设设A A1 1、A A2 2、A A3 3、A A4 4是平面直角坐标是平面直角坐标系中两两不同的四点，若系中两两不同的四点，若 (R)(R)， (R)(R)，且，且 则称则称A A3 3,A,A4 4调和分割点调和分割点A A1 1,A,A2 2，已知平面，已知平面上的点上的点C C，D D调和分割点调和分割点A A，B B则下面说法正确的是则下面说法正确的是( )( )(A)C(A)C可能是线段可能是线段ABAB的中点的中点(B)D(B)D可能是线段可能是线段ABAB的中点的中点(C)C(C)C，D D可能同时在线段可能同时在线段ABAB上上(D)C(D)C，D D不可能同时在线段不可能同时在线段ABAB的延长线上的延长线上【解题指南【解题指南】本题为信息题，由本题为信息题，由 (R)(R)， (R)(R)知：知：A A1 1,A,A2 2,A,A3 3,A,A4 4四点共线，且不重合四点共线，且不重合. .因为因为C C，D D调和分割点调和分割点A A，B B，所以，所以A A，B B，C C，D D四点在同一直线四点在同一直线上，设上，设 然后逐项代入验证然后逐项代入验证. . 【规范解答【规范解答】选选D.D.由由 (R)(R)， (R(R) )知：四点知：四点A A1 1,A,A2 2,A,A3 3,A,A4 4在同一条直线上，且不重合在同一条直线上，且不重合. .因为因为C C，D D调和分割点调和分割点A A，B B，所以，所以A A，B B，C C，D D四点在同一直线四点在同一直线上，设上，设 选项选项A A中中 此时此时d d不不存在，故选项存在，故选项A A不正确；同理选项不正确；同理选项B B也不正确；选项也不正确；选项C C中，中，0c1,0c1,0d1, 0d1, 也不正确，故选也不正确，故选D.D.【阅卷人点拨【阅卷人点拨】通过对本题的深入研究，我们可以得到以下创新通过对本题的深入研究，我们可以得到以下创新点拨和备考建议：点拨和备考建议：创创新新点点拨拨本题有以下创新点：本题有以下创新点：(1)(1)命题背景新颖，本题为新定义题目，用新定义考查阅读能力与知识命题背景新颖，本题为新定义题目，用新定义考查阅读能力与知识迁移能力；迁移能力；(2)(2)考查内容创新：以共线向量为背景，结合不等式，通过创新情境，考查内容创新：以共线向量为背景，结合不等式，通过创新情境，考查化归与转化的数学思想方法和分析问题、解决问题的能力考查化归与转化的数学思想方法和分析问题、解决问题的能力. .备备考考建建议议(1)(1)可通过特例、验证等方法理解新定义问题；可通过特例、验证等方法理解新定义问题；(2)(2)化生为熟、化新为旧，设法把新定义问题转化为熟悉的问题来解决；化生为熟、化新为旧，设法把新定义问题转化为熟悉的问题来解决；(3)(3)“按规则办事按规则办事”，新定义问题怎么规定，就怎么办，新定义问题怎么规定，就怎么办. .1.(20121.(2012衡阳模拟衡阳模拟) )已知四边形已知四边形OABCOABC中，中， 则则 等于等于( )( )(A) (B)(A) (B)(C) (D)(C) (D)【解析【解析】选选D.D.2.(20112.(2011四川高考四川高考) )如图，正六边形如图，正六边形ABCDEFABCDEF中，中， =( ) =( )【解析【解析】选选D. D. 故选故选D.D.3.(20113.(2011北京高考改编北京高考改编) )已知向量已知向量a、b不共线，若不共线，若a-2-2b与与3 3a+k+kb共线，则实数共线，则实数k=_.k=_.【解析【解析】因为因为a-2-2b与与3 3a+k+kb共线，所以存在实数共线，所以存在实数使得使得a-2-2b=(3=(3a+k+kb),),整理得整理得(3-1)(3-1)a+(k+2)+(k+2)b=0,=0,又因为向量又因为向量a、b不不共线，所以共线，所以答案：答案：-6-6