4.3 频率采样法频率采样法工程上，常给定频域上的技术指标，所以采用频域设计更直接。一、基本思想一、基本思想使所设计的FIR数字滤波器的频率特性在某些离散频率点上的值准确地等于所需滤波器在这些频率点处的值，在其它频率处的特性则有较好的逼近。内插公式关键点：求h(n)、H(z)及其频率响应约束条件对H(k)的取值影响二.设计方法1）从频域出发，对理想频响加以等间隔采样，并以此作为实际FIR的频率特性的离散样本，确定2）通过IDFT，求有限长序列h(n)，为3）利用N个频域的离散样本H(k)，同样求出H(z)及其频响。三、约束条件为了设计线性相位的FIR滤波器，采样值H（k）要满足一定的约束条件。前已指出,具有线性相位的FIR滤波器，其单位脉冲响应h(n)是实序列，且满足，由此得到的幅频和相频特性，就是对H(k)的约束。（表）。例如，要设计第一类线性相位FIR滤波器，即N为奇数，h(n)偶对称，则幅度函数H()应具有偶对称性：令则必须满足偶对称性：而必须取为：同样，若要设计第二种线性相位FIR滤波器，N为偶数，h(n)偶对称，由于幅度特性是奇对称的，因此，Hk也必须满足奇对称性：相位关系同上，其它两种线性相位FIR数字滤波器的设计，同样也要满足幅度与相位的约束条件。四、逼近误差由或H(z)。由上述设计过程得到的与的逼近程度，以及与H（k）的关系？由令，则单位圆上的频响为：这是一个内插公式。式中为内插函数令则内插公式表明：l在每个采样点上，逼近误差为零，频响严格地与理想频响的采样值H(k)相等；l在采样点之间，频响由各采样点的内插函数延伸迭加而形成，因而有一定的逼近误差，误差大小与理想频率响应的曲线形状有关，理想特性平滑，则误差小；反之，误差大。在理想频率响应的不连续点附近，会产生肩峰和波纹。lN增大，则采样点变密，逼近误差减小。图频率采样的响应例3：设计一个FIR数字LP滤波器，其理想特性为采样点数N=33，要求线性相位。解：根据的表，能设计低通线性相位数字滤波器的只有1、2两种，因N为奇数，所以只能选择第一种。即h(n)=h(N-1-n)，幅频特性关于偶对称，也即HK偶对称。利用HK的对称性,求2区间的频响采样值。根据指标要求，在02内有33个取样点，所以第k点对应频率为而截止频率位于之间，所以，k=08时，取样值为1；根据对称性，故k=2532时，取样值也为1，因k=33为下一周期，所以0区间有9个值为1的采样点，2区间有8个值为1的采样点，因此：将代入内插公式，求H(ej)：考虑到8k25时Hk=0，而其它k时，Hk=1,令k=33-n，则相应地频率响应见图4.12(b)从图上可以看出，其过渡带宽为一个频率采样间隔2/33，而最小阻带衰减略小于20dB。对大多数应用场合，阻带衰减如此小的滤波器是不能令人满意的。增大阻带衰减三种方法：1）加宽过渡带宽，以牺牲过渡带换取阻带衰减的增加。例如在本例中可在k=9和k=24处各增加一个过渡带采样点H9=H24，使过渡带宽增加到二个频率采样间隔4/33，重新计算的H(ej)见图4.12(c)，其阻带衰减增加到约-40dB。2）过渡带的优化设计根据H(ej)的表达式，H(ej)是Hk的线性函数，因此还可以利用线性最优化的方法确定过渡带采样点的值，得到要求的滤波器的最佳逼近（而不是盲目地设定一个过渡带值）。例如，本例中可以用简单的梯度搜索法来选择H9、H24,使通带或阻带内的最大绝对误差最小化。要求使阻带内最大绝对误差达到最小（也即最小衰减达到最大），可计算得H9。对应的H(ej)的幅频特性，比H9时的阻带衰减大大改善,衰减约-50dB。如果还要进一步改善阻带衰减，可以进一步加宽过渡区，添上第二个甚至第三个不等于0的频率取样值，当然也可用线性最优化求取这些取样值。3）增大N如果要进一步增加阻带衰减，但又不增加过渡带宽，可增加采样点数N。例如，同样边界频率c=0.5,以N=65采样，并在k=17和k=48插入由阻带衰减最优化计算得到的采样值H17=H48=0.5886,在k=18、47处插入经阻带衰减最优化计算获得的采样值H18=H47=0.1065,这时得到的H(ej)，过渡带为6/65，而阻带衰减增加了20多分贝，达-60dB以上，当然，代价是滤波器阶数增加，运算量增加。N=65;k=0:(N-1)/2;Wm=2*pi*k./N;Ad(1:(N+1)/2)=1;%幅值Ad(18)=0.5886;Ad(19)=0.1065;Ad(20:33)=0;Hd=Ad.*exp(-j*0.5*(N-1)*Wm);Hd=Hdconj(fliplr(Hd(2:(N+1)/2);%相位在取后半部分时的值要加共轭,幅度要偶对称h=real(ifft(Hd);w=linspace(0,pi-0.1,1000);H=freqz(h,1,w);plot(w/pi,20*log10(abs(H);grid;例2、用频率采样法设计一个线性相位低通滤波器，N=11，边沿上设计一点过渡带试求各点采样值H(k)。解：N=11为奇数，只能是第一种类型滤波器。频率间隔为，而（在k=2,3之间）。为保证通带指标取k=3,8为过渡点（因为必须满足）。从而有频率采样法设计FIR滤波器函数：h=fir2(M,f,A)f和A分别是指定频率及其预期的幅度响应f在0,1，1相应于奈奎斯特频率，所以是除以pi小结：频率采样设计法优点：直接从频域进行设计，物理概念清楚，直观方便；适合于窄带滤波器设计，这时频率响应只有少数几个非零值。典型应用：用一串窄带滤波器组成多卜勒雷达接收机，覆盖不同的频段，多卜勒频偏可反映被测目标的运动速度；缺点：截止频率难以控制。因频率取样点都局限在2/N的整数倍点上，所以在指定通带和阻带截止频率时，这种方法受到限制，比较死板。充分加大N，可以接近任何给定的频率，但计算量和复杂性增加。