第06章 逻辑式程序设计语言程序要对数据结构实施某个算法过程,算法实现计算逻辑 算法 = 逻辑 + 控制逻辑程序设计的基本观点是程序描述的是数据对象之间的关系。关系也是联系对象和对象、对象和属性的联系就是我们所说的事实。事实之间的关系以规则表述，根据规则找出合乎逻辑的事实就是推理逻辑程序设计范型是陈述事实、制定规则，程序设计就是构造证明。程序的执行就在推理6.1谓词演算谓词演算 谓词演算是符号化事实的形式逻辑系统，它也是逻辑程序设计语言的模型 谓词演算诸元素谓词演算诸元素 用形式方法研究论域上的对象需要一种语言，它能表达该域对象具有什么性质(properties)， 以及对象间有些什么关系(relations) 描述以公式(Formulas)表达。谓词公式中各元素按一定逻辑规则变换，即谓词演算(predicate calculus)(1)公式 由一组约定的符号组成的序列，它包括常量、变量、逻辑连接、命题函数、谓词、量词(2)常量 指明论域上的对象(3)变量 可束定到特定域上某个范围的对象上(4)函数 表征对象具有的映射关系(5)谓词 表征对象某种性质的符号(6)量词 量词限定的变量名作用域是整个公式(7) 逻辑操作 and， or， not， (蕴含) (全等)当谓词应用到的变元是常量或已被束定的变量上时，就叫做句子(sentence)或命题(proposition)谓词变元的个数称作目(arity)，有单目、N目谓词之称 N-目谓词的例子。 谓词 目 含义 odd(X) 1 X是奇数 father(F，S) 2 F是S的父亲 divide(N，D，Q，R) 4 N除D得商Q和余数R 谓词例化 结果值 odd(2) False divide (23， 7， 3，2) Ture father (changshan， changping) True divide (23， 7， 3， N) N未例化， 不知真假谓词的量化量化谓词 结果值 Xodd(X) False Xodd(X) True X(X=2*Y+1odd (X) True XYdivide (X，3，Y，0) False XYdivide (X，3，Y，0) True， 如X =3，Y=1 XYdivide(X，3，Y，0) False， 但很难证明证明一个全称谓词是比较难的，因为最可靠的证明方法是枚举例证。 于是采取反证的方法，全称量化的谓词取反量化谓词 取反Xodd(X) Xnot odd(X) 1Xodd(X) Xnot odd(X) 2X(X=2*Y+1odd(X) Xnot(X+2*Y+1odd(X) 3 Xnot(X=2*Y+1)or odd (X) 4 X(X=2*Y+1)and not add(X) 5XY divide (X，3，Y，0) XY not divide (X，3，Y，0) 6XY divide (X，3，Y，0) XY not divide (X，3，Y，0) 7XY divide (X，3，Y，0) XY not divide (X，3，Y，0) 8谓词演算的等价变换谓词演算的等价变换1以， 消除、符号2化为前束范式,消除最外的符号,否定符号内移(XP(X) X( p(X)3用斯柯林变换消去存在量词 X(a ( X) b(X) Y c (X，Y) X(a (X) b(X) c (X， g(X)4 消除前束范式的全称量词 a(X) b(X) c (X，g(X) 一般谓词公式变换为子句的实例。一般谓词公式变换为子句的实例。号为号为“可推可推出出”5用分配率P(QR)=(PQ)(PR)化成合取范式 (a(X)c(X，g(X)(b(X)c(X，g(X) 经过以上变换,任何一复合公式均可成为如下形式: F = C1C2 Cn 且其中Ci称为子句 若以;代则有: Ci = L1 L2 Lv = L1;L2;Lv 因此，任一公式均可化为连接的子句的集合6.2 自动定理证明自动定理证明 证明系统证明系统 事实即证明系统中的公理(axioms) 证明系统(proof system)是应用公理演绎出定理 (theorems)的合法演绎规则的集合 演绎也叫归约(deduction)，是对证明系统中合法 推理规则的一次应用 演绎从公理导出结论(conclusion)， 中间可利用以 这些规则演绎出的定理证明证明(proof)是个语句序列， 以每个语句得到证明而结束， 即每个句子要么演绎成公理， 要么演绎成前此导出的定理一个证明若有一个证明若有N个语句个语句(命题命题)则称则称N步证明步证明 反驳反驳(refutation)是一个语句的反向证明。是一个语句的反向证明。 它证明它证明 一个语句是矛盾的，一个语句是矛盾的， 即不合乎给定的公理即不合乎给定的公理 一个语句若能从公理出发推演出来，一个语句若能从公理出发推演出来， 则称则称合法语合法语句句， 任何合法语句也叫做任何合法语句也叫做定理定理(theorem) 从某一公理集合导出的所有定理集合称为从某一公理集合导出的所有定理集合称为理论理论(theory) 模型模型 从公理集合中导出定理集称之为从公理集合中导出定理集称之为理论理论， 有了理有了理论我们要解释它的语义必须借助某个论我们要解释它的语义必须借助某个模型模型(model)。 因为形式系统只是符号抽象，借助模型我们可为每因为形式系统只是符号抽象，借助模型我们可为每个常量、函数、谓词符号找到真理性的解释。个常量、函数、谓词符号找到真理性的解释。 即定即定义每个论域，义每个论域， 并表明域上成员和常量公理之间的关并表明域上成员和常量公理之间的关系。系。 公理的谓词符号必须派定为域中对象的性质，公理的谓词符号必须派定为域中对象的性质， 函数派定为对域中对象的操作。函数派定为对域中对象的操作。 公理集合一般情况下只是定义的部分公理集合一般情况下只是定义的部分(偏偏)函数函数和谓词，和谓词， 是问题域的一个侧面。是问题域的一个侧面。 所以能满足该理论所以能满足该理论的模型往往不止一个。的模型往往不止一个。例例 一个最简单的理论一个最简单的理论 公理集公理集: Xinterval(X)not interval (X+1) (a1) Xnot interval (X+1)interval(X) (a2)2=1+1 (a3) 从间隔数公理可导出定理从间隔数公理可导出定理: Xinterval (X)interval (X+2) (t1) Xinterval (X+2) interval(X) (t2)谓词谓词interval(间隔数间隔数)在整数域上有两个子域在整数域上有两个子域odd、even都能够满足都能够满足 间隔数理论不能证明间隔数理论不能证明interval(3),也不能证明也不能证明not interval(3)为真命题为真命题这就是这就是Milbert讨论过的讨论过的可判定可判定(decidability)Church和和Turing证实证实谓词演算可判定性问题是没有解的谓词演算可判定性问题是没有解的 一旦我们断言一旦我们断言interval(3)或或interval(2)Godel和和Herbrand1930年年证实的谓词演算具备的完整性证实的谓词演算具备的完整性(completeness) 证明技术证明技术 从谓词演算具有完整性，从谓词演算具有完整性， 理论上可证明按公理理论上可证明按公理集合建立的任何理论。集合建立的任何理论。 关键是效率。关键是效率。 如果我们从公理出发做出每一个如果我们从公理出发做出每一个步骤，步骤， 在新的步骤上仍然要查找每一个公理，找出在新的步骤上仍然要查找每一个公理，找出可能的推理。如此下去就形成一个庞大的树行公理可能的推理。如此下去就形成一个庞大的树行公理集，集， 每层的结点表示一个公理的语句，每层的结点表示一个公理的语句， 其深度和宽其深度和宽度随问题和最初给出的公理而定，度随问题和最初给出的公理而定， 一层一步骤，一层一步骤， N层的树就是层的树就是N步推理。步推理。 对于自动定理证明程序，对于自动定理证明程序， 只有穷举每条可能的证只有穷举每条可能的证明步骤才能说它是完全的。明步骤才能说它是完全的。 穷举完所有路径马上遇穷举完所有路径马上遇到组合爆炸问题，无论是深度优先还是广度优先，到组合爆炸问题，无论是深度优先还是广度优先，百步演绎可能的路径数都是天文数字。百步演绎可能的路径数都是天文数字。 归结定理证明归结定理证明年提出的年提出的归结法归结法(resolution) ，是命题演算中对合适公，是命题演算中对合适公式的一种证明方法。式的一种证明方法。 为了证明合适公式为了证明合适公式F为真，为真， 归结法归结法证明证明 F恒假来代替恒假来代替F永真。把两子句合一永真。把两子句合一(unification)并消去一对正逆命题，故归结也译作并消去一对正逆命题，故归结也译作消消解解。归结证明的过程并称之归结演绎，。归结证明的过程并称之归结演绎， 其步骤如下其步骤如下:1把前题中所有命题换成子句形式。把前题中所有命题换成子句形式。2取结论的反取结论的反,并转换成子句形式并转换成子句形式,加入加入1中的子句中的子句集集.3在子句集中选择含有互逆命题的命题归结。用合在子句集中选择含有互逆命题的命题归结。用合一算法得出新子句一算法得出新子句(归结式归结式)，再加入到子句集。，再加入到子句集。4重复重复3，若归结式为空则表示此次证明的逻辑结，若归结式为空则表示此次证明的逻辑结论是矛盾，原待证结论若不取反则恒真。命题得证。论是矛盾，原待证结论若不取反则恒真。命题得证。 否则继续重复否则继续重复3。 例：归结证明例：归结证明 若有前题若有前题 待证命题待证命题 取反得新子句取反得新子句 p1 Q P P U p5 P p2 R Q p6 U p3 S R p4 U S 取待证命题的反，取待证命题的反， 得得PU， 它是它是连接的两个子句连接的两个子句P、U，把它们加到前题子句集，把它们加到前题子句集， 为为p5，p6。归结演绎如下图归结演绎如下图: Q P P p1-p5归结归结 Q R Q 再与再与p2归结归结 S R R 再与再与p3归结归结 S U S 再与再与p4归结归结 U U 再与再与p6归结归结 矛盾矛盾由本例可以看出两个问题：由本例可以看出两个问题：第一，归结法是由合一算法实现的。所谓第一，归结法是由合一算法实现的。所谓合一合一是找出是找出型式匹配的两子句，型式匹配的两子句， 将它们合一为归结式，将它们合一为归结式， 相当于相当于代数中的化简。代数中的化简。第二，如果得不出矛盾，那么归结法要无休止地做下第二，如果得不出矛盾，那么归结法要无休止地做下去，中间归结式出得越多，去，中间归结式出得越多， 匹配查找次数越多，匹配查找次数越多， 每每一步都做长时间计算，一步都做长时间计算， Solution：利用切断利用切断(cut)操作，操作， 并利用对子句形式进并利用对子句形式进一步限制的一步限制的超级归结法超级归结法(Hyperresolution)。 Horn子句实现超归结子句实现超归结 Horn子句是至多只有一个非负谓词符号的子句子句是至多只有一个非负谓词符号的子句 Horn子句形式示例如下子句形式示例如下: P QS R T 其中只有一个非负谓词其中只有一个非负谓词S,可作以下演算：可作以下演算： 先将先将S移向右方移向右方 S P Q R T 按德按德摩根定律摩根定律 S (PQRT) 即即， 则则 S(P Q R T) 此条件此条件Horn子句的意义是子句的意义是 if (PQRT) then S。 若若S为空，为空， 则为无条件则为无条件Horn子句，子句， 是一个断言是一个断言(事实事实)6.3 逻辑程序的风格逻辑程序的风格第一第一个特点是它不描述计算过程而是描述证明过程个特点是它不描述计算过程而是描述证明过程第二个特点是描述性第二个特点是描述性第三个特点是大量用表和递归实现重复操作第三个特点是大量用表和递归实现重复操作例例 求平均成绩的逻辑程序，打开一分数文件求平均成绩的逻辑程序，打开一分数文件scores， 读入分数求和并用的数读入分数求和并用的数N除之得平均成绩除之得平均成绩 average :- see(scores)， getinput (Sum，N)， seen (scores)， Av is Sum /N， print (Average = ， Av) getinput (Sum，N) :- ratom (X)， not (eof)， getinput (Sum1，N1)， Sum is Sum1 + X， N is N11. getinput (0，0) :- eof. 6.4 典型逻辑程序设计语言典型逻辑程序设计语言Prolog Prolog要环境支持要环境支持 ，即管理事实和规则的数据库即管理事实和规则的数据库 Prolog的基本成分是对象的基本成分是对象(常量、变量、结构、表常量、变量、结构、表)、谓、谓词、运算符、函数、规则词、运算符、函数、规则从从纯语法纯语法意义上意义上Prolog的项什么都可以表示的项什么都可以表示: :=|()| | 从从语义语义角度，角度， 以下语法描述提供了处理时的语义概念以下语法描述提供了处理时的语义概念: ( | | ) : - ， /*形如形如p或或q(T， ，)的字面量的字面量*/Prolog程序结构程序结构 Prolog程序由子句组成，程序由子句组成， 子句模型是子句模型是Horn子句。子句。(1) 事实与规则事实与规则 Prolog程序先定义公理集程序先定义公理集例：例：Prolog的规则和事实的规则和事实 条件子句条件子句(规则规则) pretty (X):-artwork(X) pretty (X):-color(X，red)，flower(X). watchout (X):-sharp(X，_). 无条件子句无条件子句(事实事实) color (rose，red). sharp (rose，stem). sharp (holly，leaf). flower(rose). flower(violet) artwork (painting (Monet， haystack_at_Giverny).(2)查询查询 Prolog中查询中查询(query)是要求是要求Prolog证明定理。证明定理。 因为提因为提出的问题就是证明过程的目标出的问题就是证明过程的目标,所以查询也叫目标所以查询也叫目标(goal)。例例: Prolog的查询的查询 ?- pretty (rose). yes ?- pretty (Y). Y=painting (Monet，haystack_at_Giverny). Y=rose. no ?-pretty(W)， sharp(W，Z) W=rose Z=stem no 例例: 最大公约数的欧基里得算法最大公约数的欧基里得算法 最大公约数欧基里得算法可用三条规则描述最大公约数欧基里得算法可用三条规则描述: gcd (A，0，A). gcd (A，B，D):-(AB)，(B0)，R is A mod B， gcd(B，R，D). gcd (A，B，D):-(AB)， gcd (B，A，D). 封闭世界内的假设封闭世界内的假设 如果有某个子目标查遍数据库也找不到能满足的如果有某个子目标查遍数据库也找不到能满足的事实，事实， 该子目标失败，该子目标失败， 但不等于整个目标的失败。但不等于整个目标的失败。 即使是整个目标最后失败，即使是整个目标最后失败， 也不等于这个目标追求也不等于这个目标追求的命题是否定的，的命题是否定的， 因为限于数据库存放的规则和事因为限于数据库存放的规则和事实有限，实有限， 它是它是“封闭世界假说封闭世界假说”之下的失败。之下的失败。函数和计算函数和计算(1) 函子完成逻辑设计中的计算函子完成逻辑设计中的计算 函子以结构形式出现，函子以结构形式出现， 如如: 中缀表示中缀表示 前缀表示前缀表示 X+Y*Z +(X，*(Y，Z) A-B/C -(A，/(B，C) 故它不是谓词，仅仅是一特殊的结构：故它不是谓词，仅仅是一特殊的结构： (， ， )函数求值的的结果一般通过谓词函数求值的的结果一般通过谓词is(，)束定到变元上束定到变元上gcd (A，B，D);-(AB)，(B0)，R is A mod B，gcd(B，R，D).把把函数改写为约束，很容易写出函数改写为约束，很容易写出prolog程序程序例例 求斐波那契数的求斐波那契数的Prolog程序程序 斐波那契函数以下述公式生成以下数列斐波那契函数以下述公式生成以下数列: 1， 1， 2， 3， 5， 8， 13， 21， Fib(0) = 1 Fib(1) = 1 Fib(n) = Fib(n-1) + Fib(n-2)第一、二式是事实也是公理，把结果值作为变元照写。第一、二式是事实也是公理，把结果值作为变元照写。 第三式说明，若第三式说明，若n为斐波那契数，为斐波那契数，n-1和和n-2的斐波那契必的斐波那契必须成立，且这两个数之和是须成立，且这两个数之和是n的斐波那契数，的斐波那契数， n1， 于是于是有有Prolog程序程序 Fib (0，1). Fib (1，1). Fib (n，f):-Fib(m，g)，Fib(k，h)，m is n-1，k is m-1， f is g+h， n1. 当有查询当有查询 ?-Fib(5，f)时，时， f返回返回8(2) 逻辑程序的算法表达逻辑程序的算法表达 算法怎样用公理表达呢？拿一个最典型的算法怎样用公理表达呢？拿一个最典型的Quicksort分分类程序讨论。类程序讨论。 quicksort(未分类表，分类完的表未分类表，分类完的表):- (从未分类表拿出第一元素从未分类表拿出第一元素,以它为基准以它为基准,分成两个表分成两个表), 1 quicksort(小表，分类完小表小表，分类完小表)， 2 quicksort(大表，分类完大表大表，分类完大表)， 3 append (分类完小表，分类完小表， 基准元素和分类完大表，分类完总表基准元素和分类完大表，分类完总表) 4这样把快速分类的总目标变成了四个子目标这样把快速分类的总目标变成了四个子目标例例 快速分类的快速分类的Prolog代码代码 r1 split(_， ， ， ). r2 split (Pivot，Head | Tail，Head | Sm，Lg):- Head Pivot，split (Pivot，Tail，Sm，Lg). r3 split (Pivot，Head | Tail，Sm Head | Lg):- Pivot Head，split (Pivot，Tail，Sm，Lg). r4 quicksort ( ， ). r5 quicksort (Head ，Head). r6 quicksort (Pivot | Unsorted AllSorted):- split (Pivot，Unsorted，Small，Large), quicksort (Small，SmSorted)， quicksort (Large，Lgsorted), append (SmSorted，Pivot | LgSorted，AllSorted).(3)逻辑和控制分离逻辑和控制分离 Prolog无通常意义的控制结构，也就是该程序动作无通常意义的控制结构，也就是该程序动作次序（显然也有）和计算的子句逻辑没有必然的关系。次序（显然也有）和计算的子句逻辑没有必然的关系。例如例如:把上例中把上例中r4,r5,r6写在写在r1,r2,r3前面并不影响本程序前面并不影响本程序的执行结果。的执行结果。cut和和not谓词谓词 因为因为Prolog的归结模型只能完整地证明正命题，的归结模型只能完整地证明正命题， 是是否有解无法判定否有解无法判定 如果明知再作没有意义，可人为截断如果明知再作没有意义，可人为截断cut(1) 安全安全cut 非形式解释非形式解释cut， 它如同一篱笆，它如同一篱笆， 由程序员任意置放由程序员任意置放在规则之中，在规则之中， 以停止无意义的回溯。以停止无意义的回溯。例例 安全安全cut示例：示例：求求1到到N的整数之和的整数之和 r1 sum_to(N，1):-N=1，！，！. r2 sum_to (N，R):-N1 is N-1，sum_to(N1，R1)， R is R1 + N.当有查询当有查询: ?-sum_to(1，X) /匹配匹配r1 X=1; /打打;号由于有！不致无限号由于有！不致无限查查 找第找第2个个 no ?-sum-to(6，X) /匹配匹配r1失败，失败， 匹配匹配r2连续连续r2 X=21; /直至成功，直至成功， 打打;号也不再找号也不再找 no r1 可用可用sum_to(1,1).事实代事实代(2) cut 实现实现not操作操作 r1 not(X):-X，！，！，fail. r2 not(_).其推理过程是其推理过程是: 若若X为假，匹配为假，匹配r1，在未达到！时已失败，则匹配规在未达到！时已失败，则匹配规则则r2，由于由于r2什么变元都可以且总为成功，所以，什么变元都可以且总为成功，所以， not(X)是成功的。是成功的。 若若X为真，匹配为真，匹配r1后，后，X为真，控制通过！传到为真，控制通过！传到fail,则则r1失败。失败。 于是回溯到！过不去，只好失败。由于用了于是回溯到！过不去，只好失败。由于用了!就地失败，它不再匹配就地失败，它不再匹配r2， 故故not(X)为失败。为失败。 正是由于这个原因，正是由于这个原因， 谓词谓词p和和not(not (p)求值结果不求值结果不能保证一样，能保证一样， 有时有时not(p)和和not(not (p)求值结果倒是一求值结果倒是一样的，样的， 以下是以下是not谓词出毛病的例子谓词出毛病的例子: 例例 不可靠的不可靠的not谓词谓词 假定一规则假定一规则test有以下定义有以下定义: test (S，T):-S=T. 运行以下查询时有运行以下查询时有: ?-test(3，5). no ?-test(5，5) yes ?-not( test(5，5) ) no ?-test(X，3)，R is X+2. X=3 R=5 ?- not (not test (X，3)， R is X+2. ！ error in arithmetic expression : not a number由于第二次由于第二次not(外部的外部的)求求值时用到上例规则值时用到上例规则r1， 其其中中X是是not(test(X，3)的结的结果值，果值， 故故X+2不是数加不是数加2。这个问题原因在于子句逻辑这个问题原因在于子句逻辑的不可判定性的不可判定性(3)不安全的不安全的cut cut使我们处于两难的境地，使我们处于两难的境地， 它的高效是以它的高效是以风险为代价得到的，如同风险为代价得到的，如同60年代年代goto技巧对非结技巧对非结构化程序的影响。只要模型是超级归结，构化程序的影响。只要模型是超级归结， cut的的两面性是不可以解决的。两面性是不可以解决的。6.5 Prolog评价评价Prolog提供一种证明风格的声明式程序设计，提供一种证明风格的声明式程序设计， 推理清推理清晰，晰， 概括能力强，概括能力强， 程序和数据没有明显分离。程序和数据没有明显分离。Prolog程序具有自文档性程序具有自文档性由于非过程性，它也成为潜在的并行程序设计语言的由于非过程性，它也成为潜在的并行程序设计语言的候选者候选者它的效率仍不及传统过程语言。由于它的声明性质，它的效率仍不及传统过程语言。由于它的声明性质， 程序员在优化算法时作用有限程序员在优化算法时作用有限复杂的大型系统一开始很难按照证明系统开发，复杂的大型系统一开始很难按照证明系统开发， 程序程序不大运算量惊人不大运算量惊人 ， 而而Prolog本身也只有局部量，本身也只有局部量， 天生天生来也不是大型软件开发的工具。来也不是大型软件开发的工具。 因此，因此， Prolog只能作只能作为逻辑程序设计的独枝存在，为逻辑程序设计的独枝存在， 解决大型应用多范型语解决大型应用多范型语言是个出路言是个出路