第五章第五章 相似原理与量纲分析相似原理与量纲分析 流动相似相似准则 模型试验 量纲分析551 1 流动相似流动相似 几何相似运动相似动力相似初始条件和边界条件的相似原型：流体实际流动的实物。 模型：通常把原型（实物）按一定比例关系缩小（或放大）的代表物，称为模型。 模型试验：依据相似原理把流体流动原型按一定比例缩小制成模型，模拟与实际情况相似的流体进行观测和分析研究，然后将模型试验的成果换算和应用到原型中，分析判断原型的情况。 关键问题：模型流体和原型流体保持流动相似。 流动相似：两个流动的相应点上的同名物理量（如速度、压强、各种作用力等）具有各自的固定比例关系，则这两个流动就是相似的。 模型和原型保证流动相似，应满足： 几何相似运动相似 动力相似 初始条件和边界条件相似 一、几何相似一、几何相似几何相似是指原型与模型的外形相似，其各对应角相等，而且对应部分的线尺寸均成一定比例。 对应角相等p = m以角标p表示原型(prototype)，m表示模型(model)。 线性尺寸成比例 式中l长度比尺； lp原型某一部位长度； lm模型对应部位的长度。面积比尺 由上式可知，几何相似是通过长度比尺l来表示的。只要任一对应长度都维持固定的比尺关系l，就保证了流动的几何相似。体积比尺 二、运动相似二、运动相似 运动相似是指原型与模型两个流动的流速场和加速度场相似。要求两个流场中所有对应的速度和加速度的方向对应一致，大小都维持固定的比例关系。速度比尺时间比尺则加速度比尺 由上可知，运动相似是通过长度比尺l和时间比尺t来表示的。长度比尺已由几何相似定出。因此，运动相似就规定了时间比尺，只要对任一对应点的流速和加速度都维持固定的比尺关系，也就是固定了长度比尺l和时间比尺t，就保证了运动相似。 由于各相应点速度成比例，所以相应断面平均流速有同样的速度比尺，即 三、动力相似三、动力相似 动力相似是指原型与模型两个流动的力场几何相似。要求两个流场中所有对应点的各种作用力的方向对应一致，大小都维持固定比例关系。即式中Fp原型某点上的作用力； Fm模型对应点上的作用力。由牛顿第二定律：F = ma = V a则力的比尺为因为则 即上式可写成 上式说明，两个流动动力相似，它们的牛顿数相等；反之两个流动的牛顿数相等，则两个流动动力相似。 在相似原理中，两个动力相似流动中的无量纲数，如牛顿数，称为相似准数。动力相似条件（相似准数相等）称为相似准则。 无量纲数在相似原理中称为牛顿数Ne 四、初始条件和边界条件的相似 初始条件：适用于非恒定流。边界条件：有几何、运动和动力三个方面的因素。如固体边界上的法线流速为零，自由液面上的压强为大气压强等。 五、流动相似的含义 几何相似是运动相似和动力相似的前提与依据； 动力相似是决定两个流体运动相似的主导因素； 运动相似是几何相似和动力相似的表现；凡流动相似的流动，必是几何相似、运动相似和动力相似的流动。552 2 相似准则相似准则雷诺准则雷诺准则佛汝德准则佛汝德准则欧拉准则欧拉准则 5 52 2 相似准则相似准则 在模型实验中，只要使其中起主导作用外力满足相似条件，就能够基本上反映出流体的运动状态。 一、雷诺准则一、雷诺准则 作用在流体上的力主要是粘性力。 牛顿内摩擦定律 粘性力 粘性力比尺由于作用力仅考虑粘性力，F=T，即 于是 上式说明，若作用在流体上的力主要是粘性力时，两个流动动力相似，它们的雷诺数应相等。反之，两个流动的雷诺数相等，则这两个流动一定是在粘性力作用下动力相似。化简后或者 无量纲数即 雷诺数 上式说明，若作用在流体上主要是重力，两个流动动力相似，它们的佛汝德数相等，反之，两个流动的佛汝德数相等，则这两个流动一定是在重力作用下动力相似。 二、佛汝德准则二、佛汝德准则 作用在流体上的力主要是重力。即：重力 G = mg = Vg重力比尺由于作用力F中仅考虑重力G，因而F = G，即f = G于是化简得：或 无量纲量佛汝德数所以 上式说明，若作用在流体上的力主要是压力，两个流动动力相似，则它们的欧拉数应相等。反之，两个流动的欧拉数相等，则这两个流动一定是在压力作用下动力相似。 三、欧拉准则三、欧拉准则 作用在流体上的力主要是压力P P。即：压力 P = pA由于作用力F中只考虑压力P，因而F = P，即压力比尺于是可得化简得则 无量纲数欧拉数 所以553 3 模型试验模型试验模型律的选择模型律的选择模型设计模型设计 5 53 3 模型试验模型试验 模型的设计，首先要解决模型与原型各种比尺的选择问题，即所谓模型律的问题。 一、模型律的选择一、模型律的选择 在进行模型设计时，根据原型的物理量确定模型的量值，这就是模型律的选择，模型律的选择应依据相似准则来确定。 现在仅考虑粘性力与重力同时满足相似。由雷诺准则则（1）由佛汝德准则通常g = 1，则上式为（2） 要同时满足雷诺准则和佛汝德准则两个条件，式（1）和式（2）相等。即得： 要实现两流动相似，一是模型的流速应为原型流速的 倍；二是必须按 来选择运动粘度的比值，但通常这后一条件难于实现。 若模型与原型采用同一种介质，即 ，根据粘性力和重力的相似，由式（1）和式（2），有如下的条件： 显然，要同时满足以上两个条件，则 ,即模型不能缩小，失去了模型实验的价值。 从上述分析可见，一般情况下同时满足两个或两个以上作用力相似是难以实现的。 二、模型设计二、模型设计 模型设计首先定出长度比尺 ，再以选定的比尺 缩小（或放大）原型的几何尺度，得出模型流动的几何边界。通常，模型和原型采用同一种类流体，则 ，然后按所选用的相似准则确定相应的速度比尺，再按下式计算出模型流的流量： 按以上步骤，便可实现原型、模型流动在相应准则控制下的流动相似。或 例1：一桥墩长lp =24m，墩宽bp，水深hp，河中水流平均流速vp，两桥台的距离Bp=90m。取=50来设计水工模型试验，试求模型各几何尺寸和模型中的平均流速和流量。 水深 由给定的 = 50 直接计算 解：（1）模型的各几何尺寸 桥墩长 桥墩宽 桥台距离 （2）模型平均流速与流量 对一般水工建筑物的流动，起主要作用的是重力，所以模型试验只需满足佛汝德准则。即 所以 在此g g = 1 = 1，则 ，模型的流速为模型流量为因为由于 ，例2：汽车高hp，最大行速为108km/h，拟在风洞中测定其阻力。风洞的最大风速为45m/s，问模型的最小高度为多少？若模型中测得阻力为，试求原型汽车所受的阻力。解：（1）求模型的最小高度hm对于分析气体阻力问题，可按雷诺准则计算。雷诺准则为故 此处 ， ，（2）求原型汽车所受的阻力由在推导牛顿数得到的力的比尺为故 则554 4量纲分析量纲分析量纲和量纲和谐原理量纲和量纲和谐原理量纲分析法量纲分析法一、量纲一、量纲(dimension)和量纲和谐原理和量纲和谐原理 1、量纲 表示物理量的种类，称为这个物理量的量纲（或称因次）。同一物理量，可以用不同的单位来度量，但只有唯一的量纲。在物理量的代表符号前面加“dim”表示量纲，例如速度v的量纲表示为dim v。量纲可分为基本量纲和导出量纲。基本量纲必须具有独立性，不能从其它基本量纲推导出来，而且可以用它来参与表示其它各物理量的量纲。在流体力学中常用长度、时间、质量（L、T、M）作为基本量纲。由基本量纲推导出来的量纲，称导出量纲。它可用三个基本量纲的指数乘积形式来表示。对于任何一个物理量x，其量纲可写作（1）导出量纲速度dim v = LT-1加速度dim a = LT-2密度dim = M L-3力dim F = M L T-2压强dim p = M L-1 T-2 物理量x的性质可由量纲指数，来反映。如，有一个不为零，则x为有量纲量。如，均均为零，即dim x =L0 T0 M0 = 1,则称x为无量纲量，也称纯数。基本量与导出量适当组合可以组合成无量纲量。无量纲量有如下特点：量纲表达式中的指数均为零； 没有单位； 量值与所采用的单位制无关。 由于基本量是彼此互相独立的，故它们之间不能组成无量纲量。 2、无量纲量 量纲公式 问题1：运动粘度的量纲是：A.L/T2；B.L/T3C.L2/T；D.L3/T。问题2：速度v，长度l，重力加速度g 的无量纲集合是：A.B.C.D.问题3：速度v,密度,压强p 的无量纲集合是：A.B.C.D.(C)(D)(D) 3、量纲和谐 量纲和谐原理：一个完整正确的物理方程，不仅其等号两边的数值相等，而且其中各项的量纲也一定相同。 由于物理方程的量纲具有一致性，可以用任意一项去除方程两边，使方程每一项变为无量纲量，这样原方程就变为无量纲方程。例如，动能方程 量纲分析法就是应用量纲和量纲和谐来探求物理现象的函数关系，即建立物理方程的一种方法。可改写为又如，理想流体能量方程：也可改写成量纲和谐原理的重要性：一个方程在量纲上应是和谐的，所以可用来检验经验公式的正确性和完整性。量纲和谐原理可用来确定公式中物理量的指数。可用来建立物理方程式的结构形式。式中k无量纲数；k1，k2，k3，kn待定指数。设A、B、C为基本量纲，则各因素的量纲为 二、量纲分析法二、量纲分析法 1、瑞利法 某一物理现象，各物理量间的函数关系为式中x1、x2、x3、xn和y为影响物理现象的因素。 对上式进行量纲分析，以找出诸因素之间的数学表达式。上式可写成如下指数形式：(i = 1, 2, 3, ,n)dim y = AaBbCc 上式为量纲和谐方程组，解这个方程组便得到指数k1，k2，k3，kn的数值，但因方程组中的方程数只有三个，当待定指数kn中的指数个数n3时，则有（n3）个指数需要用其它指数值的函数来表示。量纲表达式 由量纲和谐原理可知，等号两边的基本量纲的指数必须一致，所以有 A： B： C： 例：根据观察、实验和理论分析，认为总流边界单位面积上的平均切应力0与流体密度、动力粘度、平均流速v、水力半径R以及固体表面凸出的平均高度有关。若令沿程阻力系数 ，可得 。 各物理量的量纲dim= M L-1 T-2 （dim F = M LT-2） dim=M L-3 dim=M L-1 T-1（的单位Ns/m2）dim v = L T-1 dim R = L dim = L 解：由已知条件有指数乘积式将上述指数代入原指数乘积式，得量纲表达式 量纲和谐方程组 M： 1 = k1 + k2 L: 1 = 3k1 k2 + k3 + k4 + k5 T: 2 = k2 k3以上方程组有五个未知数，三个方程。选定k3、k5为待定。联立解上述方程组得 k2 = 2 k3 k1 = k3 1 k4 = - 2 + k3 k5 瑞利法适用于比较简单的物理问题。 = 又则可得若令并代入上式得 2、定理其内容为：若物理方程f(x1，x2，xn) = 0，含有n 个物理量，其中涉及到m 个基本量纲，则这个物理方程可用（n m）个无量纲的项的关系式来表示，即 F（1，2，n-m）= 0因为这些无量纲量用表示，所以就把这个定理称为定理。它首先由布金汉提出，也称布金汉定理。 现以实例来具体说明定理的推演过程。设影响圆球在液体中运动的阻力FD与液体的密度和动力粘度，圆球直径d、相对速度v 等因素有关，则可得如下函数关系 FD = f(，v，d，)上式两边除以，得上式左边已无质量的量纲 M，由量纲和谐原理知，右边也必须无质量的量纲 M。上式可写成 （dim FD = M LT-2, dim= M L-1T-1）注：左边量纲：L4T-2进一步可使上式左边无时间量纲 T，两边除以v2得则 1 =f(2)或F(1，2) = 0上式说明n = 5个个变量利用m = 3个包含基本量纲量的乘除变换，消除m 个基本量纲，便得n m = 2 个无量纲的项。由量纲和谐原理，上式右边也无时间的量纲。则上式可写成同理，可使上式无长度量纲L，得上式中两边均为无量纲量，分别以1和2表示，即注：左边的量纲：L2 应用定理的两点说明：（1）m 个基本量纲是从 n 个物理量中选取 m 个基本物理量来代表的。一般取三个基本物理量，即m=3，要求这三个基本物理量不能组合成一个无量纲量。如用量纲公式表示基本物理量x1，x2，x3，则 三个基本物理量一般取几何长度、流速v、密度含有M、T及L量纲。因此，x1，x2，x3不不能能组合成无量纲量的条件是量纲公式中指数行列式不等于零。即 （2）项的组合除了三个基本物理量以外，每次轮换取一个物理量，组合而成。即式中ai、bi、ci各项的待定指数。这样一共可写出（n 3）个项，因为各项是无量纲量，dim = L0 T0 M0，因此，可由量纲和谐原理求出各项的指数值。 M： 0 = c1 + 1 L： 0 = a1 + b1 3c1 1 T： 0 = b1 1 例1：以上例为例，求FD的表达式。 解：函数关系 或取d、v、为基本物理量，它们不能组合成一个无量纲量。和FD为导出量，将它们分别与基本量进行适当组合。n = 5 , m = 3,n m = 2,有二个项。（1）（2）式（1）量纲表达式为比较两边的量纲，于是有式中CD阻力系数，CD = f3 (Re)。 A圆球与速度方向垂直的迎流投影面面积，m2解得a2 = 2， b2 = 2， c2 = 1。则代入F（1，2）= 0 得或（ ）故上式说明阻力等于某一系数乘v2d2，而该系数是Re的函数。通常（N）例2：实验观察与理论分析指出，恒定有压管流的压强损失p与管长l、直径d、管壁粗糙度、动力粘度、密度、流速v等因素有关。试用定理求出计算压强损失p的公式及沿程损失hf的公式。解：写出函数关系式其中 选取d、v、为基本量，上述七个物理量可组合成n m =7 3= 4个无量纲项，即1、2、3和5，且有关系式：解方程得： a1 = 2， b1 = 0， c1 = 1 a2 = 1， b2 = 1， c2 = 1 a3 = 0， b3 = 1， c3 = 0 a4 = 0， b4 = 1， c4 = 0量纲表达式为则原函数关系式可写成或 上式即为有压管流中计算压强损失的公式，如以沿程水头hf表示，则可写成由大量实验得知，p与管长l成正比，与管径d成反比，因此可从函数式中提出，上式可写成则令 ，称为沿程阻力系数。定理的解题步骤：1、选取参变量，写出函数关系；2、选取基本量；3、写出的表达式；4、列出指数指数方程；5、求解指数方程；6、代入表达式；7、组合、整理。 本章教学要求本章教学要求1、掌握几何、运动、动力相似的概念的量纲、无量纲量和量纲和谐概念。2、正确理解相似准则，重点掌握佛汝德和雷诺准则。3、掌握模型试验计算。4、掌握瑞利法和定理的分析方法。