October, 2004Operations of Continuous Functions1.9 连续函数的运算连续函数的运算October, 2004一、连续函数的四则运算一、连续函数的四则运算设函数设函数 f(x) 和和 g(x) 在点在点 x0 处连续，那么处连续，那么也在点也在点 x0 处连续。处连续。October, 2004证证所以所以在点在点 x0 处连续。处连续。October, 2004两个连续函数的和、差、积、商分母不两个连续函数的和、差、积、商分母不为零处仍为连续函数为零处仍为连续函数推论推论例如，例如， 由由 sinx 和和 cosx 的连续性，以下三的连续性，以下三角函数在其定义域内处处连续：角函数在其定义域内处处连续：October, 2004二、反函数和复合函数的连续性二、反函数和复合函数的连续性October, 2004反函数函数的连续性反函数函数的连续性设设 y = f(x) 在区间在区间 I = (a, b) 上单调且连续，则其上单调且连续，则其反函数反函数 x = f 1(y) 在区间在区间 J =f(I) 上单调且连续。上单调且连续。证明思路证明思路October, 2004以下三角函数在相应区间单调连续以下三角函数在相应区间单调连续October, 2004它们的反函数也在相应区间单调且连续它们的反函数也在相应区间单调且连续October, 2004plot(sin(x),x,x=-1.5.1.5,scaling=constrained,color=blue,thickness=4); plot(sin(x),x=-Pi/2.Pi/2,y=-1.1,scaling=constrained,color=blue,thickness=3);October, 2004with(plots):A:=plot(x,sin(x),x=-Pi/2.Pi/2,scaling=constrained,color=red,thickness=4):B:=plot(sin(x),x,x=-1.5.1.5,scaling=constrained,color=blue,thickness=4):display(A,B);October, 2004plot(cos(x),x,x=0.Pi,scaling=constrained,color=blue,thickness=4);plot(cos(x),x=0.Pi,y=-1.1,scaling=constrained,color=blue,thickness=3);October, 2004with(plots):A:=plot(x,cos(x),x=0.Pi,scaling=constrained,color=red,thickness=4):B:=plot(cos(x),x,x=0.Pi,scaling=constrained,color=blue,thickness=4):display(A,B);October, 2004 plot(tan(x),x,x=-1.4.1.4,scaling=constrained,color=blue,thickness=3);October, 2004二、复合函数的连续性二、复合函数的连续性设设 y = fg(x) 是由函数是由函数 y = f(u) 与与 u = g(x) 复合复合而成的复合函数。而成的复合函数。假设假设那么那么p. 48复合函数的极限：复合函数的极限：October, 2004设设 y = fg(x) 是由函数是由函数 y = f(u) 与与 u = g(x) 复合复合而成的复合函数。而成的复合函数。假设假设那么那么p. 48复合函数的极限：复合函数的极限：假设假设 f(u)在在u0处连续处连续稍加修改：稍加修改：那么那么定理定理 3October, 2004假设假设 f(u)在在u0处连续处连续那么那么定理定理 3极限运算极限运算lim与连续函数运算可以交换与连续函数运算可以交换October, 2004设函数设函数 u = g(x) 在点在点 x0 处连续，处连续， y = f(u) 在点在点u0 = g(x0) 处连续，则复合函数处连续，则复合函数 y = fg(x) 在在点点x0 处连续。处连续。推论：连续函数的复合函数仍为连续函数。推论：连续函数的复合函数仍为连续函数。定理定理 4October, 2004例例 内连续内连续在在在在内连续内连续在在内连续内连续例例 4在其定义域内处处连续在其定义域内处处连续October, 2004三、初等函数的连续性三、初等函数的连续性已经证明：已经证明：三角函数和反三角函数在其定义域内连续。三角函数和反三角函数在其定义域内连续。可以证明：指数函数可以证明：指数函数在其定义域在其定义域 内单调且连续。内单调且连续。 October, 2004 plot(exp(x),1/exp(x),x=-2.2,y=0.4,scaling=constrained,color=red,blue,thickness=3);October, 2004在其定义域在其定义域 内单调且连续。内单调且连续。 证明思路：证明思路：(1)用定义用定义 证明函数在证明函数在 x = 0 处连续：处连续： (2) 证明函数任意点在证明函数任意点在 x 处连续：处连续： 请有兴趣的同请有兴趣的同学去完成学去完成- 言言语语October, 2004(1)用定义用定义 (- 言语言语) 证明函数在证明函数在 x = 0 处连处连续：续： (2) 证明函数任意点在证明函数任意点在 x 处连续：处连续： October, 2004指数函数指数函数在其定义域在其定义域 内单调且连续。内单调且连续。 因此，指数函数的反函数因此，指数函数的反函数: 对数函数对数函数在其定义域在其定义域 内单调且连续。内单调且连续。 October, 2004 plot(ln(x),-ln(x),x=-0.2.4,y=-4.4,scaling=constrained,color=red,blue,thickness=3);October, 2004幂函数的连续性：幂函数的连续性：由由 y = ex 和和 y = lnx 的连续性，的连续性， y = x 延续延续 (x 0).可以证明：幂函数可以证明：幂函数 y = x 在其定义域内连续。在其定义域内连续。October, 2004基本初等函数的连续性：基本初等函数的连续性：基本初等函数在其定义域内连续。基本初等函数在其定义域内连续。初等函数的连续性：初等函数的连续性：由连续函数的四则运算及复合运算性质可知：由连续函数的四则运算及复合运算性质可知：定义区间：定义域内的区间。定义区间：定义域内的区间。注：有的初等函数的定义域不能构成区间，注：有的初等函数的定义域不能构成区间，连续性无从谈起。连续性无从谈起。一切初等函数在其定义区间内都是连续的。一切初等函数在其定义区间内都是连续的。如：如：的定义域？的定义域？October, 2004一切初等函数在其定义区间内都是连续的。一切初等函数在其定义区间内都是连续的。在其定义域内处处连续。在其定义域内处处连续。其间断点为无定义的点：其间断点为无定义的点：x = 0函数的连续区间：函数的连续区间：和和初等函数的间断点：一般为分母为零的点初等函数的间断点：一般为分母为零的点October, 2004例例 讨论函数的连续性，若有间断点，判别讨论函数的连续性，若有间断点，判别其类型：其类型： 解解 间断点：间断点： 连续区间：连续区间： October, 2004间断点：间断点： x = 1为第一类间断点可去间断点）为第一类间断点可去间断点）October, 2004间断点：间断点： x = -2为第二类间断点无穷间断点）为第二类间断点无穷间断点）October, 2004with(plots):f(x):=(x-1)*(x+1)/(x-1)*(x+2):A:=plot(f(x),x=-5.-2.05,y=-4.10):B:=plot(f(x),x=-1.95.0.9):C:=plot(f(x),x=1.1.4):display(A,B,C,scaling=constrained,thickness=3,tickmarks=10,10);October, 2004利用函数的连续性求极限利用函数的连续性求极限若函数若函数 f(x) 在点在点 x = x0 处连续，则极限处连续，则极限代入即可代入即可若外函数函数若外函数函数 f(x) 延续，则极限延续，则极限极限可以取进去！极限可以取进去！October, 2004课内练习课内练习 求求October, 2004例例 6October, 2004October, 2004例例 7自学自学October, 2004幂指函数的极限幂指函数的极限（1确定型确定型 p.68设设那么那么证证October, 2004例例 8