第2课时 等差数列的性质1.1.理解等差数列、等差中项的概念，会用定义判定一个数理解等差数列、等差中项的概念，会用定义判定一个数 列是否是等差数列；列是否是等差数列；( (重点）重点）2.2.进一步加深对等差数列通项公式的理解、认识和应用；进一步加深对等差数列通项公式的理解、认识和应用；（难点）（难点）3.3.掌握等差数列的有关性质掌握等差数列的有关性质答：答：成立成立思考：思考：在上述两个数列中，首项和公差各是多少？在上述两个数列中，首项和公差各是多少？例例1 1 某市出租车的计价标准为某市出租车的计价标准为1.21.2元元/km/km，起步价为，起步价为1010元，元，即最初的即最初的4 km4 km（不含（不含4 4千米）计费千米）计费1010元元. .如果某人乘坐该如果某人乘坐该市的出租车去往市的出租车去往14 km14 km处的目的地，且一路畅通，等候时处的目的地，且一路畅通，等候时间为间为0 0，需要支付多少车费，需要支付多少车费? ?变式训练变式训练：梯子的最高一级宽：梯子的最高一级宽33 cm33 cm，最低一级宽，最低一级宽110 cm110 cm，中间，中间还有还有1010级，各级的宽度成等差数列，计算中间各级的宽级，各级的宽度成等差数列，计算中间各级的宽. .解解: : 由题意知，建立一个等差数列由题意知，建立一个等差数列aan n 来计算中间各级来计算中间各级的宽，由已知条件，有的宽，由已知条件，有a a1 1=33,a=33,a1212=110=110，n=12 , n=12 , 又又a a1212=a=a1 1+(12+(12- -1)d1)d，即即110110333311d11d，所以，所以 d=7d=7， 因此，因此，a a2 2=33+7=40=33+7=40，a a3 3=40+7=47=40+7=47， ，a a1111=96+7=103.=96+7=103.答：梯子中间各级的宽从上到下依次是答：梯子中间各级的宽从上到下依次是40 cm40 cm、47 cm47 cm、54 cm54 cm、61 cm61 cm、68 cm68 cm、75 cm75 cm、82 cm82 cm、89 cm89 cm、96 cm96 cm、103 cm.103 cm.证明等差数列的方法：证明等差数列的方法：1.1.利用定义利用定义; ;2.2.利用等差中项的性质利用等差中项的性质; ;3.3.利用通项公式是一次函数的性质利用通项公式是一次函数的性质. .例例4 4 在等差数列在等差数列aan n 中，中，(1)(1)已知已知 a a6 6+a+a9 9+a+a1212+a+a1515=20=20，求，求a a1 1+a+a2020. .(2)(2)已知已知a a3 3+a+a1111=10=10，求，求a a6 6+a+a7 7+a+a8 8. .解：解：由由a a1 1+a+a20 20 =a=a6 6+a+a1515= a= a9 9+a+a12 12 及及a a6 6+a+a9 9+a+a1212+a+a1515=20=20，可得，可得a a1 1+a+a2020=10.=10.解：解：a a3 3+a+a11 11 =a=a6 6+a+a8 8 =2a=2a7 7 ，又又a a3 3+a+a1111=10=10， a a6 6+a+a7 7+a+a8 8= = （a a3 3+a+a1111）=15.=15.熟记性质熟记性质(3)(3)已知已知 a a4 4+a+a5 5+a+a6 6+a+a7 7=56=56，a a4 4a a7 7=187=187，求，求a a1414及公差及公差d.d.解解: :a a4 4+a+a5 5+a+a6 6+a+a7 7=56=56，aa4 4+a+a7 7=28=28， 又又a a4 4a a7 7=187=187， 联立联立解得解得a a4 4=17=17，a a7 7=11=11， a a4 4=11=11，a a7 7=17=17， 或或d= -2d= -2或或2, 2, 从而从而a a1414= -3= -3或或31.31.1.1.等差数列等差数列aan n 的前三项依次为的前三项依次为a-6a-6，2a-52a-5，-3a+2-3a+2，则，则 a a等于（等于（ ) )A. -1 B. 1 C.-2 D. 2A. -1 B. 1 C.-2 D. 2B B2(2a-5)=(-3a+2) +(a-6).2(2a-5)=(-3a+2) +(a-6).提示提示: :2. 2. （20122012 福建高考）等差数列福建高考）等差数列aan n 中，中， 则则数列数列aan n 的公差为（的公差为（ ) )A A1 1B B2 2C C3 3D D4 4B B提示提示: :4. 4. 在等差数列在等差数列aan n 中中, ,(1)(1)若若a a5959=70=70，a a8080=112=112，求，求a a101101；(2)(2)若若a ap p= q= q，a aq q= p ( pq )= p ( pq )，求，求a ap+qp+q. .d=2,d=2,a a101101=154=154d=-1,d=-1,a ap+qp+q =0=03.3.在数列在数列aan n 中中a a1 1=1=1，a an n= a= an+1n+1+4+4，则，则a a1010=_. =_. 提示：提示： d=ad=an+1n+1-a-an n=-4.=-4.-35-35（一）等差数列的基本性质（一）等差数列的基本性质1.1.在等差数列在等差数列aan n 中，若中，若m+n=p+qm+n=p+q，则，则a am m+a+an n=a=ap p+a+aq q.(m,n,p,qN.(m,n,p,qN* *) )2.2.等差中项：如果等差中项：如果a a，A A，b b成等差数列，那么成等差数列，那么A A叫做叫做a a与与b b的等差中项的等差中项. .3.3.等差数列中项数成等差数列的项构成等差数列等差数列中项数成等差数列的项构成等差数列. .4.4.两个等差数列两个等差数列aan n,b,bn n 的和、差还是等差数列的和、差还是等差数列, ,即即aan nb bn n 也是等差数列，也是等差数列，papan n 、aan n+c+c也是等差数列也是等差数列. .（二）等差数列的证明（二）等差数列的证明1.1.利用定义利用定义; ;2.2.利用等差中项的性质利用等差中项的性质; ;3.3.利用通项公式是一次函数的性质利用通项公式是一次函数的性质. .要追求真理，认识真理，更要依赖真理，这是人性中的最高品德。 培根