第六讲 三角形（二） 复习用三角形全等的判定定理来解决有关的复习用三角形全等的判定定理来解决有关的证明和计算问题，回顾运用三角形全等的三个判证明和计算问题，回顾运用三角形全等的三个判定定理来证明三角形全等定定理来证明三角形全等.一. 复习目标1全等三角形及其性质：全等三角形及其性质：对应边相等对应边相等,对应角相等的两个三角形全等；对应角相等的两个三角形全等； 全等三角形的对应边相等全等三角形的对应边相等,对应角相等对应角相等.2. 三角形全等的判定；三角形全等的判定；(SAS)、(ASA)、(AAS)、(SSS)、(HL). 二.知识要点例例1 如图，已知如图，已知AB BC，DC BC，E在在BC上，上，AEAD，ABBC.求证：求证：CECD.分析：作分析：作AF CD的延长线，垂足的延长线，垂足F，构造三角形，构造三角形全等来证明全等来证明.三.典型例题证明：作证明：作AFCD的延长线，垂足为的延长线，垂足为F， ABBC，DCBC，ABBC 四边形四边形ABCF是正方形是正方形 AF=AB，又，又 AEAD ABEAFE BE=DF CECD.FEDCBA例例2 如图，已知在如图，已知在 ABC中，中， C2 B， 1 2，求证：，求证：ABACCD.解析：采用截长补短法，延长解析：采用截长补短法，延长AC至至E，使，使AEAB，连结，连结DE；也可在；也可在AB上截取上截取AEAC，再证明，再证明EBCD.三.典型例题BC21DEA例例3 阅读下题：如图，阅读下题：如图，P是是 ABC中中BC边上一点，边上一点，E是是AP上的一点，若上的一点，若EBEC， 1 2，求证：，求证：AP BC.证明：在证明：在 ABE和和 ACE中，中，EBEC，AEAE， 1 2 ABEACE（第一步）（第一步） ABAC， 3 4（第二步）（第二步） AP BC（等腰三角形三线合一）（等腰三角形三线合一）上面的证明过程是否确？若正确，请上面的证明过程是否确？若正确，请写出每一步的推理依据；若不正确，请写出每一步的推理依据；若不正确，请指出关键错在哪一步，并写出你认为正指出关键错在哪一步，并写出你认为正确的证明过程确的证明过程.三.典型例题A4E321CBA略解：不正确，错在第一步略解：不正确，错在第一步.正确证法为：正确证法为： BECEEBC ECB 又又1 2ABC ACB，ABACABEACE（SAS）3 4 又又 ABAC AP BC.三.典型例题例例4 众所周知，只有两边和一角对应相等的两众所周知，只有两边和一角对应相等的两个三角形不一定全等，你能想办法安排和外理个三角形不一定全等，你能想办法安排和外理这三个条件，使这两个三角形全等吗？这三个条件，使这两个三角形全等吗？请同学们参照下面的方案（请同学们参照下面的方案（1）导出方案）导出方案（2）（）（3）（）（4）.解：设有两边和一角对应相等的两个三角形，解：设有两边和一角对应相等的两个三角形，方案（方案（1）：若这个角的对边恰好是这两边中的）：若这个角的对边恰好是这两边中的大边，则这两个三角形全等大边，则这两个三角形全等.方案（方案（2）：若这）：若这个角是直角，则这两个三角形全等个角是直角，则这两个三角形全等.方案（方案（3）：）：若此角为已知两边的夹角，则这两个三角形全若此角为已知两边的夹角，则这两个三角形全等等.三.典型例题一、填空题：一、填空题：1.若若 ABCEFG，且，且 B60， FGE E56，则，则 A 度度.2.如图，如图，AB EF DC， ABC90，ABDC，那么图中，那么图中有全等三角形有全等三角形 对对.3.如图，在如图，在 ABC中，中， C90，BC40，AD是是 BAC的平分线交的平分线交BC于于D，且，且DC DB3 5，则点，则点D到到AB的距离的距离是是 .四.能力训练FDCABEDCBA 4.如图，在如图，在 ABC中，中，AD BC，CE AB，垂足分别为，垂足分别为D、E，AD、CE交于点交于点H，请你添加一个适当的条件：，请你添加一个适当的条件： ，使，使 AEHCEB. 5.如图，把一张矩形纸片如图，把一张矩形纸片ABCD沿沿BD对折，使对折，使C点落在点落在E处，处，BE与与AD相交于点相交于点O，写出一组相等的线段，写出一组相等的线段 （不包括（不包括ABCD和和ADBC）.四.能力训练HEDCBAOEDCBA 6.如图，如图， E F90， B C，AEAF.给出下列结论：给出下列结论：1 2；BECF；ACNABM；CDDN.其中正确的结其中正确的结论是论是 （填序号）（填序号）.四.能力训练DAEFNMCB21二、二、 选择题选择题 1.如图，如图，AD AB，EA AC，AEAD，ABAC，则，则下列结论中正确的是（下列结论中正确的是（ ） A、 ADFAEG B、 ABEACD C、 BMFCNG D、 ADCABE四.能力训练BCGFADEM 2.如图，如图，AEAF，ABAC，EC与与BF交于点交于点O， A60， B25，则，则 EOB的度数为（的度数为（ ） A、60 B、70 C、75 D、853.如果两个三角形的两边和其中一边上的高分别对应相等，如果两个三角形的两边和其中一边上的高分别对应相等，那么这两个三角形的第三边所对的角（那么这两个三角形的第三边所对的角（ ） A、相等、相等 B、不相等、不相等 C、互余、互余 D、互补或相、互补或相等等四.能力训练FEOCBA 4.如图，在如图，在 ABC中，中，AD是是 A的外角平分线，的外角平分线，P是是AD上上异于异于A的任意一点，设的任意一点，设PBm，PCn，ABc，ACb，则，则(m+n)与与(b+c)的大小关系是（的大小关系是（ ） A、m+nb+c B、m+nb+c C、m+nb+c D、无法确定、无法确定四.能力训练PDCBA三、解答题：三、解答题：1.如图，如图， 1 2， 3 4，ECAD. 求证：求证： ABE和和 BDC是等腰三角形是等腰三角形.四.能力训练A2143BDCE 2.如图，如图，ABAE， ABC AED，BCED，点，点F是是CD的中点的中点.（1）求证：）求证：AF CD；（2）在你连结）在你连结BE后，还能得出什么新结论？后，还能得出什么新结论？请再写出两个请再写出两个.四.能力训练DEDCBA 3.（1）已知，在）已知，在 ABC和和 DEF中，中，ABDE，BCEF， BAC EDF100，求证：，求证： ABCDEF； （2）上问中，若将条件改为）上问中，若将条件改为ABDE，BCEF， BAC EDF70，结论是否还成立，结论是否还成立，为什么？为什么？四.能力训练 4.如图，已知如图，已知 MON的边的边OM上有两点上有两点A、B，边，边ON上有两点上有两点C、D，且，且ABCD，P为为 MON的平分线上的平分线上一点一点.问：问：（1） ABP与与 PCD是否全等？请说明理由是否全等？请说明理由.（2） ABP与与 PCD的面积是否相等？请说明理由的面积是否相等？请说明理由.四.能力训练ONPMBACD 5.如图，已知如图，已知CE AB，DF AB，点，点E、F分别为垂足，分别为垂足，且且AC BD.（1）根据所给条件，指出）根据所给条件，指出 ACE和和 BDF具有什么关系具有什么关系？请你对结论予以证明？请你对结论予以证明.（2）若）若 ACE和和 BDF不全等，请你补充一个条件，使不全等，请你补充一个条件，使得两个三角形全等，并给予证明得两个三角形全等，并给予证明.四.能力训练DBCFEA一、填空题：一、填空题：1.32；2.3；3.15；4.AHBC或或EAEC或或EHEB等；等；5.DCDE或或BCBE或或OAOE等；等；6.二、选择题：二、选择题：BBDA三、解答题：三、解答题：1.略；略；2.（1）略；（）略；（2）AF BE，AF平分平分BE等；等；3.（1）略；（）略；（2）不成立，举一反例即能说明；）不成立，举一反例即能说明；五.参考答案 4.（1）不一定全等，因）不一定全等，因 ABP与与 PCD中，只中，只有有ABCD，而其它角和边都有可能不相等，故，而其它角和边都有可能不相等，故两三角形不一定全等两三角形不一定全等.（2）面积相等，因为）面积相等，因为OP为为 MON平分线上一点，故平分线上一点，故P到边到边AB、CD上的上的距离相等，即距离相等，即 ABP中中AB边上的高与边上的高与 PCD中中CD边上的高相等，又根据边上的高相等，又根据ABCD（即底边也（即底边也相等）从而相等）从而 ABP与与 PCD的面积相等的面积相等.5.（1） ACE和和 BDF的对应角相等；（的对应角相等；（2）略）略五.参考答案