精 品 数 学 课 件2020 学 年 浙 教 版第第2 2章章 一元二次方程一元二次方程2.2 2.2 一元二次方程的解法（第一元二次方程的解法（第4 4课时）课时） 用公式法解一元二次方程用公式法解一元二次方程例例1 1 用公式法解下列方程：用公式法解下列方程：（1 1） x x2 2- - x-1=0x-1=0； （2 2）( (x-2x-2)()(3x-53x-5) )=1.=1.分析：要求使用公式法解一元二次方程，关键要分析：要求使用公式法解一元二次方程，关键要把方程化为一般形式，弄清把方程化为一般形式，弄清a a，b b，c c的值的值. . 第第（1 1）小题为了计算方便可先把系数化为整数，然）小题为了计算方便可先把系数化为整数，然后再找出后再找出a a，b b，c c的值；第（的值；第（2 2）小题需先把方程）小题需先把方程化为一般形式后，再求解化为一般形式后，再求解. .解：（解：（1 1）方程两边同乘）方程两边同乘5 5，得，得2x2x2 2-x-5=0.-x-5=0. a=2a=2，b=-1b=-1，c=-5c=-5，b b2 2-4ac=-4ac=( (-1-1) )2 2-4-42 2( (-5-5) )=41.=41. x=x= ，x x1 1= = ，x x2 2= = ；（2 2）方程可化为）方程可化为3x3x2 2-11x+9=0. -11x+9=0. a=3a=3，b=-11b=-11，c=9c=9，b b2 2-4ac=-4ac=( (-11-11) )2 2-4-43 39=13. 9=13. x= x= ，x x1 1= = ，x x2 2= = . .注意点：用公式法解一元二次方程的关键是先弄注意点：用公式法解一元二次方程的关键是先弄清方程中的清方程中的a a，b b，c c的值，当系数不是整数时，的值，当系数不是整数时，要先把系数化为整数，可使计算变得简单要先把系数化为整数，可使计算变得简单. . 当原当原方程不是一般形式时，先要把它化为一般形式方程不是一般形式时，先要把它化为一般形式. .变式：用公式法解下列方程：变式：用公式法解下列方程：（1 1）x x2 2-2x-8=0-2x-8=0； （2 2）x x2 2+2x-4=0+2x-4=0；（3 3）2x2x2 2-3x-2=0-3x-2=0； （4 4）3x3x( (3x-23x-2) )+1=0.+1=0.答案：（答案：（1 1）x x1 1=4=4，x x2 2=-2=-2； （2 2）x x1 1=-1+=-1+ ，x x2 2=-1-=-1- ；（3 3）x x1 1=2=2，x x2 2=- =- ； （4 4）x x1 1=x=x2 2= = . . 一元二次方程的根的判别式一元二次方程的根的判别式例例2 2 （1 1）下列关于）下列关于x x的一元二次方程中，有两的一元二次方程中，有两个不相等的实数根的方程是（个不相等的实数根的方程是（ ） A. x A. x2 2+1=0+1=0 B. 9x B. 9x2 2-6x+1=0-6x+1=0 C. x C. x2 2-x+2=0-x+2=0 D. x D. x2 2-2x-2=0-2x-2=0（2 2）已知关于）已知关于x x的方程的方程x x2 2-2-2( (k-3k-3) )x+kx+k2 2-4k-1=0.-4k-1=0.若这个方程有实数根，求若这个方程有实数根，求k k的取值范围；的取值范围；若这个方程有一个根为若这个方程有一个根为1 1，求，求k k的值的值. .分析：（分析：（1 1）根据根的判别式，若方程有两个不相）根据根的判别式，若方程有两个不相等的实数根，则等的实数根，则b b2 2-4ac-4ac0 0，代入值判断即可；，代入值判断即可；（2 2）若这个方程有实数根，则）若这个方程有实数根，则b b2 2-4ac-4ac0 0；若这；若这个方程有一个根为个方程有一个根为1 1，可将，可将x=1x=1代入方程求代入方程求k k的值的值. .解：（解：（1 1）D D （2 2）由题意，由题意，得得b b2 2-4ac=-2-4ac=-2( (k-3k-3) ) 2 2-4-4( (k k2 2-4k-1-4k-1)0 0，化简，化简，得得-k+5-k+50. 0. 解得解得k k5. 5. k k的取值范围是的取值范围是k k5.5.将将x=1x=1代入方程，得代入方程，得k k2 2-6k+6=0. -6k+6=0. 解这个方程，解这个方程，得得k k1 1=3-=3- ，k k2 2=3+=3+ . .注意点：根据方程根的情况求字母系数的取值范注意点：根据方程根的情况求字母系数的取值范围，一般是利用判别式关于字母系数的不等式，围，一般是利用判别式关于字母系数的不等式，解不等式求得范围解不等式求得范围. .变式：若一元二次方程变式：若一元二次方程x x2 2+2x+m=0+2x+m=0有实数解，则有实数解，则m m的的取值范围是（取值范围是（ ） A. m A. m-1-1 B. m B. m1 1 C. m C. m4 4 D. m D. m 答案：答案：B B 选择合适的方法解一元二次方程选择合适的方法解一元二次方程例例3 3 用适当的方法解下列方程：用适当的方法解下列方程：（1 1）3x+15=-2x3x+15=-2x2 2-10x-10x； （2 2）2x2x2 2-12x+9=0.-12x+9=0.分析：方程（分析：方程（1 1）可用因式分解法，方程（）可用因式分解法，方程（2 2）可用公式法可用公式法. .解：（解：（1 1）3x+15=-2x3x+15=-2x2 2-10x. -10x. 移项，移项，得得3x+15+3x+15+( (2x2x2 2+10x+10x) )=0. =0. 因式分解，因式分解，得得3 3( (x+5x+5) )+2x+2x( (x+5x+5) )=0=0，即，即( (x+5x+5)()(3+2x3+2x) )=0. =0. 于是，得于是，得x+5=0x+5=0，或，或3+2x=0. 3+2x=0. x x1 1=-5=-5，x x2 2=-=- . .（2 2）2x2x2 2-12x+9=0. -12x+9=0. a=2a=2，b=-12b=-12，c=9c=9，b b2 2-4ac=-4ac=( (-12-12) )2 2-4-42 29=729=72，x=x= ，x x1 1=3+=3+ ，x x2 2=3-=3- . .注意点：解一元二次方程考虑所用方法的一般顺注意点：解一元二次方程考虑所用方法的一般顺序是：先直接开平方法，再因式分解法，然后考序是：先直接开平方法，再因式分解法，然后考虑配方法或公式法虑配方法或公式法. . 对于形如对于形如x x2 2=p=p或或( (mx+nmx+n) )2 2=p=p（p p0 0）的方程，我们通常采用直接开）的方程，我们通常采用直接开平方法；对于一边是平方法；对于一边是0 0，另一边易于分解成两个一，另一边易于分解成两个一次式乘积的一元二次方程，我们通常采用因式分次式乘积的一元二次方程，我们通常采用因式分解法解法. . 配方法和公式法适合解所有的一元二次方配方法和公式法适合解所有的一元二次方程程. .变式：用适当的方法解下列方程（直接写出方变式：用适当的方法解下列方程（直接写出方程的解和求解方程的方法）：程的解和求解方程的方法）： （1 1）12x12x2 2- - =0=0； （2 2）x x2 2-2x-4=0-2x-4=0；（3 3）5x5x2 2=9x+2=9x+2； （4 4）5x5x2 2+2x=0.+2x=0.答案：（答案：（1 1）x x1 1= = ，x x2 2=-=- . . （开平方法）（开平方法）（2 2）x x1 1=1+=1+ ，x x2 2=1-=1- . . （配方法）（配方法）（3 3）x x1 1=2=2，x x2 2=-=- . . （公式法）（公式法）（4 4）x x1 1=0=0，x x2 2=-=- . . （因式分解法）（因式分解法）一元二次方程根的判别式的应用一元二次方程根的判别式的应用例例4 4 若若a a，b b，c c是是ABCABC的三边长，且关于的三边长，且关于x x的的方程方程a a( (x x2 2-1-1) )-2cx+b-2cx+b( (x x2 2+1+1) )=0=0有两个相等的实数有两个相等的实数根，试判断此三角形的形状根，试判断此三角形的形状. .分析：应用一元二次方程根的判别式的性质确定三角形的三边a，b，c的关系.解：整理方程，得解：整理方程，得( (a+ba+b) )x x2 2-2cx+-2cx+( (b-ab-a) )=0.=0. 方程有两个相等的实数根，方程有两个相等的实数根， =0 =0，即即( (-2c-2c) )2 2-4-4( (a+ba+b)()(b-ab-a) )=0=0，整理，得，整理，得c c2 2+a+a2 2-b-b2 2=0=0，即，即c c2 2+a+a2 2=b=b2 2. . 以以a a，b b，c c为边长的为边长的ABCABC是直角三角形是直角三角形. .注意点：一般来说，让我们判定三角形的形状，注意点：一般来说，让我们判定三角形的形状，那么这个三角形一般会是特殊三角形那么这个三角形一般会是特殊三角形. . 如果是从如果是从三角形的边出发，那么这个三角形要么是等腰三三角形的边出发，那么这个三角形要么是等腰三角形，要么是等边三角形，当然也有可能推出角形，要么是等边三角形，当然也有可能推出 = =( (a a2 2+b+b2 2-c-c2 2) )2 2=0=0这种结论，得到这种结论，得到a a2 2+b+b2 2=c=c2 2，那它，那它就是直角三角形就是直角三角形. .例例1 1 不解方程，判断方程的根的情况不解方程，判断方程的根的情况4x4x2 2-3x+1=2.-3x+1=2.错因：使用根的判别式时，必须先将方程整理求错因：使用根的判别式时，必须先将方程整理求axax2 2+bx+c=0+bx+c=0（a a0 0）的形式）的形式. .正答：整理，得正答：整理，得4x4x2 2-3x-1=0. -3x-1=0. a=4a=4，b=-3b=-3，c=-1c=-1，b b2 2-4ac=-4ac=( (-3-3) )2 2-4-44 4( (-1-1) )=9+16=25=9+16=250. 0. 原方程有两个不相等的实数根原方程有两个不相等的实数根. .错答：错答：a=4a=4，b=-3b=-3，c=1c=1，b b2 2-4ac=(-3-4ac=(-3) )2 2-4-44 41=9-16=-71=9-16=-70. 0. 原方程没有实数根原方程没有实数根. .错答：错答：方程有实数根，方程有实数根，b b2 2-4ac=-4ac= -4-4（k-1k-1）3 30 0，解得，解得k k . . k-1k-10 0，解得，解得k k1. 1. k k的取值范围是的取值范围是k k 且且k k1.1.例例2 2 已知关于已知关于x x的方程的方程( (k-1k-1) )x x2 2+ + x+3=0x+3=0有实数有实数根，求根，求k k的取值范围的取值范围. .正答：正答：方程有实数根，方程有实数根，b b2 2-4ac= -4-4ac= -4（k-1k-1）3 30. 0. 解得解得k k ，又又 是二次根式，则是二次根式，则2k2k0 0，解得，解得k k0 0，k k的取值范围是的取值范围是0 0k k . .错因：一元二次方程的解题中考虑错因：一元二次方程的解题中考虑b b2 2-4ac-4ac0 0及及k-1k-10 0是必要的，但本题忽视了两点：一是方程可是必要的，但本题忽视了两点：一是方程可能是一元一次方程也可能是一元二次方程，题中未能是一元一次方程也可能是一元二次方程，题中未明确是一元二次方程，因此应有明确是一元二次方程，因此应有k-1=0k-1=0；二是忽视；二是忽视了隐含条件了隐含条件2k2k0.0.