理数课标版第三节函数的奇偶性与周期性1.函数的奇偶性函数的奇偶性教材研读教材研读奇偶性定义图象特点偶函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有f(-x)=f(x),那么函数f(x)是偶函数关于y轴对称奇函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有f(-x)=-f(x),那么函数f(x)是奇函数关于原点对称2.奇奇(偶偶)函数的性质函数的性质(1)奇(偶)函数的定义域关于原点对称.(2)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同,偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反.(3)在相同定义域内,(i)两个奇函数的和是奇函数,两个奇函数的积是偶函数.(ii)两个偶函数的和、积都是偶函数.(iii)一个奇函数,一个偶函数的积是奇函数.(4)若函数f(x)是奇函数且在x=0处有定义,则f(0)=0.3.周期性周期性(1)周期函数:对于函数y=f(x),如果存在一个非零常数T,使得当x取定义域内的任何值时,都有f(x+T) =f(x),那么就称函数y=f(x)为周期函数,称T为这个函数的周期.(2)最小正周期:如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期.判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)函数y=x2,x(0,+)是偶函数.()(2)偶函数图象不一定过原点,奇函数的图象一定过原点.()(3)如果函数f(x),g(x)为定义域相同的偶函数,则F(x)=f(x)+g(x)是偶函数.()(4)若函数y=f(x+a)是偶函数,则函数y=f(x)关于直线x=a对称.()1.(2015广东,3,5分)下列函数中,既不是奇函数,也不是偶函数的是()A.y=B.y=x+C.y=2x+D.y=x+ex答案答案D易知y=与y=2x+是偶函数,y=x+是奇函数,故选D.2.已知函数f(x)为奇函数,且当x0时,f(x)=x2+,则f(-1)=()A.-2B.0C.1D.2答案答案A因为函数f(x)为奇函数,所以f(-1)=-f(1)=-2.故选A.3.已知f(x)=ax2+bx是定义在a-1,2a上的偶函数,那么a+b的值是()A.- B.C. D.-答案答案B依题意知b=0,2a=-(a-1),a=,则a+b=.4.若f(x)=(x+a)(x-4)为偶函数,则实数a=.答案答案4解析解析f(x)为偶函数,f(-x)=f(x),f(x)=x2-4x+ax-4a,f(-x)=x2+4x-ax-4a,-4+a=4-a,a=4.5.(2016四川,14,5分)若函数f(x)是定义在R上的周期为2的奇函数,当0x1时,f(x)=4x,则f+f(2)=.答案答案-2解析解析f(x)是定义在R上的奇函数,f(0)=0,又f(x)的周期为2,f(2)=0,又f=f=-f=-=-2,f+f(2)=-2.考点一函数的周期性考点一函数的周期性典例典例1(1)(2014安徽,14,5分)若函数f(x)(xR)是周期为4的奇函数,且在0,2上的解析式为f(x)=则f+f=.(2)(2016江苏,11,5分)设f(x)是定义在R上且周期为2的函数,在区间-1,1)上,f(x)=其中aR.若f=f,则f(5a)的值是.考点突破考点突破答案答案(1)(2)-解析解析(1)依题意得f=f=f=-f=-=-,f=f=f=-f=-sin=sin=,因此,f+f=-+=.(2)f(x)是周期为2的函数,f=f=f,f=f=f,又f=f,f=f,即-+a=,解得a=,则f(5a)=f(3)=f(4-1)=f(-1)=-1+=-.方法技巧方法技巧判断函数周期性的几个常用结论若对于函数f(x)定义域内的任意一个x都有:(1)f(x+a)=-f(x)(a0),则函数f(x)必为周期函数,2|a|是它的周期;(2)f(x+a)=(a0,f(x)0),则函数f(x)必为周期函数,2|a|是它的周期;(3)f(x+a)=-(a0,f(x)0),则函数f(x)必为周期函数,2|a|是它的周期.1-1若f(x)是R上周期为5的奇函数,且满足f(1)=1,f(2)=2,则f(3)-f(4)等于()A.-1B.1C.-2D.2答案答案A由f(x)是R上周期为5的奇函数,知f(3)=f(-2)=-f(2)=-2,f(4)=f(-1)=-f(1)=-1,f(3)-f(4)=-1,故选A.1-2已知f(x)是定义在R上的偶函数,并且满足f(x+2)=,当2x3时,f(x)=x,则f(105.5)=.答案答案解析解析由f(x+2)=得f(x+4)=f(x+2)+2=f(x),f(x)是以4为周期的周期函数.f(105.5)=f(264+1.5)=f(1.5)=f(-2.5+4)=f(-2.5).f(x)为偶函数,且当2x3时,f(x)=x,f(105.5)=f(2.5)=.考点二判断函数的奇偶性考点二判断函数的奇偶性典例典例2判断下列函数的奇偶性:(1)f(x)=+;(2)f(x)=3x-3-x;(3)f(x)=;(4)f(x)=解析解析(1)由得x=1,f(x)的定义域为-1,1.又f(1)+f(-1)=0,f(1)-f(-1)=0,f(x)=f(-x).f(x)既是奇函数又是偶函数.(2)f(x)的定义域为R,f(-x)=3-x-3x=-(3x-3-x)=-f(x),所以f(x)为奇函数.(3)由得-2x2且x0,f(x)的定义域为-2,0)(0,2,f(x)=,f(-x)=-f(x),f(x)是奇函数.(4)由题意知函数的定义域为(-,0)(0,+),当x0,此时f(-x)=x2-x=f(x);当x0时,-x0,且a1);f(x)=其中是奇函数的为.(只填序号)答案答案解析解析由于f(x)=x2-|x|+1,x-1,4的定义域不是关于原点对称的区间,因此,f(x)是非奇非偶函数.f(x)的定义域为(-2,2),f(-x)=ln=-ln=-f(x),所以函数f(x)为奇函数.因为f(x)的定义域为x|xR,且x0,并且有f(-x)=+=+=+=-+=-1+=-=-f(x),所以f(x)为奇函数.f(x)的定义域为R,当x0时,f(-x)=-(-x)2-2=-(x2+2)=-f(x);当xf(-) , 则a的取值范围是()A.B.C.D.答案答案C解析解析f(x)是偶函数且在(-,0)上单调递增,f(x)在(0,+)上单调递减,且f(-)=f(),原不等式可化为f(2|a-1|)f().故有2|a-1|,即|a-1|,解得a,故选C.命题角度二函数的奇偶性与周期性命题角度二函数的奇偶性与周期性典例典例4已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x-4)=-f(x),且在区间0,2上是增 函 数 , 则()A.f(-25)f(11)f(80)B.f(80)f(11)f(-25)C.f(11)f(80)f(-25)D.f(-25)f(80)f(11)答案答案D解析解析f(x)=f(x+4-4)=-f(x+4)=-f(x+8-4)=f(x+8),所以函数f(x)是以8为周期的周期函数,则f(-25)=f(-1),f(80)=f(0),f(11)=f(3).由f(x)是定义在R上的奇函数,且满足f(x-4)=-f(x),得f(3)=-f(-1)=f(1),则f(11)=f(1).因为f(x)在区间0,2上是增函数,f(x)在R上是奇函数,所以f(x)在区间-2,2上是增函数,所以f(-1)f(0)f(1),f(-25)f(80)0,则x的取值范围是.答案答案(-1,3)解析解析f(2)=0,f(x-1)0,f(x-1)f(2),又f(x)是偶函数,f(|x-1|)f(2),又f(x)在0,+)上单调递减,|x-1|2,-2x-12,-1x3,x(-1,3).