单调性与最大单调性与最大( (小小) )值值 函数的单调性函数的单调性1.3.11.3.1新课导入新课导入 一、情景问题 如图为2008年北京奥运会奥林匹克公园场馆自动气象站某日一天24小时内的气温变化图（24时与0时气温相同为32C），观察这张气温变化图：问：该图形是否为函数图象？定义域是什么？问：如何用数学语言来刻画温度随时间变化而变化的趋势呢？ 请同学们画出函数f(x)=x和f(x)=x2的图象，并观察图象的变化特征，说说自己的看法. 可观察到的图象特征： （1）函数f(x)=x的图象由左至右是上升的； （2）函数f(x)=x2的图象在y轴左侧是下降的，在y轴右侧是上升的；也就是图象在区间(-,0上，随x着的增大，相应的f(x) 随着减小，在区间(0,+)上，随着x的增大，相应的f(x)也随着增大. 归纳：从上面的观察分析可以看出：不同的函数，其图象的变化趋势不同，同一函数在不同区间上的变化趋势也不同.函数图象的这种变化规律就是函数性质的反映. 思考： 1如何用函数解析式f(x)=x2描述“随着x的增大，相应的f(x)随着减小”，“随着x的增大，相应的f(x)也随着增大”？ 2.在区间(0,+)上任取x1,x2，函数值的大小变化与自变量的大小变化有何关系？如何用数学符号语言来描述这种关系呢？ 对于函数f(x)=x2 ，经过师生讨论得出： 在区间(0,+)上，任取两个x1,x2，当x1 x2时，有f(x1) f(x2).这时，我们就说函数f(x)=x2在区间(0,+)上是增函数. 请你仿照刚才的描述，说明函数f(x)=x2在区间(-,0)上是减函数.新课新课 一、函数的单调性 1.增函数的定义 设函数f(x)的定义域为I： 如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1,x2，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数（increasing function）. 请你仿照增函数的定义给出函数f(x)在区间D上是减函数的定义. 2.减函数的定义 设函数f(x)的定义域为I： 如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1,x2，当x1f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数（decreasing function）.3对定义要点分析 1） 函数是增函数还是减函数，是对定义域内某个区间而言的; 2）应是该区间内任意的两个实数，忽略需要任意取值这个条件，就不能保证函数是增函数（或减函数）. 3对定义要点分析 3）如果函数y=f(x)在某一区间D上是增(减)函数，就说f(x)在这个区间D上具有单调函数， 这一区间D叫做f(x)的单调区间. 说明： (1)函数的单调区间D是其定义域I的子集； (2)判断函数的单调性的方法： 比较法（要注意变形的程度） 课堂例题课堂例题 -5-4O 1 2345-1-3-2-2-1123xy课堂练习课堂练习 1.一名心率过速患者服用某种药物后心率立刻明显减慢，之后随着药力的减退，心率再次慢慢升高.画出自服药那一刻起，心率关于时间的一个可能的图象（示意图）. 2. 请根据下图描述某装配线的生产效率与生产线上工人数量间的关系.工人数工人数生产效率生产效率O 3. 整个上午（8：0012：00）天气越来越暖，中午时分（12：0013：00）一场暴风雨使天气骤然凉爽了许多.暴风雨过后，天气转暖，直到太阳落山（18：00）才又开始转凉.画出这一天8：0020：00期间气温作为时间函数的一个可能的图象，并说出所画函数的单调区间. 4. 根据下图说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上，函数是增函数还是减函数.-1-11 12 23 34 45 51 12 23 34 45 56 67 7Oxy课堂小结课堂小结 （1）增减函数的图象有什么特点？增函数的图象从左自右是上升的，减函数的图象从左自右是下降的. （2）用定义证明函数的单调性，需要抓住要点“在给定区间任意取两个自变量”去比较它们的函数值的大小. （3）如果函数y=f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做y=f(x)的单调区间.课后作业课后作业 课本第39页习题1.3A组第1、2、3题.课本第44页复习参考题A组第9题. 单调性与最大(小)值 函数的最大(小)值1.3.11.3.1-5-4O 1 2345-1-3-2-2-1123xy 发现，函数图象在x=-2时，其函数值最小，而在x=1时，其函数值最大. -5-4O 1 2345-1-3-2-2-1123xy观察f( (x)=)=x2 2的图象有一个最低点观察f( (x)=-)=-x2 2的图象xyO有一个最高点 观察函数f( (x)=)=x的图象发现，没有最低点，也没有最高点. 新课新课 函数的最大（小）值 1函数的最大（小）值的定义 设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足： （1）对于任意的xI，都有f(x)M； （2）存在x0 I ，使得f(x0)=M.那么，我们称M是函数y=f(x)的最大值(maximum value)。 请你仿造函数最大值的定义，给出是函数y=f(x)的最小值的定义. 设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足： （1）对于任意的xI，都有f(x)M； （2）存在x0 I ，使得f(x0)=M.那么，我们称M是函数y=f(x)的最小值(minimum value).课堂例题课堂例题 例1. “菊花”烟花是最壮观的烟花之一.制造时一般是期望在它达到最高点时爆裂.如果烟花距地面的高度h m与时间t s之间的关系为h(t)=-4.9t2+14.7t+18，那么烟花冲出后什么时候是它爆裂的最佳时刻？这时距地面的高度是多少（精确到1m）？课堂练习课堂练习 1. 设f(x)是定义在区间-6,11上的函数.如果f(x)在区间-6,-2上递减，在区间-2,11上递增，画出f(x)的一个大致的图象，从图象上可以发现f(-2)是函数f(x)的一个_. 2函数的最大（小）值与单调性的关系 从上面的例题可以看到，函数的最大（小）值与单调性有非常紧密的关系. 我们再看一个例子. 例3 观察下图，用函数的单调性研究以下问题： (1) 若函数y=f(x)的定义域为xb,e，求 最大值和最小值； 例3 观察下图，用函数的单调性研究以下问题： (2) 若函数y=f(x)的定义域为xa,e，求最 大值和最小值； 例3观察下图，用函数的单调性研究以下问题： (3) 若函数y=f(x)的定义域为xb,d)，求最大值和最小值；课堂小结课堂小结 函数的最大（小）值是一个函数在一段区间或者整个定义域上的整体性质.一个函数可能存在最大值也可能不存在最大值，最大值具有唯一性，对于最小值也一样. 我们经常利用函数的单调性求函数的最大（小）值.课后作业课后作业 课本第39页习题1.3A组第5题；课本第39页习题1.3B组第1、2题.1.3.2 1.3.2 奇偶性奇偶性导入新课导入新课 从对称的角度，观察下列函数的图象： 函数f(x)=x2,g(x)=|x| 这两个函数图象有什么共同的特征? 请列出从3到3这一段区间上，两个函数的对应值表，并思考：自变量取值互为相反数时，函数值如何变化，有怎样的等量关系？ 请列出从3到3这一段区间上，两个函数的对应值表，并思考：自变量取值互为相反数时，函数值如何变化，有怎样的等量关系？ 讨论结果：当自变量取值互为相反数时，函数值恰相等. 反映在图象上，函数图象关于y 轴对称.新课新课 1偶函数 如果函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(- x)=f(x),那么函数f(x)就叫做偶函数(even function) 定义域关于坐标原点对称.请你举出偶函数的例子请你举出偶函数的例子. . 观察函数f(x)=x和 的图象，说一说这两个函数有什么共同特征？ （1）图象看，它们都是关于坐标原点成中心对称； （2）从定义域看，它们的定义域都是关于坐标原点对称； （3）从函数值看，x与-x的函数值的绝对值相等且符号相反. 2奇函数 如果函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(-x)=-f(x),那么函数f(x)就叫做奇函数(old function) 定义域关于坐标原点对称. 请你举出奇函数的例子. 3函数的奇偶性 奇函数和偶函数的这种性质叫做函数的奇偶性 （1）具有奇偶性的函数的定义域具有对称性，即关于坐标原点对称，如果一个函数的定义域关于坐标原点不对称，就不具有奇偶性 （2）具有奇偶性的函数的图象具有对称性偶函数的图象关于y轴对称，奇函数的图象关于坐标原点对称；反之，如果一个函数的图象关于y轴对称，那么，这个函数是偶函数，如果一个函数的图象关于坐标原点对称，那么，这个函数是奇函数 （3）由于奇函数和偶函数的对称性质，我们在研究函数时，只要知道一半定义域上的图象和性质，就可以得到另一半定义域上的图象和性质课堂练习课堂练习课堂练习课堂练习xOyf(x)xOyg(x)课堂小结课堂小结 本节课学习了函数的奇偶性及其判断方法.我们可以把对称性和奇偶性结合起来思考. 定义域具有对称性，函数值具有对称性，图象具有对称性.由于奇函数和偶函数的对称性质，我们在研究函数时，只要知道一半定义域上的图象和性质，就可以得到另一半定义域上的图象和性质.课后作业课后作业 课本第39页习题1.3A组第6题，B组第3题.课本第44页复习参考题A组第10题.课后作业