2010年9月12月（Home）（Mobil）2 随机变量的方差、协方差与相关系数退出退出一四2 随机变量的方差、协方差与相关系数三退出 二式给出的平均波动，称为二者的协方差，记为 退出返回1. 方差、协方差与相关系数的定义 随机变量X 对其均值的偏差以差的平方的形式所给出的波动，称为该随机变量的方差，记为 亦即 两随机变量X 与Y 对各自均值的偏差以差之乘积的形亦即 比值，称为二者的相关系数，记为 两随机变量X 与Y 的协方差与该二变量标准差乘积的亦即 方差的算术平方根 称为随机变量的标准差.退出返回2. 方差与协方差的理论计算公式 对离散型变量 对连续型变量或或易见，方差是协方差的特例，协方差是方差的推广并且显然还有退出协方差（含相关系数）( 设 C 是常数 )方差2)当 X 与Y 相互独立时, 恒有1)3)4)当 X 与Y 相互独立时, 恒有3)1)2)4)退出方差与协方差（含相关系数）重要性质选证一返回又 X 与Y 相互独立时, 总有当 X 与Y 相互独立时, 恒有以及从而, 作为协方差的特例，方差也应有证退出方差与协方差（含相关系数）重要性质选证二返回惟当 X 与Y 相互独立时, 故此时必恒有一般而论, 总有由于证退出方差与协方差（含相关系数）重要性质选证三返回以及其中 X* 与 Y * 是标准随机变量, 并且显然满足证即满足可见【说明】本例只能求前者的方差 退出方差数学期望返回D( X ) = 4, D( Y ) = 1, D( Z ) = 3. 试求随机变量 U = 2X + 3Y + 1 解例2-1 设 X, Y , Z 相互独立, E( X ) = 5, E( Y ) = 11, E( Z ) = 8. 与随机变量V =YZ4X 的数学期望和前者的方差. 难以准确地求出后者的方差. 事实 上，后者的方差只能求出一部分 退出返回1. 方差的具体计算公式与实际计算步骤 对离散型变量 对连续型变量退出返回2. 协方差的具体计算公式与实际计算步骤 对离散型变量 对连续型变量是 X 与Y 的协方差.*3. 方差、协方差具体计算中常用数学期望的别称方差、协方差具体计算中常用数学期望的别称 k 阶原点矩阶原点矩退出返回【注】就是 X 的数学期望. X 的一阶原点矩是 X 平方的数学期望. X 的二阶原点矩 X 的二阶中心矩是 X 的方差. k + l 阶混合中心矩 k + l 阶混合原点矩 k 阶中心矩 X 的二阶混合原点矩是 X 与Y 乘积的数学期望. X 的1+1阶混合中心矩退出返回3. 方差与协方差的实际计算公式与计算步骤 对连续型变量或易见，方差是协方差的特例，协方差是方差的推广或退出返回【注2】 显然，对连续随机变量而言2. 常用幂函数与复合幂函数的数学期望及其别称常用幂函数与复合幂函数的数学期望及其别称 k 阶原点矩阶原点矩 k 阶中心矩 X 的一阶原点矩 X 的二阶原点矩 X 的二阶中心矩 例例4 -1 已知已知 X 的分布律如下表所示，试求的分布律如下表所示，试求 E ( X )， E ( X 2 ) 和和 E ( 2X3X 2 ).X2349Pi1/85/81/81/8解退出返回解 例例4-2 已知已知 (X ,Y )的联合分的联合分布律如右表所示布律如右表所示. 求求 E( X ), E ( Y ) , E ( XY ) 和和 E ( XY ) . X Y01P. j00.10.10.80.80.90.910.10.10 00.10.1P i .0.20.20.80.8 X Y0100.10.10.80.810.10.10 0注意:但一般讲,退出返回例例4-3 随机变量随机变量X 的概率密度的概率密度Y = 2X 和和 Y = e -2X 的数学期望的数学期望。试求解退出返回例例4 -4 ( X , Y ) 的概率密度的概率密度 E (X) , E (Y ) ； E (XY) , E (X 2+Y 2) .试求XY (1,1)0y = x解x = 1退出返回例例4 -4 ( X , Y ) 的概率密度的概率密度 E (X) , E (Y ) ； E (XY) , E (X 2+Y 2) .试求XY (1,1)0y = x解x = 1退出返回例例4-5 X 和和Y 相互独立相互独立, 二者的概率密度二者的概率密度则则 E (XY ) ( ).C. 8 / 3 D. 7 / 3CA. 4 / 3 B. 5 / 3退出返回退出 例4-6 天若无雨, 水果商每天可赚100元; 天若有雨, 水果商每天损失10元. 一年365天, 贩卖水果地的下雨日约130日. 问水果商在该地卖水果, 每天可期望赚多少钱 ?返回水果贩卖地每天无雨与有雨的概率显然依次为解从而水果商每天所赚钱数 X 的分布律为即水果商每天可期望赚 60.82 元 .100 10寿命不到一年的概率显然为 例4-7 设备的寿命XE( ). 该设备售出一台盈利100元 , 因年内损坏而调换则亏损200元. 求出售一台设备的盈利数学期望. 因此，一台设备出售的盈利值Y 有分布律从而寿命超过一年的概率即退出返回解 可见200 100 第 i 站有人下车记为Yi = 1，第 i 站无人下车记为Yi = 0, （ i = 1,2, ,10）, 则专线车停车的次数 *例4-8 载有20名旅客的专线车在无下车旅客的车站不停车。设各旅客在指定停靠的10个站下车的可能性相等，且是否下车相互独立，那么若以 X 记专线车停车的次数，则 E（X）= ？ 因各站下车的可能性相等，故旅客在任一站下车的概率为1/10，不下车的概率为9/10，从而，从而就有退出返回解任一弹着点与目标间的距离显然为 *例4-9 用( X , Y )记炮击的弹着点坐标. 设坐标XN( 0,2), 坐标Y N( 0,2) , 且二者相互独立. 试求弹着点与目标 ( 0, 0 ) 间的平均距离. X 与Y 相互独立，且XN( 0,2), YN( 0,2), 可见,弹退出返回解着点与目标间的平均距离应为 从而韩旭里等编概率论与数理统计教材第四章 习题四 P112P117 批改题 P112: 1. ( 求离散变量的数学期望 ) P113: 5. 11.( 求连续变量的数学期望与方差 ) 7. ( 利用算子演算性质计算数学期望与方差) 8. 9. （利用独立性简化数学期望的求算 ） 10. ( 求连续变量的数学期望 ) 12. ( 对实际问题求数学期望与方差 )退出返回退出返回P112P113参考答案5. 1. 退出返回P112P113参考答案8. 7. XY (1,1)0y = xx = 1退出返回P112P113参考答案10. 9. 又X 与Y 相互独立，退出返回P112P113参考答案11. 退出返回 12 合格品取出之前所取废品数 X 的分布列为P112P113参考答案X0123Pi9/125/81/81/8 第 k 次才取到废品的概率12.二0一0年十二月