5.3.2 命题、定理、证明命题、定理、证明 学习目标：学习目标：（1）了解命题的）了解命题的概念概念、 命题的一般命题的一般形式形式： “如果如果那么那么” 命题的命题的构成构成： 题设题设和和结论结论（2）知道什么是）知道什么是真命题真命题和和假命题假命题（3）理解什么是）理解什么是定理定理和和证明证明 （4）知道如何）知道如何举一个反例举一个反例说明一个命题是假命题说明一个命题是假命题 学习难点：学习难点：简写形式的命题简写形式的命题怎么改写为怎么改写为“如果如果那么那么”的形式的形式问题问题1 请同学们读下列语句，它们在表述形式上，请同学们读下列语句，它们在表述形式上， 有没有对事情作出判断？有没有对事情作出判断？（1）如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两）如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两 条直线也互相平行；条直线也互相平行；（2）两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补；）两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补；（3）对顶角相等；）对顶角相等；（4）等式两边都加同一个数，结果仍是等式）等式两边都加同一个数，结果仍是等式一、命题的概念：一、命题的概念：判断一件事情的语句，叫做判断一件事情的语句，叫做命题命题.问题问题2 请同学读下列语句，它们在表述形式请同学读下列语句，它们在表述形式 上，有没有对事情作出判断？上，有没有对事情作出判断？（1）画一个角等于已知角；）画一个角等于已知角；（2）a、b两条直线平行吗？两条直线平行吗？（3）若）若a24，求，求a的值；的值；（4）两直线平行，同旁内角相等）两直线平行，同旁内角相等2 2、如果一个句子、如果一个句子没有没有对某一件事情作出任何判对某一件事情作出任何判断，那么它就不是命题。断，那么它就不是命题。如：如：画线段画线段AB=CDAB=CD。判断一件事情的语句叫做判断一件事情的语句叫做命题命题。1 1、只要对一件事情、只要对一件事情作出了判断作出了判断，不管正确与否不管正确与否， 都是命题。都是命题。如：如：两直线平行，同旁内角相等两直线平行，同旁内角相等注意：注意：相等的角是对顶角。相等的角是对顶角。a、b两条直线平行吗？两条直线平行吗？ 练习：练习： 判断下列语句是不是命题？判断下列语句是不是命题？（1）两点之间，线段最短；（）两点之间，线段最短；（ ）（2）请画出两条互相平行的直线；（）请画出两条互相平行的直线；（ ）（3）过直线外一点作已知直线的垂线；（）过直线外一点作已知直线的垂线；（ ）（4）如果两个角的和是）如果两个角的和是90，那么这两个角，那么这两个角 互余（互余（ ）（5）内错角相等（）内错角相等（ ） （1）如果两条直线都与第三条直线平行，）如果两条直线都与第三条直线平行， 那么这两条直线也互相平行；那么这两条直线也互相平行；（2）如果两个角互补，那么它们是邻补角）如果两个角互补，那么它们是邻补角二、命题的形式、构成：二、命题的形式、构成：题设（条件）题设（条件）结论结论命题一般都写成命题一般都写成“如果如果，那么，那么”的形的形式。式。“如果如果”后接后接的部分是的部分是题设题设，“那么那么”后接后接的部分是的部分是结结论论。题设（条件）题设（条件）结论结论命题是由命题是由题设题设(或或条件条件)和和结论结论两部分组成。两部分组成。三、简写形式的命题如何改写为三、简写形式的命题如何改写为“如果如果，那么，那么”的形式的形式： 把下列命题改写成把下列命题改写成“如果如果，那么，那么”的形式的形式. .（1 1）内错角相等，两直线平行）内错角相等，两直线平行如果两条平行线被第三条直线所截，那么同旁内角互补。如果两条平行线被第三条直线所截，那么同旁内角互补。（2）两直线平行，同旁内角互补；）两直线平行，同旁内角互补；两条直线被第三条直线所截，两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，如果内错角相等，那么这两条直线平行。那么这两条直线平行。问题问题：把下列命题改写成把下列命题改写成“如果如果，那么，那么” 的形式，并指出题设和结论。的形式，并指出题设和结论。（1 1）两条直线被第三条直线所截，同位角相等；）两条直线被第三条直线所截，同位角相等；（2 2）等式两边都加同一个数，结果仍是等式；）等式两边都加同一个数，结果仍是等式；（3 3）互为相反数的两个数相加得）互为相反数的两个数相加得0；（4 4）同旁内角互补；）同旁内角互补；（5 5）对顶角相等）对顶角相等如果两条直线被第三条直线所截，那么同位角相等；如果两条直线被第三条直线所截，那么同位角相等；如果等式两边都加同一个数，那么结果仍是等式；如果等式两边都加同一个数，那么结果仍是等式；如果两个数互为相反数，那么这两个数相加得如果两个数互为相反数，那么这两个数相加得0；如果两个角是同旁内角，那么这两个角互补；如果两个角是同旁内角，那么这两个角互补；如果两个角互为对顶角，那么这两个角相等如果两个角互为对顶角，那么这两个角相等如命题：熊猫没有翅膀。改写为：如命题：熊猫没有翅膀。改写为：如果如果这个动物是熊猫这个动物是熊猫，那么那么它就没有翅膀。它就没有翅膀。注意：注意：添加添加“如果如果”、“那么那么”后，后，命题命题 的意义不能改变的意义不能改变，改写的，改写的句子要完句子要完 整，语句要通顺整，语句要通顺，使命题的题设和，使命题的题设和 结论更明朗，易于分辨，改写过程结论更明朗，易于分辨，改写过程 中，要适当增加词语，切不可生搬中，要适当增加词语，切不可生搬 硬套。硬套。 改写成改写成“如果如果那么那么”的形式。的形式。并并指出下列各命题的指出下列各命题的题设题设和和结论结论，1 1、对顶角相等；、对顶角相等；2 2、内错角相等；、内错角相等；3 3、两条平行线被第三直线所截，同位角相等；、两条平行线被第三直线所截，同位角相等；4 4、3 32 2；5 5、同平行于一直线的两直线平行；、同平行于一直线的两直线平行；6 6、直角三角形的两个锐角互余、直角三角形的两个锐角互余；7 7、等角的补角相等；、等角的补角相等；8 8、正数与负数的和为、正数与负数的和为0 0。问题：问题：下列哪些命题是下列哪些命题是正确的正确的，哪些命题是，哪些命题是错误的错误的？（1）两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补；）两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补；（2）等式两边都加同一个数，结果仍是等式；）等式两边都加同一个数，结果仍是等式；（3）互为相反数的两个数相加得）互为相反数的两个数相加得0；（4）同旁内角互补；）同旁内角互补；（5）对顶角相等）对顶角相等 四、命题的真假：四、命题的真假：真命真命题：如果如果题设成立，那么成立，那么结论一定成立，一定成立， 这样的命的命题叫做叫做真命真命题 假命假命题：如果如果题设成立成立时，不能保，不能保证结论一定一定 成立，成立，这样的命的命题叫做叫做假命假命题正确的命题叫正确的命题叫真命题真命题，错误的命题叫，错误的命题叫假命题假命题。2 2、如果两个角互补，那么它们是邻补角。、如果两个角互补，那么它们是邻补角。1 1、如果一个数能被、如果一个数能被4 4整除，那么它也能被整除，那么它也能被2 2整除。整除。判断一个命题真假的方法：判断一个命题真假的方法： 利用已有的知识，通过利用已有的知识，通过观察观察、验证验证、推理推理、举反例举反例等方法。等方法。问题问题： 请同学们判断下列命题的真假，并思考如何请同学们判断下列命题的真假，并思考如何 判断命题的真假判断命题的真假3 3、相等的角是、相等的角是对顶角角121212 判断一个命题是假命题，只要举判断一个命题是假命题，只要举出一个例子，说明该命题不成立就可出一个例子，说明该命题不成立就可以了，这种方法称为以了，这种方法称为举反例举反例。判断一个命题是判断一个命题是假命题假命题的方法：的方法：下列句子哪些是命题？是命题的，指出下列句子哪些是命题？是命题的，指出是真命题还是假命题？是真命题还是假命题？ 1 1、猪有四只脚；、猪有四只脚； 2 2、内错角相等内错角相等； 3 3、画一条直线；、画一条直线； 4 4、四边形是正方形；、四边形是正方形； 5 5、你的作业做完了吗？你的作业做完了吗？ 6 6、同位角相等，两直线平行；、同位角相等，两直线平行； 7 7、对顶角相等；、对顶角相等； 8 8、同垂直于一直线的两直线平行同垂直于一直线的两直线平行； 9 9、过点、过点P P画线段画线段MNMN的垂线；的垂线； 1010、x x2 2是是真命题真命题否否是是假假命题命题是是假假命题命题否否是是真真命题命题是是真真命题命题是是真命题真命题否否否否1 1、数学中有些命题的正确性是数学中有些命题的正确性是人们在人们在长期实践长期实践中总结中总结出来的，并把它们出来的，并把它们作为判断其他命题真假作为判断其他命题真假的原始依据的原始依据，这样的真命题叫做，这样的真命题叫做公理公理。2 2、有些命题可以从公理或其他真命题出发，用、有些命题可以从公理或其他真命题出发，用逻辑推理逻辑推理的方法判断它们是正确的，并且可以的方法判断它们是正确的，并且可以进一步作为判断其他命题真假的依据进一步作为判断其他命题真假的依据，这样的，这样的真命题叫做真命题叫做定理定理。公理公理和和定理定理都可作为判断其他命题真假的都可作为判断其他命题真假的依据依据。五、公理、定理：五、公理、定理：公理举例：公理举例：经过两点有且只有一条直线。经过两点有且只有一条直线。2、线段公理：、线段公理：两点之间，线段最短。两点之间，线段最短。1、直线公理：、直线公理：3、平行公理：、平行公理：经过直线外一点，有且只有一条经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行。直线与已知直线平行。同角或等角的补角相等。同角或等角的补角相等。2、余角的性质：、余角的性质：同角或等角的余角相等。同角或等角的余角相等。4、垂线的性质：、垂线的性质：过一点有且只有一条直线过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；与已知直线垂直；5、平行公理的推论：、平行公理的推论：如果两条直线都和第三条如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直直线平行，那么这两条直线也互相平行。线也互相平行。1、补角的性质：、补角的性质：3、对顶角的性质：、对顶角的性质：对顶角相等。对顶角相等。垂线段最短。垂线段最短。定理举例：定理举例：内错角相等，两直线平行。内错角相等，两直线平行。同旁内角互补，两直线平行。同旁内角互补，两直线平行。6、平行线的判定定理：、平行线的判定定理：7、平行线的性质定理：、平行线的性质定理：两直线平行，内错角相等。两直线平行，内错角相等。两直线平行，同旁内角互补。两直线平行，同旁内角互补。定理举例：定理举例：同位角相等，两直线平行。同位角相等，两直线平行。两直线平行，同位角相等。两直线平行，同位角相等。小结小结本节课你学到了什么知识？本节课你学到了什么知识？命题命题形式形式真假性真假性如果如果，那么，那么题设题设结论结论真命题真命题假命题假命题课堂小结课堂小结1 1、命题：、命题：判断一件事情的语句叫命题。判断一件事情的语句叫命题。2 2、公理：、公理：人们长期以来在实践中总结出来的，并作为判断其他人们长期以来在实践中总结出来的，并作为判断其他 命题真假的根据的命题，叫做命题真假的根据的命题，叫做公理公理。3 3、定理：、定理：经过推理论证为正确的命题叫经过推理论证为正确的命题叫定理定理。也可作为继续推。也可作为继续推 理的依据。理的依据。4 4、判断一个命题是真命题，可以从公理或定理出发，用、判断一个命题是真命题，可以从公理或定理出发，用逻辑推逻辑推理理 的方法证明（的方法证明（公理和定理都是真命题公理和定理都是真命题）；）； 判断一个命题是假命题，只要举出一个例子，说明该命题不判断一个命题是假命题，只要举出一个例子，说明该命题不成立就可以了，这种方法称为成立就可以了，这种方法称为举反例举反例。（1 1）正确的命题称为）正确的命题称为真命题真命题，错误的命题称为，错误的命题称为假命题假命题。（2 2）命题的结构：命题的结构：命题由命题由题设题设和和结论结论两部分构成，两部分构成， 常可写成常可写成“如果如果，那么，那么”的形式。的形式。 作业作业2 2、数学练习册、数学练习册P25-27P25-27页页 1 1、课本、课本P24P24页页 第第1212题题 课本课本P36P36页第页第8 8、1212、1313题题