第二十四章第二十四章 圆圆 24.1 24.1 圆圆 24.1.2 24.1.2 垂直于弦的直径垂直于弦的直径 实实践探究践探究 把一个圆形纸片沿着它的任意一条直径对折，重复几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？ 可以发现：可以发现： （1）圆是轴对称图形）圆是轴对称图形 （2）任何一条直径所在直线都是它的对称轴）任何一条直径所在直线都是它的对称轴 （3）圆的对称轴有无数条）圆的对称轴有无数条 活活 动动 二二 在圆中作图，（在圆中作图，（1）任意作一条弦）任意作一条弦AB；（；（2）做直径）做直径CD，使，使CDAB，垂足为，垂足为E 思考：你能发现图中有哪些相等的线段和弧？为什么？思考：你能发现图中有哪些相等的线段和弧？为什么？ C 线段：线段： AE=BE 弧弧:AC=BC,AD=BD A O E D B 把圆沿着直径把圆沿着直径CD折叠时，折叠时，CD两侧的两个两侧的两个半圆重合，点半圆重合，点A与点与点B重合，重合，AE与与BE重合，重合， AC , AD分别与分别与BC 、BD重合重合 C 即直径即直径CD垂直于弦垂直于弦AB，平分弦，平分弦AB, 并且平分并且平分AB及及ACB 垂径定理垂径定理 垂直于弦的直径垂直于弦的直径 平分弦，并且平分弦所对的两条弧平分弦，并且平分弦所对的两条弧 . A O E B 问题：此定理的条件和结论分别是什么？问题：此定理的条件和结论分别是什么？ 题设题设 （1）过圆心）过圆心 结论结论 （2）垂直于弦）垂直于弦 （3）平分弦）平分弦 （4）平分弦所对的优弧）平分弦所对的优弧 （5）平分弦所对的劣弧）平分弦所对的劣弧 (1)(1)过圆心过圆心 (2) (2)垂直于弦垂直于弦 讨论讨论 (3)(3)平分弦平分弦 (4) (4)平分弦所对优弧平分弦所对优弧 (5) (5)平分弦所对的劣弧平分弦所对的劣弧 思考：思考： C1.1.若知道若知道“过圆心过圆心”和和“平分弦平分弦”， A 你是否能得到另外三个结论？你是否能得到另外三个结论？ O DOB推论推论 过圆心过圆心平分非直径的弦平分非直径的弦的直线的直线2.2.若知道若知道“垂直于弦垂直于弦”和和“平分弦平分弦”， 垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧. . O 你能得到另外三个结论吗？你能得到另外三个结论吗？ 练习练习 在下列图形中，哪些图形可用在下列图形中，哪些图形可用 垂径定理垂径定理 找到找到相等的线段相等的线段或或相等的圆弧？相等的圆弧？ 应用新知解决问题应用新知解决问题 例题例题1如图，在如图，在O中，弦中，弦AB的长为的长为8cm，圆心，圆心O到到AB的距离为的距离为3cm，求，求O的半径的半径 解：解： OE? AB在RtAOE中 2211? AE?AB?8? 422A E B O AO ? OE ? AE22222AO?OE ? AE = 3 +4 =5cm答：答：O的半径为的半径为5cm. 巩固练习巩固练习 填空： 1、如图：已知AB是O的直径，弦CD与AB相交于点E，若ABCD（或（或AC=AD，或，或BC=BD） _，则CE=DE（只需填写一个你认为适当的条件） 2、如图：已知AB是O的弦，OB=4cm ，ABO=300，则O到AB的距离是_cm ，AB=_cm. 2 4 A C E 。O B 第1题图 D 。 O H A B 第2题图 巩固练习：巩固练习： 3 3、半径为、半径为4 cm4 cm的的O O中，弦中，弦ABAB=4 cm, =4 cm, 2 3cm 那么圆心那么圆心O O 到弦到弦AB AB 的距离是的距离是 . . 4 4、O O的直径为的直径为10 cm10 cm，圆心，圆心O O到弦到弦ABAB的的 8cm 8cm 距离距离OEOE=3 cm=3 cm，则弦，则弦ABAB的长是的长是 . . O O A A E B B O O A A E E B B 提高练习：提高练习： 5 5、如图，、如图，M与与x轴交于轴交于A，B两点，与两点，与y轴轴 交于交于C，D两点，若两点，若M(2,0)，B(5,0)， 则则C点的坐标是点的坐标是 . y y(0, 5)C CA AD DO OM MB Bx x6、如图，如图， O的半径的半径OC10, DC2，直，直径径CEAB于于D， 求弦求弦AB的长的长. EOADCB小小 结结 、圆的轴对称性、圆的轴对称性 、垂径定理及其推论的图式 直径平分弦直径平分弦 直径垂直于弦直径垂直于弦= 直径平分弦所对的弧直径平分弦所对的弧 直径垂直于弦直径垂直于弦 直径平分弦（不是直径）直径平分弦（不是直径）= 直径平分弦所对的弧直径平分弦所对的弧 直径平分弧所对的弦直径平分弧所对的弦 直径平分弧直径平分弧 = 直径垂直于弧所对的弦直径垂直于弧所对的弦 ?例题例题2如图，在如图，在O中，中，AB、AC为互相垂直且相为互相垂直且相等的两条弦，等的两条弦，ODAB于于D，OEAC于于E，求证四，求证四边形边形ADOE是正方形是正方形 证明：证明： OE? AC OD? AB AB? AC? OEA? 90 ? EAD? 90 ? ODA? 90四边形四边形ADOE为矩形，为矩形， OEAC ODAB 11 AD?AB AE?AC，22又又 AC=AB AE=AD 四边形四边形ADOE为正方形为正方形. C E O D B A