上页 下页 返回 退出 Jlin Institute of Chemical Technology 函数的单调性与曲线的凹凸性一、函数单调性的判定法二、曲线的凹凸性与拐点上页 下页 返回 退出 Jlin Institute of Chemical Technology一、函数单调性的判定法 函数yf(x)的图象有时上升 有时下降 如何判断函数的图象在什么范围内是上升的 在什么范围内是下降的呢？上页 下页 返回 退出 Jlin Institute of Chemical Technology f (x)0 f (x)0 观察结果 函数单调增加时导数大于零 函数单调减少时导数小于零 观察与思考 函数的单调性与导数的符号有什么关系？上页 下页 返回 退出 Jlin Institute of Chemical Technologyv定理1(函数单调性的判定法) 设函数f(x)在a b上连续 在(a, b)内可导 (1)如果在(a b)内f (x)0 则f(x)在a b上单调增加 (2)如果在(a b)内f (x)0 则f(x)在a b上单调减少 由拉格朗日中值公式 有 f(x2)f(x1)f (x)(x2x1) (x1x0 x2x10 所以 f(x2)f(x1)f (x)(x2x1)0 即 f(x1)f(x2) 这就证明了函数f(x)在(a b)内单调增加 证明 只证(1) 在(a b)内任取两点x1 x2(x10 则f(x)在a b上单调增加 (2)如果在(a b)内f (x)0 所以函数 yxsin x 在p 2p上的单调增加 v定理1(函数单调性的判定法) 设函数f(x)在a b上连续 在(a, b)内可导 (1)如果在(a b)内f (x)0 则f(x)在a b上单调增加 (2)如果在(a b)内f (x)0 则f(x)在a b上单调增加 (2)如果在(a b)内f (x)0 则f(x)在a b上单调减少 因为在( 0)内y0 所以函数 yexx1在0 )上单调增加 解 函数yexx+2的定义域为( ) yex1 例2 讨论函数 yex x+2的单调性 上页 下页 返回 退出 Jlin Institute of Chemical Technology 解 函数的定义域为( ) 所以函数在0 )上单调增加 因为x0时 y0 所以函数在( 0 上单调减少 因为x0时 y0 因此函数yx3在区间( 0及0, )内都是单调增加的 从而函数在整个定义域( )内是单调增加的 上页 下页 返回 退出 Jlin Institute of Chemical Technology 证明: 例6 当时 证明：sin xtan x2x . 设 f(x)sin xtan x2x 则f(x)在 内连续 f (x)cos xsec2x2 因为在 内cos x10 cos2x10 cos x0 所以f (x)0 从而f(x)在 内单调增加 因此当 时 f(x)f(0)0 sin xtan x2x0 也就是 sin xtan x2x 上页 下页 返回 退出 Jlin Institute of Chemical Technology二、曲线的凹凸性与拐点 函数曲线除了有升有降之外 还有不同的弯曲方向 如何根据函数本身判断函数曲线的弯曲方向呢？上页 下页 返回 退出 Jlin Institute of Chemical Technologyv曲线的凹凸性定义 设f(x)在区间I上连续 如果对I上任意两点x1 x2 恒有 那么称f(x)在I上的图形是凹的 那么称f(x)在I上的图形是凸的 如果恒有 2)()()2(2121xfxfxxf2)()()2(2121xfxfxxf观察与思考 观察切线斜率的变化与曲线凹凸性的关系 上页 下页 返回 退出 Jlin Institute of Chemical Technologyv定理2(曲线凹凸性的判定法) 设f(x)在a b上连续 在(a b)内具有二阶导数 若在(a b)内f (x)0 则f(x)在a b上的图形是凹的 若在(a b)内f (x)0 则f(x)在a b上的图形是凹的 若在(a b)内f (x)0 在区间( )内曲线是凹的 因此曲线无拐点 求曲线3xy的拐点 例11 解 二阶导数无零点 当x0时 二阶导数不存在 因为当x0时 y0 当x0时 y0 所以点(0 0)曲线的拐点 只有f (x0)等于零或不存在 (x0 f(x0)才可能是拐点如果在x0的左右两侧f (x)异号 则(x0 f(x0)是拐点 上页 下页 返回 退出 Jlin Institute of Chemical Technology总结单调性的判别是拉格朗日中值定理的重要应用.定理中的区间换成其它有限或无限区间，结论仍然成立.应用：利用函数的单调性可以确定某些方程实根的个数和证明不等式.