图形变换一般是指将图形的几何信息经过图形变换一般是指将图形的几何信息经过几何变换后产生新的图形。经过图形变换，可几何变换后产生新的图形。经过图形变换，可由简单图形生成复杂图形，可用二维图形表示由简单图形生成复杂图形，可用二维图形表示三维形体，甚至可对静态图形经过快速变换而三维形体，甚至可对静态图形经过快速变换而获得图形的动态显示效果。获得图形的动态显示效果。 齐齐次次坐坐标标表表示示法法就就是是由由n n十十1 1维维向向量量表表示示一一个个n n维维向向量量。优优点点：使使得得图图形形变变换换的的运运算算能能用用统统一一数数学学形形式式表表达达 ；可可以以表表示示无无穷远点。穷远点。5 图形变换图形变换xyh平面h=1二维齐次坐标的几何解释二维齐次坐标的几何解释5.1 二维图形变换二维图形变换从点从点Px,y平移平移到点到点Px,yx = x + my = y + nP(x,y)P(xy)XYnm1. 平移变换平移变换2 旋转变换旋转变换(x,y)(x,y)一个点绕原点的旋转，逆时针方向为正。一个点绕原点的旋转，逆时针方向为正。xy3 3 比例变换比例变换x = x*sxy= y*sySxSx = = SySy： 均匀缩放。均匀缩放。SxSx = = SySy 1 1，放大放大SxSx = = SySy 1 1，缩小缩小SxSx 不等于不等于SySy时，沿坐标轴方向伸展和压缩时，沿坐标轴方向伸展和压缩P(x,y)P(x,y)YX以原点为基点，图形的比例缩放以原点为基点，图形的比例缩放二维图形几何变换齐次坐标表示二维图形几何变换齐次坐标表示 上叙上叙矩阵表达形矩阵表达形式不一，在图形式不一，在图形变换时需要进行变换时需要进行多次矩阵运算，多次矩阵运算，借助齐次坐标，借助齐次坐标，可以将图形变换可以将图形变换用统一的矩阵用统一的矩阵T2D表达表达缩放、旋缩放、旋转、对称、转、对称、错切等错切等平移变换平移变换 投投影影变变换换 整体缩放整体缩放 平平移移缩缩放放旋旋转转错错切切复复合合平平移移复复合合比比例例复复合合旋旋转转(m,n)(x,y)(x, y)(x2,y2)2mn3(x,y)复杂变换复杂变换: :相对点（相对点（x,yx,y）的旋转变换的旋转变换(x1,y1)1将基点、旋转图将基点、旋转图形平移到原点形平移到原点使使图形绕图形绕原点旋转原点旋转将旋转后的图形与基点一起复原绕绕任意点旋转的变换矩阵任意点旋转的变换矩阵5.2 三维图形变换三维图形变换所有的三维变换都可通过乘以一个所有的三维变换都可通过乘以一个4 44 4的变换的变换矩阵来进行；矩阵来进行；矩阵乘的顺序对应变换的次序矩阵乘的顺序对应变换的次序各分块子阵的作用不是孤立的，彼此相互影响各分块子阵的作用不是孤立的，彼此相互影响缩放、旋缩放、旋转、对称、转、对称、错切等错切等平移变换平移变换 透透视视变变换换 整整体体缩缩放放T Tx xT Ty yT Tz z平移变换平移变换缩放变换缩放变换几何图形的三维缩放变换是通过对构成图形的各个点同时进行几何图形的三维缩放变换是通过对构成图形的各个点同时进行坐标值的缩放来实现的。坐标值的缩放来实现的。各比例因子的不同取值可以实现各类对称变换：关于原点、坐各比例因子的不同取值可以实现各类对称变换：关于原点、坐标轴，坐标平面的对称变换。标轴，坐标平面的对称变换。以以任意点为基点的比例变换任意点为基点的比例变换X X、Y Y、Z Z坐标组成的平面：坐标组成的平面：XOYXOY、YOZYOZ、XOZXOZ。右手系：从旋转轴正向看，旋转方向为逆时针；右手系：从旋转轴正向看，旋转方向为逆时针；XYZ旋转变换旋转变换 绕绕X X轴旋转轴旋转绕绕Y Y轴旋转轴旋转绕绕Z Z轴旋转轴旋转绕直线绕直线P P1 1P P2 2旋转旋转角的过程可分解为下列步骤：角的过程可分解为下列步骤：（1 1）把）把点点P P1 1 (x(x1 1, y, y1 1, z, z1 1) )移至原点；移至原点；（2 2）绕）绕x x轴旋转，使直线轴旋转，使直线与与xzxz平面重合；平面重合；（3 3）绕）绕y y轴旋转，使直线轴旋转，使直线与与z z轴重合；轴重合；（4 4）绕）绕z z轴旋转轴旋转角；角；（5 5）执行步骤）执行步骤(3)(3)的逆变换；的逆变换；（6 6）执行步骤）执行步骤(2)(2)的逆变换；的逆变换；（7 7）执行步骤）执行步骤(1)(1)的逆变换；的逆变换；绕任意轴旋转绕任意轴旋转XYZP1P2P2P2abcb2+ c2b2+ c2a2 + b2+ c2绕任意轴旋转的矩阵绕任意轴旋转的矩阵从数学角度看，投影就是将从数学角度看，投影就是将n n维空间中的点变换成小于维空间中的点变换成小于n n维空间的点。维空间的点。要把现实世界的三维物体在计算机的二维屏幕上显示出要把现实世界的三维物体在计算机的二维屏幕上显示出来，必须经过投影变化这一步骤。来，必须经过投影变化这一步骤。投影变换常用平行投影以及透视投影等。投影变换常用平行投影以及透视投影等。投影面投影面投影中心投影中心投影线投影线ABAB投影面投影面投影中心投影中心投影线投影线ABAB5.3 5.3 投影变换投影变换投影变换分类投影变换分类平行投影：投影中心与投影面间距离为无穷远；平行投影：投影中心与投影面间距离为无穷远；正平行投影：投影方向和投影面垂直。正平行投影：投影方向和投影面垂直。三视图：三个投影面和坐标轴相互垂直。三视图：三个投影面和坐标轴相互垂直。正轴侧：投影面和坐标轴呈一定角度的关系。正轴侧：投影面和坐标轴呈一定角度的关系。斜平行投影：投影方向和投影面不垂直。斜平行投影：投影方向和投影面不垂直。透视投影：投影中心与投影面间距离为有限；透视投影：投影中心与投影面间距离为有限；ABABBAABABAB透视投影透视投影 正平行投影正平行投影 斜平行投影斜平行投影 垂直垂直 不垂直不垂直简单的一点透视简单的一点透视