2.2.2用样本的数字特征估计总体的数字特征用样本的数字特征估计总体的数字特征 例例1.1.画出下列四组样本数据的条形图画出下列四组样本数据的条形图,说明它说明它们的异同点们的异同点.(1) 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5;(2) 4, 4, 4, 5 , 5, 5, 6, 6, 6;(3) 3 , 3 , 4 , 4 , 5, 6 , 6, 7 , 7;(4) 2 , 2 , 2 , 2, 5 , 8 , 8 , 8 , 8 ;解解:四组样本数据的条形图是四组样本数据的条形图是:0.10.20.30.40.50.60.70.80.91.0频率频率o123 4 5 6 7 8S=0.82(1) 5,5,5,5,5,5,5,5,5;(2) 4,4,4,5,5,5,6,6,6;频率频率o1 23 4 5 6 70.10.20.30.40.50.60.70.80.91.0S=0.008频率频率o1 2 3 4 5 6 7 80.10.20.30.40.50.60.70.80.91.0S=2.83123 4 5 6 7 8频率频率o0.10.20.30.40.50.60.70.80.91.0S=1.49(3) 3,3,4,4,5,6,6,7,7;(4) 2,2,2,2,5,8,8,8,8;四组数据的四组数据的平均数平均数都是都是5.0,标准差标准差分别是分别是0.00, 0.82,1.49,2.83.虽然它们有虽然它们有相同的平均数相同的平均数,但是但是它们有它们有不同的标准差不同的标准差,说明数据的说明数据的分散程度分散程度是是不一样的不一样的.例如例如,在关于居民月均用水量的例子中在关于居民月均用水量的例子中, 平均数平均数标准差标准差s=0.868 ,所以所以标准差标准差还可以用于对还可以用于对样本数据样本数据的另外一种解释的另外一种解释.在在100个数据中个数据中,在区间在区间外的只有外的只有4个个数数例例2.甲乙两人同时生产内径为甲乙两人同时生产内径为25.40mm的一种零的一种零件件.为了对两人的生产质量进行评比为了对两人的生产质量进行评比,从他们生产从他们生产的零件中各抽出的零件中各抽出20件件,量得其内径尺寸量得其内径尺寸(单位单位:mm)甲甲 25.46 25.32 25.45 25.39 25.36 25.34 25.42 25.45 25.38 25.42 25.39 25.43 25.39 25.40 25.44 25.40 25.42 25.35 25.41 25.39乙乙 25.40 25.43 25.44 25.48 25.48 25.47 25.49 25.49 25.36 25.34 25.33 25.43 25.43 25.32 25.47 25.31 25.32 25.32 25.32 25.48 从生产的零件内径的尺寸看从生产的零件内径的尺寸看,谁生产的质量较高谁生产的质量较高?分析分析:每一个工人生产的所有零件的内径尺寸组成一每一个工人生产的所有零件的内径尺寸组成一个总体个总体.由于零件的生产标准已经给出由于零件的生产标准已经给出(内径内径25.40mm),生产质量可以从总体的平均数与标准差两生产质量可以从总体的平均数与标准差两个角度来衡量个角度来衡量.总体的平均数与内径标准尺寸总体的平均数与内径标准尺寸25.40mm的差异大时质量低的差异大时质量低,差异小时质量高差异小时质量高;当总体当总体的平均数与标准尺寸很接近时的平均数与标准尺寸很接近时,总体的标准差小的时总体的标准差小的时候质量高候质量高,标准差大的时候质量低标准差大的时候质量低.这样这样,比较两人的比较两人的生产质量生产质量,只要比较他们所生产的零件内径尺寸所组只要比较他们所生产的零件内径尺寸所组成的两个总体的平均数与标准差的大小即可成的两个总体的平均数与标准差的大小即可.但是这但是这两个总体的平均数与标准差都是不知道的两个总体的平均数与标准差都是不知道的,根据用样根据用样本估计总体的思想本估计总体的思想,我们可以通过抽样分别获得相应我们可以通过抽样分别获得相应的样体数据的样体数据,然后比较这两个样本的平均数、标准差然后比较这两个样本的平均数、标准差,以此作为两个总体之间的估计值以此作为两个总体之间的估计值.从样本平均数看从样本平均数看,甲生产的零件内径比乙生产甲生产的零件内径比乙生产的更接近内径标准的更接近内径标准(25.40mm),但是差异很小但是差异很小;从样本标准差看从样本标准差看,由于由于解解:用计算器计算可得用计算器计算可得:因此因此,甲生产的零件内径比乙的稳定程度高甲生产的零件内径比乙的稳定程度高得多得多.于是于是,可以作出判断可以作出判断,甲生产的零件的甲生产的零件的质量比乙的高一些质量比乙的高一些.从上述例子我们可以看到从上述例子我们可以看到,对一名工人生产的零对一名工人生产的零件内径件内径(总体总体)的质量判断的质量判断,与我们抽取的内径与我们抽取的内径(样本数据样本数据)直接相关直接相关.显然显然,我们可以从这名工我们可以从这名工人生产的零件中获取许多样本人生产的零件中获取许多样本(为什么为什么?).这样这样,尽管总体是同一个尽管总体是同一个,但由于样本不同但由于样本不同,相应的样相应的样本频率分布与平均数、标准差等都会发生改变本频率分布与平均数、标准差等都会发生改变,这就会影响到我们对总体情况的估计这就会影响到我们对总体情况的估计.如果样本如果样本的代表性差的代表性差,那么对总体所作出的估计就会产生那么对总体所作出的估计就会产生偏差偏差;样本没有代表性时样本没有代表性时,对总体作出错误估计对总体作出错误估计的可能性就非常大的可能性就非常大.这也正是我们在前面讲随机这也正是我们在前面讲随机抽样时反复强调样本代表性的理由抽样时反复强调样本代表性的理由.在实际操作在实际操作中中,为了减少错误的发生为了减少错误的发生,条件许可时条件许可时,通常采取通常采取适当增加样本容量的方法适当增加样本容量的方法.当然当然,关键还是要改关键还是要改进抽样方法进抽样方法,提高样本的代表性提高样本的代表性.