第五章大数定律大数定律和和中心极限定理中心极限定理15.1 契比雪夫不等式契比雪夫不等式 定理定理: 设随机变量设随机变量X具有期望具有期望E(X)及方及方差差D(X),则则 0,有有:或或 2例例1 已知已知E(X)=100, D(X)=30,试估计试估计X落在落在(70,130)内的概率内的概率解解: P70X130=P|X 100|30由契比雪夫不等式由契比雪夫不等式,得得: 0.967 契比雪夫不等式给出了在随机变契比雪夫不等式给出了在随机变量量X的分布未知情况下的分布未知情况下,事件事件|X E(X)|0, 使得使得5如如意思是意思是:当当a而而意思是意思是:时时, Xn 落落在在内的内的概率越来越大概率越来越大.,当当当当65.2 大数定律大数定律 我们曾经说我们曾经说, 频率是概率的反映频率是概率的反映,随随着观察次数的增大着观察次数的增大, 频率将会逐渐稳定频率将会逐渐稳定到概率到概率. 这里是指试验的次数无限增大这里是指试验的次数无限增大时时, 在某种收敛意义下逼近某一定数在某种收敛意义下逼近某一定数,这这就是所谓就是所谓大数定律大数定律7契比雪夫大数定律契比雪夫大数定律 设随机变量设随机变量X1, X2, . , Xn, .相互独相互独立立,且分别具有期望且分别具有期望E(Xk)和方差和方差D(Xk) (k=1,2,.),若方差有界若方差有界,则则 0,有有:8由契比雪夫不等式由契比雪夫不等式,得得:n1表明表明: 算术平均值依概率收敛于数学期望算术平均值依概率收敛于数学期望95.3 中心极限定理中心极限定理 在一定条件下在一定条件下,大量独立随机变量大量独立随机变量的和的分布以正态分布为极限分布的的和的分布以正态分布为极限分布的这一类定理称为这一类定理称为中心极限定理中心极限定理 10的分布函数的分布函数Fn(x)收敛到标准正态分布收敛到标准正态分布函数函数. 独立同分布的中心极限定理独立同分布的中心极限定理 设随机变量设随机变量X1,X2,Xn,相互独立相互独立,服从同一分布服从同一分布,且具有期望和方差且具有期望和方差: E(Xk)= , D(Xk)= 20 (k=1,2,),则随机变量则随机变量 11即即 x R ,满足满足:注意到注意到:12例如例如, PaXb13例 某车间有200台车床,它们独立地工作着,不足而影响生产?以99.9问; 供电所至少要供给这个车间多少电力,才能开工率各为0.6,开工时耗电各1千瓦,解: 设X-正在工作的车床数.耗电数 的概率保证这个车间不会因为供电14 只要供给这个车间141千瓦电, 就可保证因供电不足而影响生产的可能性小于0.01.15小结小结1. 会利用契比雪夫不等式作简单的估计会利用契比雪夫不等式作简单的估计2. 了解契比雪夫大数定律和贝努里大数了解契比雪夫大数定律和贝努里大数 定律的意义和内容定律的意义和内容3. 掌握独立同分布的中心极限定理和棣掌握独立同分布的中心极限定理和棣 莫夫莫夫 拉普拉斯定理拉普拉斯定理, 会利用它们解决会利用它们解决 一般实际应用问题一般实际应用问题16