14.3.114.3.1提公因式法提公因式法14.314.3因式分解因式分解计算下列各式计算下列各式: : x(x+1)= x(x+1)= (x+1)(x(x+1)(x1)=1)= x2 + xx21复习与回顾复习与回顾请把下列多项式写成整式的乘积的形式请把下列多项式写成整式的乘积的形式: :(1)x(1)x2 2+x=_;+x=_;(2)x(2)x2 2 1=_. 1=_.x(x+1)(x+1)(x-1) 上面我们上面我们把一个多项式化成把一个多项式化成了了几个整几个整式的积的形式式的积的形式, ,像这样像这样的的式子式子变形叫做把这变形叫做把这个多项式个多项式因式分解因式分解, ,也叫做把这个多项式也叫做把这个多项式分分解因式解因式. .合作探究合作探究x x2 2-1-1 因式分解因式分解整式乘法整式乘法(x+1)(x-1)(x+1)(x-1) 因式分解与整式乘法是相因式分解与整式乘法是相反方向的变形反方向的变形因式分解概念解读：因式分解概念解读：1 1. .分解因式与整式乘法是互逆过程分解因式与整式乘法是互逆过程. .2 2. .分解因式要注意以下几点分解因式要注意以下几点: :（1 1）分解的对象必须是多项式）分解的对象必须是多项式. .（2 2）分解的结果一定是几个整式的乘积的）分解的结果一定是几个整式的乘积的形式形式. .（3 3）要分解到不能分解为止）要分解到不能分解为止. .1.1.判断下列各式哪些是整式乘法判断下列各式哪些是整式乘法? ?哪些哪些是因式分解是因式分解? ?(1) (1) x x2 24 4y y2 2=(=(x x+2+2y y)()(x x2 2y y) )(2) 2(2) 2x x( (x x3 3y y)=2)=2x x2 26 6xyxy(3) (5(3) (5a a1)1)2 2=25=25a a2 21010a a+1 +1 (4) (4) x x2 2+4+4x x+4=(+4=(x x+2)+2)2 2 (5) (5) (a a3)(3)(a a+3)=+3)=a a2 29 9(6) (6) m m2 24=(4=(m m+2)(+2)(m m2) 2) (7) 2(7) 2RR+ 2+ 2rr= 2= 2(R+r(R+r) )因式分解因式分解整式乘法整式乘法整式乘法整式乘法因式分解因式分解整式乘法整式乘法因式分解因式分解因式分解因式分解巩固练习巩固练习因式分解因式分解： 把公因式提出来，多项式写成公因式和把公因式提出来，多项式写成公因式和另一个因式的乘积，像这种因式分解的方另一个因式的乘积，像这种因式分解的方法，叫做法，叫做提取公因式法提取公因式法。解解: :公因式公因式多项式中多项式中各项各项都含有的都含有的相同因式相同因式, ,称之为称之为公因式公因式提公因式法提公因式法8a8a3 3b b2 212ab12ab3 3c c 的的公因式公因式是什么？是什么？最大公约数最大公约数相同相同字母最字母最低低指数指数公因式公因式 4 a4 a b b2 2一一看系数看系数二二看字母看字母三三看指数看指数观察方向观察方向例例1 1 把把8a8a3 3b b2 2+12ab+12ab3 3c c分解因式分解因式. .例题解析例题解析例例2 2 把把 2 2a a( (b b+ +c c)-3()-3(b b+ +c c) )分解因式分解因式. .2.2.说出下列多项式各项的公因式：说出下列多项式各项的公因式：(1)(1)ma + mb ma + mb (2)4(2)4kxkx 8 8ky ky (3)5(3)5y y3 3+ +2020y y2 2 (4)(4)a a2 2b b2 2abab2 2+ab +ab ( (5 5)2)2a a( (b b+ +c c)-3()-3(b b+ +c c) )m m4 4k k5 5y y2 2abab 注意：各项注意：各项系数系数都是都是整数整数时，因式的时，因式的系数应取各项系数的系数应取各项系数的最大公约数最大公约数；字母字母取取各项的各项的相同的字母相同的字母，而且各，而且各字母的指数字母的指数取取次数最低次数最低的的（b+cb+c）（1 1）把）把 3a3a2 2-9ab-9ab分解因式分解因式. . 温馨提示温馨提示分两步分两步第一步，找出公因式；第一步，找出公因式；第二步，提取公因式第二步，提取公因式 ，(即将多项式化为两个因式的即将多项式化为两个因式的乘积乘积)例例1解：解：原式原式 =3aa-3a3b =3a(a-3b) （2 2）把）把8a8a3 3b b2 2+12ab+12ab3 3c c分解因式分解因式 .注意：注意：提公因式后提公因式后, ,另一个因式：另一个因式： 项数应与项数应与原多项式原多项式的项数的项数一样一样； 不再含有公因式。不再含有公因式。 分析分析:先找出各项的公因式先找出各项的公因式,然后再分解然后再分解.解解: 8a3b2+12ab3c =4ab 2 2a2+ 4ab2 3bc = 4ab 2 (2a2 + 3bc)公因式：公因式： 4ab2(1)ax+(1)ax+a ay=( )(y=( )( ) ) (2)3mx-6my =( )( )(2)3mx-6my =( )( )补充：补充：(3)x(3)x2 2y+xyy+xy2 2=( )( =( )( ) )(4)15a(4)15a2 2+10a=( )( )+10a=( )( )(5)12xyz(5)12xyz9x9x2 2y y2 2=( )( )=( )( )a a3m3mxyxy5a5a3a+23a+23xy3xy4z4z3xy3xyP115P115练习练习1 1. .将下列多项式因式分解将下列多项式因式分解: :x x+y+yx-2y x-2y x+yx+y(6) 2a(b+c)-3(b+c)=( )( )(6) 2a(b+c)-3(b+c)=( )( )b+cb+c(7)12a12a2 2b b3 38a8a3 3b b2 216ab16ab = =（ ）（）（ ）2a-32a-34ab4ab2 23ab-2a3ab-2a2 2-4b-4b2 21.把下列各式分解因式把下列各式分解因式(1)(1)(3)(3)8m8m2 2n+2mn (n+2mn (4 4)12xyz-9x)12xyz-9x2 2y y2 2( (5 5)2a(y-z)-3b(z-y) ()2a(y-z)-3b(z-y) (6 6)p(a)p(a2 2+b+b2 2)-q(a)-q(a2 2+b+b2 2) )2.2.先分解因式先分解因式, ,再求值再求值: : 4a 4a2 2(x+7)-3(x+7),(x+7)-3(x+7),其中其中a=-5,x=3a=-5,x=33.3.计算计算5 53 34 4+4+43 34 4+ +9 93 32 2提高练习提高练习P115如何把如何把-24x-24x3 3 12x12x2 2 +28x +28x 分解因式分解因式. .把把 -24x3 12x2 +28x 分解因式分解因式.当多项式第一项当多项式第一项系数是负数，通系数是负数，通常先提出常先提出“-”号，号，使括号内第一项使括号内第一项系数变为正数，系数变为正数，注意括号内各项注意括号内各项都要变号都要变号。解：原式解：原式= 把下列多项式分解因式：把下列多项式分解因式：（1 1）12x12x2 2y+18xyy+18xy2 2； （2 2）-x-x2 2+xy-xz+xy-xz；（3 3）2x2x3 3+6x+6x2 2+2x+2x 现有甲、乙、丙三位同学各做一题，他们的解法如下：现有甲、乙、丙三位同学各做一题，他们的解法如下： 你认为他们的解法正确吗？试说明理由。你认为他们的解法正确吗？试说明理由。甲同学：甲同学：解解:12x:12x2 2y+18xyy+18xy2 2 =3xy(4x+6y)=3xy(4x+6y)乙同学：乙同学：解解:-x:-x2 2+xy-xz+xy-xz =-x(x+y-z) =-x(x+y-z)丙同学：丙同学：解解:2x:2x3 3+6x+6x2 2+2x+2x =2x(x =2x(x2 2+3x)+3x)4.4.把下列各式分解因式：把下列各式分解因式：1 12a-4b 22a-4b 2axax2 2+ax-4a+ax-4a3 33ab3ab2 2-3a-3a2 2b 4b 42x2x3 3+2x+2x2 2-6x-6x5 57x7x2 2+7x+14 6+7x+14 6-12a-12a2 2b+24abb+24ab2 27 7x xy-xy-x2 2y y2 2-x-x3 3y y3 3 8 827x27x3 3+9x+9x2 2y y9.24x9.24x3 3y-18xy-18x2 2y 10.7ma+14may 10.7ma+14ma2 211.-16x11.-16x4 4+32x+32x3 3-56x-56x2 2 12.-7ab-14abx+49aby12.-7ab-14abx+49aby99?399 -能被能被100整除吗整除吗你是怎样想的你是怎样想的?与同伴交流与同伴交流.993-99=99992-99 1=99 (992-1)=99 (99+1)(99 -1)= 9910098 所以所以, 993-99能被能被100整除整除.想一想想一想: 993-99还能被哪些整数整除还能被哪些整数整除?练习三练习三拓展应用拓展应用1. 计算计算: 765217235217解解: 765217235217=17(7652 2352)=17(765+235)(765 235)=17 1000 530=9010000解解: 20042+2004=2004(2004+1)=2004 200520042+2004能被能被2005整除整除2. 能被能被2005 整除吗整除吗?20042+20042 2、确定公因式的方法：、确定公因式的方法：一看一看系数系数二看二看字母字母三看三看指数指数课堂小结课堂小结3 3、提公因式法分解因式步骤、提公因式法分解因式步骤( (分两步分两步) )：第一步，第一步，确定公因式；确定公因式；第二步，第二步，求出另一个因式求出另一个因式第三步第三步, , 写成积的形式写成积的形式1 1、什么叫因式分解？、什么叫因式分解？5.5.分解因式与整式乘法是互逆过程分解因式与整式乘法是互逆过程. .6.6.分解因式要注意以下几点分解因式要注意以下几点: :（1 1）分解的对象必须是多项式）分解的对象必须是多项式. .（2 2）分解的结果一定是几个整式的乘积的形式）分解的结果一定是几个整式的乘积的形式. .（3 3）要分解到不能分解为止）要分解到不能分解为止. .4 4、用提公因式法分解因式应注意的问题、用提公因式法分解因式应注意的问题：（1 1）公因式要提尽；）公因式要提尽； （2 2）小心漏掉）小心漏掉1 1（3 3）多项式的首项取正号）多项式的首项取正号（2 2）分解分解-4-4x x3 3+8x+8x2 2+16x+16x的结果是（的结果是（ ）（A A）-x(4x-x(4x2 2-8x+16) -8x+16) （B B）x(-4xx(-4x2 2+8x-16)+8x-16)（C C）4(-x4(-x3 3+2x+2x2 2-4x) -4x) （D D）-4x(x-4x(x2 2-2x-4)-2x-4)D（1 1）多项式多项式6 6abab2 2+18a+18a2 2b b2 2-12a-12a3 3b b2 2c c的公因式（的公因式（ ） （A A）6ab6ab2 2c c （B B）abab2 2 （C C）6ab6ab2 2 （D D）6a6a3 3b b2 2C CC1.1.选择选择课后练习课后练习(3)(3)若多项式若多项式-6-6ab+18abx+24abyab+18abx+24aby的一个因式的一个因式是是-6-6abab，那么另一个因式是（那么另一个因式是（ ） （A A）-1-3x+4y -1-3x+4y （B B）1+3x-4y1+3x-4y （C C）-1-3x-4y -1-3x-4y （D D）1-3x-4y1-3x-4yD D2.2.若多项式若多项式(a+b)x2+(a+b)x(a+b)x2+(a+b)x要分解因式要分解因式, ,则要则要提的公因式是提的公因式是 . . (a+b)x(a+b)x把下列各多项式因式分解把下列各多项式因式分解1)-4a1)-4a3 3b b3 3+6a+6a2 2b-2ab b-2ab 2 2）-9a-9a2 2b b3 3-12ab-12ab4 4+15ab+15ab5 53)-4x3)-4x3 3y+2xy+2x2 2y y2 2+xy+xy3 3 4 ) -x4 ) -x4 4y y2 2-2x-2x2 2y-xyy-xy1.定系数：公因式的系数是多项式定系数：公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数各项系数的最大公约数.2.定字母：字母取多项式各项中都含定字母：字母取多项式各项中都含有的相同的字母有的相同的字母.3.定指数：相同字母的指数取各项定指数：相同字母的指数取各项中最小的一个，即最低次幂中最小的一个，即最低次幂.确定公因式的方法：确定公因式的方法：公因式要提尽公因式要提尽例例: 找找 3 x 2 6 xy 的公因式。的公因式。定系数定系数3定字母定字母x 所以，公因式是所以，公因式是3 x .定指数定指数1思考：思考：如何确定各项提公因式后剩余的因式？如何确定各项提公因式后剩余的因式？用公因式去除这个多项式，所得的商作为另一个因式用公因式去除这个多项式，所得的商作为另一个因式.作业：作业：A套：P119习题14.3第1题， 4题（1），6题B套：P115练习1,2,3家庭：学习之友P55-56提公因式法