11.3 角的平分线的性质角的平分线的性质(二二)1 1、会用尺规作角的平分线、会用尺规作角的平分线. .角的平分线上的点到角的两边的距离相等角的平分线上的点到角的两边的距离相等2 2、角的平分线的性质、角的平分线的性质: :OCB1A2PDEPDOAPDOA，PEOBPEOB OC OC是是AOBAOB的平分线的平分线 PD PDPEPE用数学语言表述用数学语言表述：复习回顾复习回顾 反过来，到一个角的两边的距离相等的点是否反过来，到一个角的两边的距离相等的点是否一定在这个角的平分线上呢？一定在这个角的平分线上呢？ 已知：如图,QDOA，QEOB，点D、E为垂足，QDQE求证：点Q在AOB的平分线上思考思考证明证明: : QDOAQDOA，QEOBQEOB（已知），（已知）， QDOQDOQEOQEO9090（垂直的定义）（垂直的定义）在在RtQDORtQDO和和RtQEORtQEO中中 QOQOQOQO（公共边）（公共边） QD=QEQD=QE RtQDORtQEO RtQDORtQEO（HLHL） QODQODQOEQOE 点点Q Q在在AOBAOB的平分线上的平分线上 已知：如图,QDOA，QEOB，点D、E为垂足，QDQE求证：点Q在AOB的平分线上到角的两边的距离相等的点在角的平到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。分线上。 QDOA，QEOB，QDQE点Q在AOB的平分线上用数学语言表示为：角的平分线上的点到角的两边的距离相等角的平分线上的点到角的两边的距离相等. . QDOA,QEOB,点Q在AOB的平分线上 QDQE归纳归纳 1.1.如图如图, ABC, ABC的角平分线的角平分线BM,CNBM,CN相交于点相交于点P,P, 求证：点求证：点P P到三边到三边ABAB、BCBC、CACA的距离相等的距离相等BMBM是是ABCABC的角平分线的角平分线, ,点点P P在在BMBM上上, ,ABCPMNDEFPD=PEPD=PE( (角平分线上的点到这个角的两边距离相等角平分线上的点到这个角的两边距离相等).).同理同理,PE=PF.,PE=PF.PDPDPE=PF.PE=PF.即点即点P P到三边到三边ABAB、BCBC、CACA的距离相等的距离相等 证明：过点证明：过点P P作作PDABPDAB于于D D， PEBCPEBC于于E E，PFACPFAC于于F F练一练2.2.如图，已知如图，已知ABCABC的外角的外角CBDCBD和和BCEBCE的平的平分线相交于点分线相交于点F F，求证：点求证：点F F在在DAEDAE的平分线上的平分线上 证明：过点F作FGAE于G，FHAD于H，FMBC于MGHM点F在BCE的平分线上， FGAE， FMBCFGFM又点F在CBD的平分线上， FHAD， FMBCFMFHFGFH 点F在DAE的平分线上3.如图，在ABC中，D是BC的中点，DEAB，DFAC，垂足分别是E，F，且BECF。求证：AD是ABC的角平分线。ABCEFD知识应用知识应用 1、如图，为了促进当地旅游发展，某地要在三条公路围成的一块平地上修建一个度假村.要使这个度假村到三条公路的距离相等,应在何处修建?想一想 在确定度假村的位置时,一定要画出三个角的平分线吗?你是怎样思考的?你是如何证明的?拓展与延伸拓展与延伸2、直线表示三条相互交叉的公路,现要建一个货物中转站,要求它到三条公路的距离相等,则可供选择的地址有:( ) A.一处 B. 两处 C.三处 D.四处分析:由于没有限制在何处选址,故要求的地址共有四处。到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。 QDOA，QEOB，QDQE点Q在AOB的平分线上用数学语言表示为：课时小结1 1、已知、已知:BDAM:BDAM于点于点D,CEAND,CEAN于点于点 E,BD,CEE,BD,CE交点交点F,CF=BF,F,CF=BF,求证求证: :点点F F在在A A的平分线上的平分线上. .A A A A A A ADNE BFMCA拓展提高拓展提高