第一节第一节 两个基本计数原理两个基本计数原理基础梳理基础梳理1. 分类计数原理(加法原理)完成一件事，有n类方式，在第1类方式中有m1种不同的方法，在第2类方式中有m2种不同的方法，,在第n类方式中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N= 种不同的方法.2. 分步计数原理(乘法原理)完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N= 种不同的方法.典例分析典例分析题型一题型一 分类计数原理和分步计数原理的简单应用分类计数原理和分步计数原理的简单应用【例1】甲同学有若干本课外参考书，其中有5本不同的数学书，4本不同的物理书，3本不同的化学书.现在乙同学向甲同学借书,试问：（1）若借一本书，则有多少种不同的借法？（2）若每科各借一本，则有多少种不同的借法？（3）若借两本不同学科的书，则有多少种不同的借法？分析 仔细区分是“分类”还是“分步”.解 （1）因为需完成的事情是“借一本书”，所以借给他数学、物理、化学书中的任何一本，都可以完成这件事情.故用分类计数原理，共有5+4+3=12（种）不同的借法.（2）需完成的事情是“每科各借一本书”，意味着要借给乙三本书，只有从数学、物理、化学三科中各借一本，才能完成这件事情.故用分步计数原理，共有543=60（种）不同的借法.（3）需完成的事情是“从三种学科的书中借两本不同学科的书”，要分三种情况：借一本数学书和一本物理书，只有两本书都借，事情才能完成，由分步计数原理知，有54=20（种）借法；借一本数学书和一本化学书，同理，由分步计数原理知，有53=15（种）借法；借一本物理书和一本化学书，同理，由分步计数原理知，有43=12（种)借法.而上述的每一种借法都可以独立完成这件事情，由分类计数原理知，共有20+15+12=47（种）不同的借法.学后反思正确区分和使用两个原理是学好本单元的关键.区分“分类”与“分步”的依据在于能否“一次性”完成. 若能“一次性”完成，则不需“分步”，只需分类；否则就分步处理.举一反三举一反三1. （2009通州调研）若5名运动员争取3个项目冠军，则不同的获奖结果有种.答案： 125解析： 从得冠军角度考虑，分三步，每个项目得冠军的结果有5种，共 种.题型二题型二 两个计数原理的综合应用两个计数原理的综合应用【例2】(14分)现有高一四个班学生34人，其中一、二、三、四班各7人、8人、9人、10人，他们自愿组成数学课外小组.（1）选其中一人为负责人，有多少种不同的选法？（2）每班选一名组长，有多少种不同的选法？（3）推选两人作中心发言，这两人需来自不同的班级，有多少种不同的选法？分析 （1）是从四个班的34人中选一人，应分类求解;（2）是从各班中选一人，共选4人，应分步求解；（3）是先根据不同班级分类，再分步从两个班级中各选1人.解 （1）分四类，第一类，从一班学生中选1人，有7种选法；第二类，从二班学生中选1人，有8种选法；第三类，从三班学生中选1人，有9种选法；第四类，从四班学生中选1人，有10种选法，所以，共有不同的选法N=7+8+9+10=34(种).4(2)分四步，第一、二、三、四步分别从一、二、三、四班学生中选一人任组长，所以共有不同的选法N=78910=5 040(种)8（3）分六类，每类又分两步，从一班、二班学生中各选1人，有78种不同的选法；从一、三班学生中各选1人，有79种不同的选法；从一、四班学生中各选1人，有710种不同的选法；从二、三班学生中各选1人，有89种不同的选法；从二、四班学生中各选1人，有810种不同的选法；从三、四班学生中各选1人，有910种不同的选法.12所以共有不同的选法N=78+79+710+89+810+910=431(种).14学后反思 对于复杂问题，不能只用分类加法计数原理或分步乘法计数原理解决时，可以综合应用两个原理，可以先分类，在某一类中再分步，也可先分步，在某一步中再分类.举一反三举一反三2. 某通信公司推出一组手机卡号码，卡号的前七位数字固定，从“0000”到“9999”共10 000个号码.公司规定：凡卡号的后四位带有数字“4”或“7”的一律作为“优惠卡”，则这组号码中“优惠卡”的个数为.答案： 5904解析： 10 000个号码中不含4、7的有 =4096，故这组号码中“优惠卡”的个数为10 000-4 096=5 904.【例3】（2009辽宁模拟改编）一生产过程有四道工序，每道工序需要安排一人照看.现从甲、乙、丙等6名工人中安排4人分别照看一道工序，第一道工序只能从甲、乙两工人中安排1人，第四道工序只能从甲、丙两工人中安排1人，则不同的安排方案共有 .分析 首先根据第一道工序将问题分为两类，对两类分别求解，再由分类计数原理求解.解 依题意知,若第一道工序由甲来完成，则第四道工序必由丙来完成，故完成方案共有43=12(种)；若第一道工序由乙来完成，则第四道工序必由甲、丙二人之一来完成，故完成方案共有1243=24(种).所以不同的安排方案共有12+24=36(种).学后反思 有些较复杂的问题，既要“分类”又要“分步”，应明确按什么标准“分类”、“分步”.不同的标准，可以有不同的解法，解题时应择优而行.举一反三举一反三3.（2008重庆）某人有4种颜色的灯泡（每种颜色的灯泡足够多），要在如图所示的6个点A、B、C、 、 、 上各装一个灯泡，要求同一条线段两端的灯泡不同色，则每种颜色的灯泡都至少用一个的安装方法共有种.（用数字作答）答案： 216解析： 处4种， 处3种， 处2种，则底面共432=24（种）.根据A点和 点两处灯泡的颜色相同或不相同分为两类:(1)A, 颜色相同，则B处有3种，C处有1种，则共有31=3种;(2)A, 颜色不同，则A处有2种,B处和C处共有3种，则共有32=6（种）.由分类计数原理得上底面共9种，再由分步计数原理得共有249=216（种）.易错警示易错警示【例1】一件工作可以用2种方法完成，有5人会用第1种方法完成，另有4人会用第2种方法完成.从中选出1人来完成这件工作，不同选法的种数是.错解 2错解分析 由于每个人都是不同的个体，所以该题中不同的选法中实际是选人，而不是选方法来完成这项工作.正解 9【例2】在一次运动会上有4项比赛的冠军在甲、乙、丙三人中产生，那么不同的夺冠情况共有种.错解分析 错解是没有理解乘法原理的概念，盲目地套用公式. 错解 把4个冠军，排在甲、乙、丙三个位置上，故有 =24(种).正解 4项比赛的冠军依次在甲、乙、丙三人中选取，每项冠军都有3种选取方法，由乘法原理共有3333= =81（种）.说明： 本题还有这样的错解，甲、乙、丙夺冠均有4种情况，由乘法原理得 .这是由于没有考虑到某项冠军一旦被一人夺得后，其他人就不再有4种夺冠可能.考点演练考点演练10. 一个袋子里装有10张不同的中国移动手机卡，另一个袋子里装有12张不同的中国联通手机卡.（1）某人要从两个袋子中任取一张自己用的手机卡，共有多少种不同的取法？（2）某人想得到一张中国移动卡和一张中国联通卡，供自己今后选择使用，共有多少种不同的取法？解析： （1）任取一张手机卡，可以从10张不同的中国移动卡中任取一张，或从12张不同的中国联通卡中任取一张，每一类办法都能完成这件事,故应用分类计数原理，有10+12=22（种）取法.（2）从移动、联通卡中各取一张，则要分两步完成：从移动卡中任取一张，再从联通卡中任取一张，故应用分步计数原理,有1012=120(种)取法.11. 用5种不同的颜色给图中的4个区域涂色，每个区域涂一种颜色，若要求相邻（有公共边）的区域不同色，那么共有多少种不同的涂色方法？解析： 第一类：1号区域与3号区域同色时，有541480(种)涂法；第二类：1号区域与3号区域异色时，有5433180(种)涂法.依据分类计数原理知不同的涂色方法有80180260(种)不同的涂色方法.132412. (2009辽宁模拟)给一个各边不等的凸五边形的各边染色，每条边可以染红、黄、蓝三种颜色中的一种，但是不允许相邻的边有相同的颜色，则不同的染色方法共有多少种？解析： 如图，染五条边总体分五步，染每一边为一步.当染边1时有3种染法，则2有2种染法.（1）当3与1同色时有1种染法，则4有2种，5有1种，此时染法总数为32121=12(种)；（2）当3与1不同色时，3有1种，当4与1同色时，4有1种，5有2种；当4与1不同色时，4有1种，5有1种，则此时有321(12+11)=18（种）.综合(1)、(2)可得染法的种数为30种.