第十四章第十四章达郎达郎贝尔原理原理理论力学第14章达郎贝尔原理主要内容主要内容14.2 14.2 质点系的质点系的达郎贝尔原理达郎贝尔原理14.3 14.3 刚体惯性刚体惯性力系的简化力系的简化14.1 14.1 惯性力惯性力 质点的达郎贝尔原理质点的达郎贝尔原理 理论力学第14章达郎贝尔原理 本章讨论本章讨论达朗伯原理达朗伯原理，它提供了解决，它提供了解决质点和质点系动力学问题的普遍方法，质点和质点系动力学问题的普遍方法，这种方法就是用静力学的方法来研究动这种方法就是用静力学的方法来研究动力学的问题，从而把动力学问题形式上力学的问题，从而把动力学问题形式上转化为静力学问题，转化为静力学问题，根据关于平衡的理根据关于平衡的理论来求解。论来求解。所以又称之为所以又称之为动静法动静法。应用应用动静法既可求运动，例如加速度、角加动静法既可求运动，例如加速度、角加速度；也可以求力。速度；也可以求力。达郎贝尔原理达郎贝尔原理理论力学第14章达郎贝尔原理14.1 14.1 惯性力惯性力 质点的达郎贝尔原质点的达郎贝尔原理理 设一质点的质量为设一质点的质量为 ，加速度为，加速度为 ，作用于质点的主动，作用于质点的主动力为力为 ，约束力为，约束力为 ，如图。由牛顿第二定律，有，如图。由牛顿第二定律，有将上式移项写为将上式移项写为令令有有 具有力的量纲，称为具有力的量纲，称为质点的惯性力质点的惯性力：它的大小等于质点的：它的大小等于质点的质量与加速度的乘积，它的方向与质点加速度的方向相反。质量与加速度的乘积，它的方向与质点加速度的方向相反。作用在质点上的主动力、约束力和虚加的惯性力在形式上组作用在质点上的主动力、约束力和虚加的惯性力在形式上组成平衡力系，这就是质点的成平衡力系，这就是质点的达郎贝尔原理达郎贝尔原理。理论力学第14章达郎贝尔原理 如如如如图图图图所所所所示示示示一一一一圆圆圆圆锥锥锥锥摆摆摆摆。质质质质量量量量m m = = 0.1 0.1 kgkg的的的的小小小小球球球球系系系系于于于于长长长长l l = = 0.3 0.3 m m 的的的的绳绳绳绳上上上上，绳绳绳绳的的的的一一一一端端端端系系系系在在在在固固固固定定定定点点点点O O，并并并并与与与与铅铅铅铅直直直直线线线线成成成成 =60=60 角角角角。如如如如小小小小球球球球在在在在水水水水平平平平面面面面内内内内作作作作匀匀匀匀速速速速圆圆圆圆周周周周运运运运动动动动，求求求求小小小小球球球球的的的的速速速速度度度度v v与与与与绳绳绳绳的的的的张张张张力力力力F F的的的的大大大大小。小。小。小。 O Ol l 例例例例 题题题题 14-1 14-114.1 14.1 惯性力惯性力 质点的达郎贝尔原质点的达郎贝尔原理理 理论力学第14章达郎贝尔原理例例例例 题题题题 14-1 14-1运运 动动 演演 示示14.1 14.1 惯性力惯性力 质点的达郎贝尔原质点的达郎贝尔原理理 理论力学第14章达郎贝尔原理O Ol l 取上式在自然轴上的投影式，有：取上式在自然轴上的投影式，有：取上式在自然轴上的投影式，有：取上式在自然轴上的投影式，有：根据达郎贝尔原理，这三力在形式上组成平根据达郎贝尔原理，这三力在形式上组成平根据达郎贝尔原理，这三力在形式上组成平根据达郎贝尔原理，这三力在形式上组成平衡系，即衡系，即衡系，即衡系，即e en ne et te eb bm mg gF*F*例例例例 题题题题 14-1 14-1解解解解：以以以以小小小小球球球球为为为为研研研研究究究究的的的的质质质质点点点点。质质质质点点点点作作作作匀匀匀匀速速速速圆圆圆圆周周周周运运运运动动动动，只只只只有有有有法法法法向向向向加加加加速速速速度度度度，在在在在质质质质点点点点上上上上除除除除作作作作用用用用有有有有重重重重力力力力m mg g和和和和绳绳绳绳拉拉拉拉力力力力F F外外外外，再再再再加加加加上上上上法法法法向向向向惯惯惯惯性性性性力力力力F*F*，如图所示。，如图所示。，如图所示。，如图所示。F F14.1 14.1 惯性力惯性力 质点的达郎贝尔原质点的达郎贝尔原理理 理论力学第14章达郎贝尔原理解得：解得：解得：解得：例例例例 题题题题 14-1 14-1O Ol l e en ne et te eb bm mg gF*F*F F14.1 14.1 惯性力惯性力 质点的达郎贝尔原质点的达郎贝尔原理理 理论力学第14章达郎贝尔原理14.2 14.2 质点系质点系的达郎贝尔原理的达郎贝尔原理设质点系由设质点系由 个质点组成，其中任一个质点个质点组成，其中任一个质点 的质量为的质量为 ，加速度为，加速度为 ，把作用于此质点上的所有力分为主动力的，把作用于此质点上的所有力分为主动力的合力合力 、约束力的合力、约束力的合力 ，对这个质点假想地加上它的，对这个质点假想地加上它的惯性力惯性力 ，由质点的达郎贝尔原理，有，由质点的达郎贝尔原理，有上式表明，质点系中每个质点上作用的主动力、约束力和它上式表明，质点系中每个质点上作用的主动力、约束力和它的惯性力在形式上组成平衡力系，这就是的惯性力在形式上组成平衡力系，这就是质点系的达郎贝尔质点系的达郎贝尔原理。原理。把作用于第把作用于第 个质点上的所用力分为外力的合力个质点上的所用力分为外力的合力 ，内，内力的合力力的合力 ，则上式可改写为，则上式可改写为这表明，质点系中每个质点上作用的外力、内力和它的惯性这表明，质点系中每个质点上作用的外力、内力和它的惯性力在形式上组成平衡力系。力在形式上组成平衡力系。理论力学第14章达郎贝尔原理由静力学知，空间任意力系平衡的充分必要条件是力系的主由静力学知，空间任意力系平衡的充分必要条件是力系的主矢和对于任一点的主矩等于零，即矢和对于任一点的主矩等于零，即由于质点系的内力总是成对存在，且等值、反向、共线，因由于质点系的内力总是成对存在，且等值、反向、共线，因此有此有 和和 ，于是有，于是有上式表明，作用在质点系上的外力和虚加在每个质点上的惯上式表明，作用在质点系上的外力和虚加在每个质点上的惯性力在形式上组成平衡力系，这是性力在形式上组成平衡力系，这是质点系达郎贝尔原理质点系达郎贝尔原理的又的又一表述。一表述。14.2 14.2 质点系质点系的达郎贝尔原理的达郎贝尔原理理论力学第14章达郎贝尔原理在静力学中，称在静力学中，称 为主矢，为主矢， 为对点为对点 的主矩，现在称的主矩，现在称 为惯性力系的主矢，为惯性力系的主矢， 为惯性力系对点为惯性力系对点 的主矩。由质点系的达郎贝尔原理，这的主矩。由质点系的达郎贝尔原理，这在形式上也是一个平衡力系，因而可用静力学各章所述求解在形式上也是一个平衡力系，因而可用静力学各章所述求解各种平衡力系的方法，求解动力学问题。各种平衡力系的方法，求解动力学问题。14.2 14.2 质点系质点系的达郎贝尔原理的达郎贝尔原理理论力学第14章达郎贝尔原理 如如如如图图图图所所所所示示示示，滑滑滑滑轮轮轮轮的的的的半半半半径径径径为为为为r r，质质质质量量量量为为为为m m均均均均匀匀匀匀分分分分布布布布在在在在轮轮轮轮缘缘缘缘上上上上，可可可可绕绕绕绕水水水水平平平平轴轴轴轴转转转转动动动动。轮轮轮轮缘缘缘缘上上上上跨跨跨跨过过过过的的的的软软软软绳绳绳绳的的的的两两两两端端端端各各各各挂挂挂挂质质质质量量量量为为为为m m1 1和和和和m m2 2的的的的重重重重物物物物, ,且且且且m m1 1 m m2 2 。绳绳绳绳的的的的重重重重量量量量不不不不计计计计，绳绳绳绳与与与与滑滑滑滑轮轮轮轮之之之之间间间间无无无无相相相相对对对对滑滑滑滑动动动动，轴轴轴轴承承承承摩摩摩摩擦擦擦擦忽忽忽忽略略略略不计。求重物的加速度。不计。求重物的加速度。不计。求重物的加速度。不计。求重物的加速度。 OABr例例例例 题题题题 14-2 14-214.2 14.2 质点系质点系的达郎贝尔原理的达郎贝尔原理理论力学第14章达郎贝尔原理例例例例 题题题题 14-2 14-2运运 动动 演演 示示14.2 14.2 质点系质点系的达郎贝尔原理的达郎贝尔原理理论力学第14章达郎贝尔原理OABry解解解解：以以以以滑滑滑滑轮轮轮轮与与与与两两两两重重重重物物物物一一一一起起起起组组组组成成成成所所所所研研研研究究究究的的的的质质质质点点点点系系系系。作作作作用用用用在在在在该该该该系系系系统统统统上上上上的的的的外外外外力力力力有有有有重重重重力力力力m m1 1g g，m m2 2g g，m mg g和和和和轴轴轴轴承承承承约约约约束束束束力力力力F FN N。在在在在系系系系统统统统中中中中每每每每个个个个质质质质点点点点上上上上假假假假想想想想地地地地加加加加上上上上惯惯惯惯性性性性力力力力后后后后，可可可可以以以以应应应应用用用用达达达达郎郎郎郎贝贝贝贝尔原理。尔原理。尔原理。尔原理。 已已已已知知知知m m1 1 m m2 2，则则则则重重重重物物物物的的的的加加加加速速速速度度度度a a方方方方向向向向如如如如图图图图所所所所示示示示。重重重重物物物物的的的的惯惯惯惯性性性性力力力力方方方方向向向向均均均均与与与与加加加加速速速速度度度度a a的的的的方方方方向向向向相反，大小分别为：相反，大小分别为：相反，大小分别为：相反，大小分别为：例例例例 题题题题 14-2 14-2a aa am m1 1g gm mg gm m2 2g gF FNN14.2 14.2 质点系质点系的达郎贝尔原理的达郎贝尔原理理论力学第14章达郎贝尔原理 滑轮边缘上各点的质量为滑轮边缘上各点的质量为滑轮边缘上各点的质量为滑轮边缘上各点的质量为滑轮边缘上各点的质量为滑轮边缘上各点的质量为m mmi i i ，切向惯性力，切向惯性力，切向惯性力，切向惯性力，切向惯性力，切向惯性力的大小为的大小为的大小为的大小为的大小为的大小为 ，方向沿轮缘切线，指向，方向沿轮缘切线，指向，方向沿轮缘切线，指向，方向沿轮缘切线，指向，方向沿轮缘切线，指向，方向沿轮缘切线，指向如图所示。当绳与轮之间无相对滑动时，如图所示。当绳与轮之间无相对滑动时，如图所示。当绳与轮之间无相对滑动时，如图所示。当绳与轮之间无相对滑动时，如图所示。当绳与轮之间无相对滑动时，如图所示。当绳与轮之间无相对滑动时，a aattt = =a aa ; ; ; 法向惯性力的大小为法向惯性力的大小为法向惯性力的大小为法向惯性力的大小为法向惯性力的大小为法向惯性力的大小为 方向方向方向方向方向方向沿半径背离中心。沿半径背离中心。沿半径背离中心。沿半径背离中心。沿半径背离中心。沿半径背离中心。或或或或应用对转轴的力矩方程，得应用对转轴的力矩方程，得应用对转轴的力矩方程，得应用对转轴的力矩方程，得例例例例 题题题题 14-2 14-2OABra aa am m1 1g gm mg gm m2 2g gF FNNymi14.2 14.2 质点系质点系的达郎贝尔原理的达郎贝尔原理理论力学第14章达郎贝尔原理因为因为因为因为解得解得解得解得例例例例 题题题题 14-2 14-2OABra aa am m1 1g gm mg gm m2 2g gF FNNymi14.2 14.2 质点系质点系的达郎贝尔原理的达郎贝尔原理理论力学第14章达郎贝尔原理 飞轮质量为飞轮质量为飞轮质量为飞轮质量为m m，半径为，半径为，半径为，半径为R R，以匀角速度，以匀角速度，以匀角速度，以匀角速度 转动。设轮缘转动。设轮缘转动。设轮缘转动。设轮缘较薄，质量均匀分布，轮辐质量不计。若不靠考虑重力的较薄，质量均匀分布，轮辐质量不计。若不靠考虑重力的较薄，质量均匀分布，轮辐质量不计。若不靠考虑重力的较薄，质量均匀分布，轮辐质量不计。若不靠考虑重力的影响，求轮缘横截面的张力。影响，求轮缘横截面的张力。影响，求轮缘横截面的张力。影响，求轮缘横截面的张力。 例例例例 题题题题 14-3 14-314.2 14.2 质点系质点系的达郎贝尔原理的达郎贝尔原理理论力学第14章达郎贝尔原理y yx xA AB BO O解：解：解：解：解：解：取四分之一轮缘为研究对象，如图所示。取四分之一轮缘为研究对象，如图所示。取四分之一轮缘为研究对象，如图所示。取四分之一轮缘为研究对象，如图所示。取四分之一轮缘为研究对象，如图所示。取四分之一轮缘为研究对象，如图所示。建立平衡方程建立平衡方程建立平衡方程建立平衡方程建立平衡方程建立平衡方程令令令令令令 ，有，有，有，有，有，有F FA AF FB B例例例例 题题题题 14-3 14-3 R R将轮缘分成无数微小的弧段，每段加惯性力将轮缘分成无数微小的弧段，每段加惯性力将轮缘分成无数微小的弧段，每段加惯性力将轮缘分成无数微小的弧段，每段加惯性力14.2 14.2 质点系质点系的达郎贝尔原理的达郎贝尔原理理论力学第14章达郎贝尔原理由于轮缘质量均分布，任一截面张力由于轮缘质量均分布，任一截面张力由于轮缘质量均分布，任一截面张力由于轮缘质量均分布，任一截面张力都相同。都相同。都相同。都相同。 再建立平衡方程再建立平衡方程再建立平衡方程再建立平衡方程同样解得同样解得同样解得同样解得例例例例 题题题题 14-3 14-3y yx xA AB BO OF FA AF FB B R R14.2 14.2 质点系质点系的达郎贝尔原理的达郎贝尔原理理论力学第14章达郎贝尔原理14.3 14.3 刚体刚体惯性力系的简化惯性力系的简化 用质点系的达郎贝尔原理求解质点系动力学问题，需要用质点系的达郎贝尔原理求解质点系动力学问题，需要对质点系内每个质点加上各自的惯性力，这些惯性力也形成对质点系内每个质点加上各自的惯性力，这些惯性力也形成一个力系，称为惯性力系。若利用静力学的力系简化理论，一个力系，称为惯性力系。若利用静力学的力系简化理论，求出惯性力系的主矢和主矩，代替具体求解时对每一个质点求出惯性力系的主矢和主矩，代替具体求解时对每一个质点所加的惯性力，将给解题带来方便。下面只讨论刚体平移，所加的惯性力，将给解题带来方便。下面只讨论刚体平移，定轴转动和平面运动时惯性力系的简化。以定轴转动和平面运动时惯性力系的简化。以 表示惯性力表示惯性力系的主矢，由系的主矢，由 及质心运动定理，及质心运动定理，有有此式对任何质点系做任意运动均成立，当然适用于作平移、此式对任何质点系做任意运动均成立，当然适用于作平移、定轴转动与平面运动的刚体。定轴转动与平面运动的刚体。下面介绍三种常见的情况下惯性力系的简化下面介绍三种常见的情况下惯性力系的简化 理论力学第14章达郎贝尔原理1 1、刚体作平移、刚体作平移刚体平移时，每一瞬时刚体内任一质点刚体平移时，每一瞬时刚体内任一质点 的加速度的加速度 与与质心质心 的加速度的加速度 相同，有相同，有 ，刚体的惯性力，刚体的惯性力系分布如图，任选一点系分布如图，任选一点 为简化中心，主矩用为简化中心，主矩用 表示，表示，有有式中，式中， 为质心为质心 到简化中心到简化中心 的矢径，此主矩一般不为零。若选的矢径，此主矩一般不为零。若选质心质心 为简化中心，主矩以为简化中心，主矩以 表示，则表示，则 ，有，有刚体平移时，惯性力对任意点刚体平移时，惯性力对任意点 的主矩一般不为零。若选的主矩一般不为零。若选质心为简化中心，其主矩为零，简化为一合力。因此有结论：质心为简化中心，其主矩为零，简化为一合力。因此有结论：平移刚体的惯性力系可以简化为通过质心的合力，其大小等平移刚体的惯性力系可以简化为通过质心的合力，其大小等于刚体的质量与加速度的乘积，合力的方向与加速度方向相于刚体的质量与加速度的乘积，合力的方向与加速度方向相反。反。14.3 14.3 刚体刚体惯性力系的简化惯性力系的简化理论力学第14章达郎贝尔原理2 2、刚体定轴转动、刚体定轴转动刚体定轴转动时，设刚体的角速度为刚体定轴转动时，设刚体的角速度为 ，角加速度为，角加速度为 ，刚体内任一质点的质量为，刚体内任一质点的质量为 ，到转轴的距离为，到转轴的距离为 ，则，则刚体内任一质点的惯性力刚体内任一质点的惯性力 。为简单起，在转。为简单起，在转轴上任选一点轴上任选一点 为简化中心，建立直角坐标系如图，质点为简化中心，建立直角坐标系如图，质点的坐标为的坐标为 质点的惯性力质点的惯性力 可分解为可分解为切向惯性力切向惯性力 与法向惯性力与法向惯性力 。它。它们的方向如图，大小分别为们的方向如图，大小分别为 14.3 14.3 刚体刚体惯性力系的简化惯性力系的简化理论力学第14章达郎贝尔原理惯性力系对惯性力系对 轴的矩为轴的矩为而而则则记记称其为对于称其为对于 轴的惯性积，它取决于刚体质量对于坐标轴轴的惯性积，它取决于刚体质量对于坐标轴的分布情况。于是，惯性力系对于的分布情况。于是，惯性力系对于 轴的矩为轴的矩为同理可得惯性力系对于同理可得惯性力系对于 轴的矩为轴的矩为14.3 14.3 刚体刚体惯性力系的简化惯性力系的简化理论力学第14章达郎贝尔原理惯性力系对于惯性力系对于 轴的矩为轴的矩为由于各质点的法向惯性力均通过轴由于各质点的法向惯性力均通过轴 ， ，有，有综上可得，刚体定轴转动时，惯性力系向转轴上一点综上可得，刚体定轴转动时，惯性力系向转轴上一点 简简化的主矩为化的主矩为如果刚体有质量对称平面且该平面与转轴如果刚体有质量对称平面且该平面与转轴 垂直，简化中垂直，简化中心心 取为此平面与转轴取为此平面与转轴 的交点，则的交点，则则惯性力系的主矩为则惯性力系的主矩为14.3 14.3 刚体刚体惯性力系的简化惯性力系的简化理论力学第14章达郎贝尔原理3 3、刚体、刚体作平面运动（平行于质量对称平面）作平面运动（平行于质量对称平面）工程中，作平面运动的刚体常常有质量对称平面，且平行于工程中，作平面运动的刚体常常有质量对称平面，且平行于此平面运动，现仅限于讨论这种情况下惯性力系的简化。与此平面运动，现仅限于讨论这种情况下惯性力系的简化。与刚体绕定轴转动相似，刚体作平面运动，其上各质点的惯性刚体绕定轴转动相似，刚体作平面运动，其上各质点的惯性力组成的空间力系，可简化为在质量对称平面内的平面力系。力组成的空间力系，可简化为在质量对称平面内的平面力系。取质量对称平面内的平面图形图示。由运动学知，平面图形取质量对称平面内的平面图形图示。由运动学知，平面图形的运动可分解为随基点的平移与绕基点的转动。现取质心的运动可分解为随基点的平移与绕基点的转动。现取质心 为基点，设质心的加速度为为基点，设质心的加速度为 ，绕质心转动的角速度为，绕质心转动的角速度为 ，角加速度为，角加速度为 ，与刚体绕定轴转动相似，此时惯性力系，与刚体绕定轴转动相似，此时惯性力系向质心向质心 简化的主矩为简化的主矩为式中，式中， 为刚体对通过质心且垂直于质量对称平面的轴的为刚体对通过质心且垂直于质量对称平面的轴的转动惯量。转动惯量。14.3 14.3 刚体刚体惯性力系的简化惯性力系的简化理论力学第14章达郎贝尔原理于是得结论：有质量对称平面的刚体，平行于此平面于是得结论：有质量对称平面的刚体，平行于此平面运动时，刚体的惯性力系简化为在此平面内的一个力运动时，刚体的惯性力系简化为在此平面内的一个力和一个力偶。这个力通过质心，其大小等于刚体的质和一个力偶。这个力通过质心，其大小等于刚体的质量与质心加速度的乘积，其方向与质心加速度的方向量与质心加速度的乘积，其方向与质心加速度的方向相反；这个力偶的矩等于刚体对过质心且垂直于质量相反；这个力偶的矩等于刚体对过质心且垂直于质量对称面的轴的转动惯量与角加速度的乘积，转向与角对称面的轴的转动惯量与角加速度的乘积，转向与角加速度相反。加速度相反。14.3 14.3 刚体刚体惯性力系的简化惯性力系的简化理论力学第14章达郎贝尔原理 动画动画转子制造或安装的不同情况及其轴承动反力转子制造或安装的不同情况及其轴承动反力转子制造或安装的不同情况及其轴承动反力转子制造或安装的不同情况及其轴承动反力理想情况理想情况理想情况理想情况理论力学第14章达郎贝尔原理 动画动画偏心情况偏心情况偏心情况偏心情况转子制造或安装的不同情况及其轴承动反力转子制造或安装的不同情况及其轴承动反力转子制造或安装的不同情况及其轴承动反力转子制造或安装的不同情况及其轴承动反力理论力学第14章达郎贝尔原理 动画动画偏角情况偏角情况偏角情况偏角情况转子制造或安装的不同情况及其轴承动反力转子制造或安装的不同情况及其轴承动反力转子制造或安装的不同情况及其轴承动反力转子制造或安装的不同情况及其轴承动反力理论力学第14章达郎贝尔原理 动画动画一般情况一般情况一般情况一般情况转子制造或安装的不同情况及其轴承动反力转子制造或安装的不同情况及其轴承动反力转子制造或安装的不同情况及其轴承动反力转子制造或安装的不同情况及其轴承动反力理论力学第14章达郎贝尔原理 动画动画转子的静平衡检查转子的静平衡检查转子的静平衡检查转子的静平衡检查理论力学第14章达郎贝尔原理 动画动画转子的静平衡转子的静平衡转子的静平衡转子的静平衡1 1理论力学第14章达郎贝尔原理 动画动画转子的静平衡转子的静平衡转子的静平衡转子的静平衡2 2理论力学第14章达郎贝尔原理 动画动画转子的动平衡转子的动平衡转子的动平衡转子的动平衡0 0理论力学第14章达郎贝尔原理 动画动画转子的动平衡转子的动平衡转子的动平衡转子的动平衡1 1理论力学第14章达郎贝尔原理 动画动画转子的动平衡转子的动平衡转子的动平衡转子的动平衡2 2理论力学第14章达郎贝尔原理 动画动画轴承的动反力轴承的动反力轴承的动反力轴承的动反力理论力学第14章达郎贝尔原理 如如如如图图图图所所所所示示示示，电电电电动动动动机机机机的的的的定定定定子子子子质质质质量量量量为为为为m m1 1，安安安安装装装装在在在在水水水水平平平平的的的的基基基基础础础础上上上上，转转转转轴轴轴轴O O与与与与水水水水平平平平面面面面距距距距离离离离为为为为h h。转转转转子子子子质质质质量量量量为为为为m m2 2，其其其其质质质质心心心心为为为为C C，偏偏偏偏心心心心距距距距OC=eOC=e，运运运运动动动动开开开开始始始始时时时时质质质质心心心心C C在在在在最最最最低低低低位位位位置置置置。转转转转子子子子匀匀匀匀角角角角速速速速度度度度 转转转转动动动动，求基础对电动机的约束力。求基础对电动机的约束力。求基础对电动机的约束力。求基础对电动机的约束力。 x xy y m m1 1g gm m2 2g gC CO Oh h 例例例例 题题题题 14-4 14-414.3 14.3 刚体刚体惯性力系的简化惯性力系的简化理论力学第14章达郎贝尔原理解解解解：以以以以电电电电机机机机整整整整体体体体为为为为研研研研究究究究对对对对象象象象。除除除除受受受受重重重重力力力力m m1 1g g和和和和m m2 2g g之之之之外外外外，基基基基础础础础及及及及地地地地脚脚脚脚螺螺螺螺钉钉钉钉对对对对电电电电机机机机作作作作用用用用约约约约束束束束力力力力向向向向点点点点A A简化为一力偶简化为一力偶简化为一力偶简化为一力偶MM与一力与一力与一力与一力F F( (图中图中图中图中F Fx x和和和和F Fy y) )。其其其其方方方方向向向向与与与与质质质质心心心心C C的的的的加加加加速速速速度度度度a aC C相相相相反反反反。因因因因a aC C沿沿沿沿OCOC连连连连线指向中心线指向中心线指向中心线指向中心O O，所以，所以，所以，所以F*F*沿沿沿沿OCOC而背离而背离而背离而背离O O点。点。点。点。 对对对对质质质质点点点点系系系系加加加加惯惯惯惯性性性性力力力力。转转转转子子子子绕绕绕绕定定定定轴轴轴轴O O以以以以角角角角速速速速度度度度 匀匀匀匀速速速速转转转转动动动动，惯惯惯惯性性性性力力力力系系系系简简简简化化化化为为为为一一一一个个个个通通通通过过过过O O点点点点的力，大小为的力，大小为的力，大小为的力，大小为例例例例 题题题题 14-4 14-4x xy y m m1 1g gm m2 2g gC CO Oh h F Fy yF Fx xMMA AF F* *14.3 14.3 刚体刚体惯性力系的简化惯性力系的简化理论力学第14章达郎贝尔原理因转子匀速转动，因转子匀速转动，因转子匀速转动，因转子匀速转动， = t = t ，代入上面方程组，代入上面方程组，代入上面方程组，代入上面方程组中，解得：中，解得：中，解得：中，解得： 根据达郎贝尔原理，作用于质点系的主动根据达郎贝尔原理，作用于质点系的主动根据达郎贝尔原理，作用于质点系的主动根据达郎贝尔原理，作用于质点系的主动力、约束力与惯性力在形式上组成平衡力系，力、约束力与惯性力在形式上组成平衡力系，力、约束力与惯性力在形式上组成平衡力系，力、约束力与惯性力在形式上组成平衡力系，可列出平衡方程：可列出平衡方程：可列出平衡方程：可列出平衡方程：例例例例 题题题题 14-4 14-4x xy y m m1 1g gm m2 2g gC CO Oh h F Fy yF Fx xMMA AF F* *14.3 14.3 刚体刚体惯性力系的简化惯性力系的简化理论力学第14章达郎贝尔原理 电电电电动动动动绞绞绞绞车车车车安安安安装装装装在在在在梁梁梁梁上上上上，梁梁梁梁的的的的两两两两端端端端搁搁搁搁在在在在支支支支座座座座上上上上，绞绞绞绞车车车车与与与与梁梁梁梁总总总总重重重重WW，如如如如图图图图所所所所示示示示。绞绞绞绞盘盘盘盘与与与与电电电电机机机机转转转转子子子子固固固固定定定定在在在在一一一一起起起起，转转转转动动动动惯惯惯惯量量量量为为为为J J。绞绞绞绞车车车车以以以以加加加加速速速速度度度度a a提提提提升升升升重重重重物物物物。已已已已知知知知重重重重物物物物质质质质量量量量为为为为m m，绞绞绞绞盘盘盘盘半半半半径径径径为为为为R R。求求求求由由由由于于于于加加加加速速速速提提提提升升升升物物物物而而而而对对对对支支支支座座座座A A，B B的附加压力。的附加压力。的附加压力。的附加压力。 A AB Bx xy ya al l1 1l l2 2l l3 3m mg gWW 例例例例 题题题题 14-5 14-514.3 14.3 刚体刚体惯性力系的简化惯性力系的简化理论力学第14章达郎贝尔原理A AB Bx xy ya al l1 1l l2 2l l3 3WW m mg g解解解解：取取取取梁梁梁梁和和和和绞绞绞绞车车车车、重重重重物物物物组组组组成成成成质质质质点点点点系系系系。作作作作用用用用于于于于质质质质点点点点系系系系的的的的外外外外力力力力有有有有重重重重力力力力m mg g，绞绞绞绞车车车车与与与与梁梁梁梁一一一一起起起起的的的的重重重重力力力力WW，约束力，约束力，约束力，约束力F FA A和和和和F FB B。方向如图所示，其余不动的部分没有惯性力。方向如图所示，其余不动的部分没有惯性力。方向如图所示，其余不动的部分没有惯性力。方向如图所示，其余不动的部分没有惯性力。F F * *F FA AF FB BMM* * 重重重重物物物物作作作作平平平平移移移移，其其其其惯惯惯惯性性性性力力力力系系系系的的的的合合合合力力力力通通通通过过过过重重重重心心心心，合力的大小为合力的大小为合力的大小为合力的大小为F F* * = = mama，方向与加速度方向相反；，方向与加速度方向相反；，方向与加速度方向相反；，方向与加速度方向相反； 应用达郎贝尔原理解本题，需对质点系加应用达郎贝尔原理解本题，需对质点系加应用达郎贝尔原理解本题，需对质点系加应用达郎贝尔原理解本题，需对质点系加惯性力。惯性力。惯性力。惯性力。 设设设设绞绞绞绞盘盘盘盘的的的的质质质质心心心心与与与与轴轴轴轴心心心心重重重重合合合合，于于于于是是是是惯惯惯惯性性性性力力力力系系系系简化为一力偶，力偶矩的大小为简化为一力偶，力偶矩的大小为简化为一力偶，力偶矩的大小为简化为一力偶，力偶矩的大小为例例例例 题题题题 14-5 14-514.3 14.3 刚体刚体惯性力系的简化惯性力系的简化理论力学第14章达郎贝尔原理解得：解得：解得：解得： 支座约束力、重力、惯性力系在形式上组支座约束力、重力、惯性力系在形式上组支座约束力、重力、惯性力系在形式上组支座约束力、重力、惯性力系在形式上组成平衡力系，可列出平衡方程：成平衡力系，可列出平衡方程：成平衡力系，可列出平衡方程：成平衡力系，可列出平衡方程：A AB Bx xy ya al l1 1l l2 2l l3 3m mg gF F * *WWF FA AF FB B MM* *例例例例 题题题题 14-5 14-514.3 14.3 刚体刚体惯性力系的简化惯性力系的简化理论力学第14章达郎贝尔原理附加压力（或附加动约束力）决定于惯性力系，附加压力（或附加动约束力）决定于惯性力系，附加压力（或附加动约束力）决定于惯性力系，附加压力（或附加动约束力）决定于惯性力系，只求附加压力时，列方程不必考虑重力。只求附加压力时，列方程不必考虑重力。只求附加压力时，列方程不必考虑重力。只求附加压力时，列方程不必考虑重力。 上上上上式式式式中中中中前前前前两两两两项项项项为为为为支支支支座座座座静静静静约约约约束束束束力力力力，后后后后一一一一项项项项为为为为附附附附加加加加动动动动约约约约束束束束力力力力，由由由由于于于于加加加加速速速速提提提提升升升升重重重重物物物物而而而而对对对对支支支支座座座座A A，B B的的的的附附附附加加加加压力等于动约束力，分别为压力等于动约束力，分别为压力等于动约束力，分别为压力等于动约束力，分别为A AB Bx xy ya al l1 1l l2 2l l3 3m mg gF F * *WWF FA AF FB B MM* *例例例例 题题题题 14-5 14-514.3 14.3 刚体刚体惯性力系的简化惯性力系的简化理论力学第14章达郎贝尔原理 均均均均质质质质圆圆圆圆盘盘盘盘质质质质量量量量为为为为m mA A，半半半半径径径径为为为为r r。细细细细长长长长杆杆杆杆长长长长l l=2=2r r，质质质质量量量量为为为为m m。杆杆杆杆端端端端A A点点点点与与与与轮轮轮轮心心心心为为为为光光光光滑滑滑滑铰铰铰铰接接接接，如如如如图图图图所所所所示示示示。如如如如在在在在A A处处处处加加加加一一一一水水水水平平平平拉拉拉拉力力力力F F，使使使使轮轮轮轮沿沿沿沿水水水水平平平平面面面面滚滚滚滚动动动动。问问问问F F力力力力多多多多大大大大能能能能使使使使杆杆杆杆的的的的B B端端端端刚刚刚刚刚刚刚刚离离离离开开开开地地地地面面面面？又又又又为为为为保保保保证证证证纯纯纯纯滚滚滚滚动动动动，轮轮轮轮与与与与地地地地面面面面间间间间的的的的静静静静滑滑滑滑动动动动摩摩摩摩擦擦擦擦系系系系数数数数应应应应为为为为多多多多大大大大？ m mA Ag gm mg gF FA AB BC C例例例例 题题题题 14-6 14-614.3 14.3 刚体刚体惯性力系的简化惯性力系的简化理论力学第14章达郎贝尔原理例例例例 题题题题 14-6 14-6运运 动动 演演 示示14.3 14.3 刚体刚体惯性力系的简化惯性力系的简化理论力学第14章达郎贝尔原理B BC Cm mg gA A解解解解解解：细细细细细细杆杆杆杆杆杆刚刚刚刚刚刚离离离离离离地地地地地地面面面面面面时时时时时时仍仍仍仍仍仍为为为为为为平平平平平平动动动动动动，而而而而而而地地地地地地面面面面面面约约约约约约束束束束束束力力力力力力为为为为为为零零零零零零，设设设设设设其其其其其其加加加加加加速速速速速速度度度度度度为为为为为为a aa。以以以以以以杆杆杆杆杆杆为为为为为为研研研研研研究究究究究究对对对对对对象象象象象象，杆杆杆杆杆杆承承承承承承受的力并加上惯性力如图所示，其中受的力并加上惯性力如图所示，其中受的力并加上惯性力如图所示，其中受的力并加上惯性力如图所示，其中受的力并加上惯性力如图所示，其中受的力并加上惯性力如图所示，其中F FF* *C C C = =mamama。 整个系统承受的力并加上惯性力如图，其中整个系统承受的力并加上惯性力如图，其中整个系统承受的力并加上惯性力如图，其中整个系统承受的力并加上惯性力如图，其中整个系统承受的力并加上惯性力如图，其中整个系统承受的力并加上惯性力如图，其中F FF* *A AA= =m mmA AAa aa , , , 由方程由方程由方程由方程 得得得得解出解出解出解出F F* *C CF FAxAxF FAyAya a按动静法列出方程按动静法列出方程按动静法列出方程按动静法列出方程m mA Ag gm mg gF FA AB BC C例例例例 题题题题 14-6 14-6F F* *AAF F* *C CMM* *14.3 14.3 刚体刚体惯性力系的简化惯性力系的简化理论力学第14章达郎贝尔原理A Am mA Ag gm mg gF FA AB BC CF F* *AAF F* *C CMM* *为求摩擦力，应以圆轮为研究对象。为求摩擦力，应以圆轮为研究对象。为求摩擦力，应以圆轮为研究对象。为求摩擦力，应以圆轮为研究对象。由方程由方程由方程由方程 ，得，得，得，得地面摩擦力地面摩擦力地面摩擦力地面摩擦力解得解得解得解得F FNNF Fs sm mA Ag gF FF FNNF F* *AAMM* *F Fs s例例例例 题题题题 14-6 14-614.3 14.3 刚体刚体惯性力系的简化惯性力系的简化理论力学第14章达郎贝尔原理 再再再再 以以以以 整整整整 个个个个 系系系系 统统统统 为为为为 研研研研 究究究究 对对对对 象象象象 ， 由由由由 方方方方 程程程程 ，得，得，得，得由此，地面摩擦系数由此，地面摩擦系数由此，地面摩擦系数由此，地面摩擦系数AF FNNF F* *AAF F* *C Cm mA Ag gm mg gF FB BC CMM* *F Fs sm mA Ag gF FAF FNNF F* *AAMM* *F Fs s例例例例 题题题题 14-6 14-614.3 14.3 刚体刚体惯性力系的简化惯性力系的简化理论力学第14章达郎贝尔原理 汽汽汽汽车车车车连连连连同同同同货货货货物物物物的的的的总总总总质质质质量量量量是是是是m m ，其其其其质质质质心心心心 C C 离离离离前前前前后后后后轮轮轮轮的的的的水水水水平平平平距距距距离离离离分分分分别别别别是是是是 b b 和和和和 c c ，离离离离地地地地面面面面的的的的高高高高度度度度是是是是 h h 。当当当当汽汽汽汽车车车车以以以以加加加加速速速速度度度度a a沿沿沿沿水水水水平平平平道道道道路路路路行行行行驶驶驶驶时时时时，求求求求地地地地面面面面给给给给前前前前、后后后后轮轮轮轮的的的的铅铅铅铅直直直直反反反反力力力力。轮轮轮轮子子子子的的的的质质质质量不计。量不计。量不计。量不计。A AB BC Cc cb bh h例例例例 题题题题 14-7 14-714.3 14.3 刚体刚体惯性力系的简化惯性力系的简化理论力学第14章达郎贝尔原理 取取取取汽汽汽汽车车车车连连连连同同同同货货货货物物物物为为为为研研研研究究究究对对对对象象象象。汽汽汽汽车车车车实实实实际际际际受受受受到到到到的的的的外外外外力力力力有有有有：重重重重力力力力 m mg g ，地地地地面面面面对对对对前前前前、后后后后轮轮轮轮的的的的铅铅铅铅直直直直反反反反力力力力 F FN NA A ， F FN NB B 以以以以及及及及水水水水平平平平摩摩摩摩擦擦擦擦力力力力 F FB B ( (注注注注意意意意：前前前前轮轮轮轮一一一一般般般般是是是是被被被被动动动动轮轮轮轮，当当当当忽忽忽忽略略略略轮轮轮轮子子子子质质质质量时，其摩擦力可以不计量时，其摩擦力可以不计量时，其摩擦力可以不计量时，其摩擦力可以不计) )。解：解：因汽车作平动，其惯性力系合成为作用在质心因汽车作平动，其惯性力系合成为作用在质心因汽车作平动，其惯性力系合成为作用在质心因汽车作平动，其惯性力系合成为作用在质心 C C 上的一个力上的一个力上的一个力上的一个力 F F * * = = MMa a 。于是可写出汽车的动态平衡方程于是可写出汽车的动态平衡方程于是可写出汽车的动态平衡方程于是可写出汽车的动态平衡方程A AB BC Cc cb ba ah hF FB BF F * *m mg gF FN NA AF FN NB B例例例例 题题题题 14-7 14-714.3 14.3 刚体刚体惯性力系的简化惯性力系的简化理论力学第14章达郎贝尔原理于是可写出汽车的动态平衡方程于是可写出汽车的动态平衡方程于是可写出汽车的动态平衡方程于是可写出汽车的动态平衡方程由式由式由式由式(1)(1)和和和和(2)(2)解得解得解得解得A AB BC Cc cb bh hF F * *a aF FB Bm mg gF FN NA AF FN NB B例例例例 题题题题 14-7 14-714.3 14.3 刚体刚体惯性力系的简化惯性力系的简化理论力学第14章达郎贝尔原理