二、典型例题分析与解答二、典型例题分析与解答 第二、三章机动 目录 上页 下页 返回 结束 一元函数微分学总结一、知识点与考点一、知识点与考点 机动 目录 上页 下页 返回 结束 一、知识点与考点一、知识点与考点(一)导数与微分若令定义:则2.左右导数:左导数:右导数:机动 目录 上页 下页 返回 结束 导函数简称导数,且有函数 y = f (x) 在点几何意义:处的导数表示曲线y = f (x)在点处的切线斜率.即有曲线的切线方程为3.导函数的定义:曲线的法线方程为 是 x0时比x 高阶的无穷小量,并称Ax为f (x)在其中A是与x 无关的量,若函数的增量可表示为y=Ax+ ,则称 y = f (x) 在点 x 处可微 ,机动 目录 上页 下页 返回 结束 记为dy , 即dy=Ax .5.微分的定义:由于x=dx ,所以6.微分的几何意义:点 x 处的微分,当y是曲线y = f (x) 上点的纵坐标的增量时, dy表示曲线的切线纵坐标的增量.定理1(导数存在的判定定理)定理2(函数可导与连续的关系)机动 目录 上页 下页 返回 结束 可导函数必连续,但连续函数未必可导.可导定理4.(函数与其反函数的导数的关系)可微反函数的导数等于直接函数导数的倒数.定理3.(函数一阶可导与可微的关系)机动 目录 上页 下页 返回 结束 (5)(6)(7)设 及(4) 均为可导函数,则复合函数 可导, 且或 (微分形式不变性)(1)(3)(2)导数与微分公式(3)(1)(2)(4)(8)机动 目录 上页 下页 返回 结束 (5)(6)(7)(9)机动 目录 上页 下页 返回 结束 (10)(11)(14)(15)(12)(13)(16)(17)例例1. 设求使存在的最高分析分析: 但是不存在 .2又机动 目录 上页 下页 返回 结束 隐函数的导数例例2.设函数 y= y (x) 由方程确定,求解法1:方程两边对x 求导数得:解得方程两边微分得:解法2:解得: 12.参数方程确定的函数的导数例例3. 设求机动 目录 上页 下页 返回 结束 解:13.对数求导法:求“幂指函数”及多个因子相乘除函数的导数时用对数求导法.解法解法1:取对数取对数机动 目录 上页 下页 返回 结束 等式两边对 x 求导数:则有:例例4. 设解法解法2:作作指数对数恒等变形指数对数恒等变形:机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例5. 设则有解解 取对数等式两边对 x 求导数:(二) 中值定理机动 目录 上页 下页 返回 结束 1.罗尔定理(1)在闭区间a , b上连续;(3) 且 f (a) = f (b) ;成立.(2)在开区间(a , b)内可导;若函数 f (x) 满足条件:则在开区间(a , b)内至少存在一点 使2.拉格朗日中值定理 若函数 f (x) 满足条件:(1)在闭区间a , b上连续;(2)在开区间(a , b)内可导;则在开区间(a , b)内至少存在一点 使等式3. 柯西中值定理机动 目录 上页 下页 返回 结束 成立.若函数 f (x) ,F (x) 满足条件:(1)在闭区间a , b上连续;(2)在开区间(a , b)内可导且则在开区间(a , b)内至少存在一点 使等式(三)导数的应用定理1 设函数 f (x)在(a , b)内可导,1. 函数的单调性若对都有则称 f (x)在(a , b)内单调增(减) .极值设函数 f (x) 在内有定义, x 为该邻域内异于机动 目录 上页 下页 返回 结束 的任意一点,若恒有(或则称为 f (x) 在该邻域的极大(小)值.极大值与极小值统称为函数的极值,方程使函数取得极值的点称为极值点.定理2. (函数取得极值的必要条件) 的根称为函数 f (x) 的驻点.则有设函数 f (x)在点 处可导,(可导函数的极值点必为驻点)且在该点处取得极值,定理3.机动 目录 上页 下页 返回 结束 (函数取得极值的第一充分条件)设函数 f (x)在内可导,(或 f (x)在点处连续但不可导).(1) 若当x 由左至右经过时由“+”变“”,则为函数的极大值.(2)若当x由左至右经过时由“-”变“+”,(3) 若当x由左至右经过为函数的极小值.则则不变号,不是时函数的极值.定理4机动 目录 上页 下页 返回 结束 (函数取得极值的第二充分条件)设函数 f (x)在处(1) 若则为函数 f (x)的极大值.(2) 若则为函数 f (x)的极小值.最值求连续函数 f (x)在a , b上的最值的步骤:(1).求 f (x)在(a , b) 内的驻点及导数不存在的点;(2).求出这些点的函数值及区间端点的函数值;(3).比较上述函数值,其中最大者为最大值,最小者为最大值.机动 目录 上页 下页 返回 结束 恒有(弧在弦的下方)(或则称曲线 f (x)在(a , b)内为凹(凸)弧.曲线上凹弧与凸弧的分界点凹凸性和拐点设函数 f (x)在(a , b)内连续,若对于(a , b)内任意两点(弧在弦的上方)称为曲线的拐点.定理1.(曲线凹凸性的判定定理)若在(a , b)上机动 目录 上页 下页 返回 结束 则曲线 y = f (x) 在当x 自左至右经过定理2.(曲线拐点的判定定理) 若在处时变号, 则是曲线y = f (x) 的拐点.(a , b) 上为凹(凸)弧.二二典型例题分析与解答应填1.已知则机动 目录 上页 下页 返回 结束 解解: 注释注释: 本题考查导数的定义.例例6.设例例7.在在处可导处可导,求求解解: 在在处处连续连续且且可导可导,即即由由由由再代入再代入(1)得得例例8. 设f (x)可导,则是F (x)在x=0可导的( ).(A) 充分必要条件 ;机动 目录 上页 下页 返回 结束 (B) 充分条件但非必要条件;(C) 必要条件但非充分条件;解解:直接计算解此题.由于A(D) 既非充分条件又非必要条件.而f (x)可导,所以F (x)的可导性与的可导性相同.故选项(A)正确. (x)在 x = 0 处可导的充分必要条件是机动 目录 上页 下页 返回 结束 注释注释:即f (0) = 0 .本题考查函数在一点处可导的充要条件.令由导数的定义知解题过程中化简题目的解题技巧应注意掌握.例例9曲线在点(0,1)处的切线方程是_.曲线在点(0,1)的切线方程为解解:机动 目录 上页 下页 返回 结束 注释注释: 两边对x求导得:即为将 x = 0, y = 1 代入式得:本题考查隐函数求导数及导数的几何意义.例例10 设函数设函数由方程由方程确定确定,求求解解 由由由原方程得由原方程得代入代入(1)得得再将再将代入代入(2)得得注释注释 本题考查求隐函数在求隐函数在一点一点处的一阶、二阶导数处的一阶、二阶导数.注意求导数时注意求导数时,不必写出导函数不必写出导函数.机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例1111 证明方程证明方程在在(0,1)(0,1)内至少有一实根内至少有一实根 分析分析 如令如令则则的符号不易判别的符号不易判别不便使用介值定理不便使用介值定理用用 Rolle Rolle 定理来证定理来证证证 令令则则且且故由故由Rolle Rolle 定理知定理知即即在在(0,1)(0,1)内有一实根内有一实根例例12.处( ).设y=f (x)是方程则函数f (x)在点且机动 目录 上页 下页 返回 结束 (C) 某邻域内单调增加;(B) 取得极小值;的一个解,(A) 取得极大值;解解: :(D) 某邻域内单调减少.由于y = f (x) 是方程的一个解,所以有即有将代入上式得所以函数f (x)在点处取得极大值.A选项(A)正确.机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例13.且设 f (x)有二阶连续导数,则( ).(A) f (0) 是 f (x)的极大值;(B) f (0) 是 f (x)的极小值;(C) (0,f (0) )是曲线y= f (x)的拐点;(D) f (0)不是 f (x) 的极值点,(0,f (0) )也不是曲线y= f (x)的拐点.解解:由于由极限的保号性知存在 x= 0的某去心邻域,在此邻域内有即有B即有机动 目录 上页 下页 返回 结束 由于当x 0时, 由极值的第一充分条件知 f (x)在 x = 0 处取得极小值.即有 又由极限的保号性有注释注释: 本题考查极限的保号性和极值的判定法则.函数 f (x)单调增.故选项(B)正确.例例14.由于x =1 是 (x)在(0,+)机动 目录 上页 下页 返回 结束 则 (x) 在x=1处取得极小值.又 (1) = 0 ,即则当x 0 时,则 (x) 在x=1处取得区间(0,+)试证:当x 0 时,证证: 令 易知 (1) = 0 .内的唯一的极小值点,上的最小值.证毕.例例15.求机动 目录 上页 下页 返回 结束 解法一解法一原式=则注释注释:本题考查洛必达法则求未定式极限.由于x0时,解法二解法二原式=解法2先对分母用等价无穷小代换,再用洛必达法则.例例16.原式=解解:机动 目录 上页 下页 返回 结束 注释注释: 本题考查洛必达法则求未定式极限.应填解题过程中应特别注意应用无穷小代换以简化计算.填空题机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例17已知在解解: 由题求处可导,在处连续， 则即且考虑(08-09, 三三(1)例例18. 18. 求数列求数列的最大项的最大项 . .证证: : 设设用对数求导法得用对数求导法得令令得得因为因为在在只有唯一的极大点只有唯一的极大点因此在因此在处处也取最大值也取最大值 . .又因又因中的最大项中的最大项 . .极大值极大值列表判别列表判别: :例例19.(1)存在机动 目录 上页 下页 返回 结束 试证明:(1) 令且则 (x) 在0,1上连续,使得已知函数 f (x) 在0,1上连续,在(0,1)内可导, 且 f (0) = 0 , f (1) = 1 .(2)存在两个不同的点 证证:所以存在使得使得第二节 目录 上页 下页 返回 结束 注释注释:证毕.本题(2)考查拉格朗日中值定理的应用.本题(1)考查连续函数零点定理的应用;(2) 由拉格朗日中值定理, 存在