最最 佳佳 逼逼 近近第 五 章3. 3. 最优一致逼近最优一致逼近一、一、 最优一致逼近的概念与求法最优一致逼近的概念与求法例例 试求一次多项式在区间 0,1 上逼近函数解解 下面我们求最好的直线所满足的直线方程。设该方程为整理得 我们知道，当用 Taylor 展开式或者插值多项式逼近函数时，在某些点可能没有误差，但在整个区间上误差可能很大， Runge 现象说明了这一点。如果用最佳平方逼近，多项式的摆动现象也说明高次最佳平方逼近多项式拟合不一定就会达到好的效果。那么，对于在区间 a, b 上连续的函数 f (x) ，是否必存在多项式序列 Pn(x)，使得在区间 a, b 上一致地逼近函数 f (x)呢？定理定理 维尔斯特拉斯（Weierstrass）定理称为无穷范数无穷范数或者一致范数一致范数 定理定理 （存在性定理存在性定理）定理定理 （惟一性定理惟一性定理）定义定义定义定义 直接构造最优一致逼近多项式的确比较困难，不妨换个角度，先考察它应该具备的性质。有如下结论：定理定理xy0yf x= =( )yf x= =+ +( )yf x= = ( )ypx= =( )几何意义：定理定理（切比雪夫定理切比雪夫定理) ) 推论推论可简化计算！xy0yf x= =( )yf x= =+ +( )yf x= = ( )yP xn= =( )由切比雪夫定理可推出： Pn(x) f (x) 在定义域上至少变号 n+1 次，故至少有n+1 个根。可见可见Pn(x) 是是 f (x)的的某一个某一个插插值多项式值多项式二、二、切比雪夫多项式的性质切比雪夫多项式的性质性质性质1. 递推关系 证性质性质2. Tn(x)为 n 次多项式，首项系数为 2n1，T2n(x)只含 x 的偶次幂， T2n+1(x)只含x 的奇次幂。且Tn(x)在区间0,1上有 n个零点： 性质性质3. 性质性质4. 性质称为切比雪夫多项式的极性切比雪夫多项式的极性，这种极性是我们构造近似最优一致逼近的依据。 三、三、近似最优一致逼近多项式多项式（一）切比雪夫插值多项式我们称这样的插值多项式为切比雪夫插值多项式。切比雪夫插值多项式。 P192此时（二）截断切比雪夫级数例例 P193（三）缩短幂级数切比雪夫多项式还可用来降低多项式的幂次且尽可能的保持精度。问题的提法是：设有多项式求一个多项式使得 P195