讲座 临川二中数学组组长 尧林华制作 帅奇云例例1：已知命题：已知命题 P P : : 函数函数 在在R R上单调递减上单调递减 命题命题Q Q : :不等式不等式 的解集为的解集为R R ，是否存在实数是否存在实数a a，使，使 为假命题，为真命题？为假命题，为真命题？若存在，求出的范围，若不存在，说明理由。若存在，求出的范围，若不存在，说明理由。 若P真Q假 则 若P假Q真 则 故存在实数a，使P、Q中有且只有一个成立。a的范围为： 或 。分析：这类题型是前几年高考的热门题型之一，能有效地考查学生相关知识的掌握及能力。 解：命题P P 正确： 命题Q正确：XYO112a此题考此题考查了学查了学生的数生的数形结合形结合思想和思想和分类讨分类讨论思想。论思想。例例2 2：（：（20062006年山东省高考题）文史类第年山东省高考题）文史类第2222题题 已知数列已知数列 中，中， ，点，点 在直线在直线 上，上，其中其中 令令 ，求证：数列，求证：数列 是等比数列是等比数列 求数列求数列 的通项的通项 设设 、 分别为分别为 、 的前的前n n项和，是否存在实数项和，是否存在实数 ，使得数列使得数列 为等差数列？若存在，求出为等差数列？若存在，求出 的范围，若的范围，若不存在，说明理由。不存在，说明理由。 分析：这道题几乎涵盖了数列这一章的所有知识点。通过研究的存在与否，考查了学生的素质与能力，是一道不可多得的好题。（1）证明： 又 数列 是以 为首项， 为公比的等比数列（2）解：由（1）知： 故：迭加可得： （3） 解法一：假设存在实数实数 ，使得数列为等差数列则： 下面证明当时，对任意的，数列为等差数列时，数列为等差数列。解法二：要证是等差数列，则需证：是与 无关的常数。时，数列为等差数列。 解法三：从函数的角度看：数列为等差数列的充要条件是（A、B为常数） 而当时，数列是公差为的等差数列。 （本期看点） 高中数学的研究性问题，从高考题型看，形式多样，常考常新。但就其思路看，还是有规律可循的。如果我们能对题干进行认真分析，在探究与猜想验证的条件下，通过综合判断与推论运算，那么这一类问题不难得到解决。例1（2005年辽宁省高考数学题）第21题已知椭圆 的左右焦点分别是 ， ，Q是椭圆外一动点，满足 ，点P是线段 与该椭圆的交点。点T在线段 上，并且满足 , .设x为点P 的横坐标，证明求点T 的轨迹C 的方程。试问：在点T 的轨迹C上，是否存在点M，使 的面积 若存在，求 的正切值，若不存在，请说明理由。分析：向量与解析几何组合，是高考的一大热点。证法一：设 XYQTO 证法二： 由 证法三：设点，由椭圆的第二定义得 （2）解法一：设当时，点在轨迹上为的中点，又易知解法二： 设当时，点与在轨迹上时，当（3）解法一：假设存在点使的面积可得当时，存在点 ，使当不存在。 ，YXOF1F2当时，即又解法二：评析：适当利用平面几何知识会简化有关运算，给解题带来方便。例2.（2006年江西省高考数学题）（理工类） 第20题求证：求二面角的大小中，侧面、是全等的是公共的斜边，且，是正三角形直角三角形，另一侧面如图，在三棱锥上是否存在一点 ，与面成角？若存在，点 的位置,若不存在，在线段使确定 说明理由。ABDCEZABDCYHX证明：（1）（补形思想）作 面BCD于H，连BH、CH、DH，则四边形 BHCD是正方形，且AH=1，以D为原点，建立如图所示坐标系则， ， 则 (2)解：设平面的法向量为则由知： 知：可取同理可得平面的一个法向量 即所求二面角的大小为(2)设 是线段AC上一点，则 ， ，平面的一个法向量为， 要使ED与面BCD成300角由图可知 与 的夹角为600所以 则故线段AC上存在E点，且CE=1时，ED与面BCD成300角。 （本期看点）研究性问题既能考查学生的数学素养又能考查学生的数学能力。这与现行的教育理念非常吻合。随着以培养学生的创新精神和实践能力为重点的新 一轮课改的到来。今后的高考命题将更加关注“研究性问题”。