离散系统的时域分析连续时间信号、连续时间系统连续时间信号连续时间信号： f(t)是连续变化的是连续变化的t的函数，除若干不连续点之外对于的函数，除若干不连续点之外对于任意时间值都可以给出确定的函数值。函数的波形都是任意时间值都可以给出确定的函数值。函数的波形都是具有平滑曲线的形状，一般也称模拟信号。具有平滑曲线的形状，一般也称模拟信号。 连续时间系统：连续时间系统： 系统的输入、输出都是连续的时间信号。系统的输入、输出都是连续的时间信号。 离散时间信号、离散时间系统离散时间信号：离散时间信号： 时间变量是离散的，时间变量是离散的，函数只在某些规定的时刻函数只在某些规定的时刻有确定的值，在其它时间有确定的值，在其它时间没有定义。没有定义。 离散时间系统：离散时间系统： 系统的输入、输出都是离散的时间信号。如数字系统的输入、输出都是离散的时间信号。如数字计算机。计算机。离散信号可以由模拟信号抽样而得，也可以由实际系离散信号可以由模拟信号抽样而得，也可以由实际系统生成。统生成。 量化幅值量化幅值量化幅值只能分级变化幅值只能分级变化采样过程采样过程就是对模拟信号的时间取离就是对模拟信号的时间取离散的量化值过程散的量化值过程得到离散信号。得到离散信号。数字信号：数字信号：离散信号在各离散点的幅值被量化的信号。离散信号在各离散点的幅值被量化的信号。离散时间系统的优点便于实现大规模集成，从而在重量和体积方面显示其优便于实现大规模集成，从而在重量和体积方面显示其优越性。越性。容易作到精度高，模拟元件精度低，而数字系统的精容易作到精度高，模拟元件精度低，而数字系统的精度取决于位数；度取决于位数；可靠性好可靠性好存储器的合理运用使系统具有灵活的功能；存储器的合理运用使系统具有灵活的功能；易消除噪声干扰；易消除噪声干扰；数字系统容易利用可编程技术，借助于软件控制，大数字系统容易利用可编程技术，借助于软件控制，大大改善了系统的灵活性和通用性；大改善了系统的灵活性和通用性；易处理速率很低的信号。易处理速率很低的信号。离散时间系统的困难和缺点高速时实现困难，设备复杂，成本高，通信系统由高速时实现困难，设备复杂，成本高，通信系统由模拟转化为数字要牺牲带宽模拟转化为数字要牺牲带宽应用前景由于数字系统的优点，使许多模拟系统逐步被淘汰，由于数字系统的优点，使许多模拟系统逐步被淘汰，被数字（更多是模数混合）系统所代替；被数字（更多是模数混合）系统所代替；人们提出了人们提出了“数字地球数字地球”、“数字化世界数字化世界”、“数数字化生存字化生存”等概念，数字化技术逐步渗透到人类工作与等概念，数字化技术逐步渗透到人类工作与生活的每个角落。生活的每个角落。数字信号处理数字信号处理技术正在使人类生产和技术正在使人类生产和生活质量提高到前所未有的新境界。生活质量提高到前所未有的新境界。混合系统：混合系统： 连连续续时时间间系系统统与与离离散散时时间间系系统统联联合合应应用用。如如自自控控系统、数字通信系统。系统、数字通信系统。 A/D、D/A转换转换不能认为数字技术将取代一切连续时间系统的应用不能认为数字技术将取代一切连续时间系统的应用人类在自然界中遇到的待处理信号相当多的是连人类在自然界中遇到的待处理信号相当多的是连续时间信号，需经续时间信号，需经A/DA/D、D/AD/A转换；转换；当频率较高时，直接采用数字集成器件尚有一些当频率较高时，直接采用数字集成器件尚有一些困难，有时，用连续时间系统处理或许比较简便；困难，有时，用连续时间系统处理或许比较简便；最佳地协调模拟与数字部件的组合已成为系统设最佳地协调模拟与数字部件的组合已成为系统设计师的首要职责。计师的首要职责。混合系统系统分析连续时间系统连续时间系统微分方程描述微分方程描述 离散时间系统离散时间系统差分方程描述差分方程描述 差分方程的解法与微分方程类似差分方程的解法与微分方程类似 本章主要内容离散时间信号及其描述、运算；离散时间信号及其描述、运算；离散时间系统的数学模型离散时间系统的数学模型差分方程；差分方程；线性差分方程的时域解法；线性差分方程的时域解法；离散时间系统的单位响应；离散时间系统的单位响应；离散卷积和。离散卷积和。 注注意意离离散散系系统统与与连连续续系系统统分分析析方方法法上上的的联联系系、区区别别、对对比比，与与连连续续系系统统有有并并行行的的相相似似性性。和和前前几几章对照，温故而知新。章对照，温故而知新。学习方法离散信号的表示方法数字序列数字序列函数表示：函数表示：x（k）波形表示波形表示表格表示表格表示例试写出其序列形式并画出波形。试写出其序列形式并画出波形。波形：波形：序列形式：序列形式：序列的三种形式单边序列：单边序列：双边序列：双边序列：有限长序列：有限长序列：常用离散信号单位序列单位序列单位阶跃序列单位阶跃序列 矩形序列矩形序列单边指数序列单边指数序列正弦序列正弦序列复指数序列复指数序列单位序列单位序列时移性时移性比例性比例性抽样性抽样性 (t)用面积表示强度，用面积表示强度， ( (幅度为幅度为 , ,但强度为面积但强度为面积) ) (k)的值就是的值就是k=0时时的瞬时值（不是面积）的瞬时值（不是面积） (t) ：奇异信号，数学抽象函数；奇异信号，数学抽象函数； (k)：非奇异信号，可实现信号。非奇异信号，可实现信号。 (k)与与 (t) 差别差别: :利用单位序列表示任意序列利用单位序列表示任意序列单位阶跃序列是和差的关系，不再是微商的关系。是和差的关系，不再是微商的关系。矩形序列单边指数序列正弦序列复指数序列复序列用极坐标表示：复序列用极坐标表示：离散信号时域运算相加相加: : 用同序号的值对应相加后构成新的序列。用同序号的值对应相加后构成新的序列。例例y(k)=f1(k)+f2(k)相乘相乘: : 同序号的数值对应相乘后构成新的序列。同序号的数值对应相乘后构成新的序列。y(k)=f1(k)f2(k)数乘数乘: : 完成序号值的比例运算。完成序号值的比例运算。y(k)=af(k)a差分差分: :序列与其移序序列的差而得到一个新序列。序列与其移序序列的差而得到一个新序列。y(k)=f(k)-f(k-1)（后向差分）（后向差分）y(k)=f(k+1)-f(k)（前向差分）（前向差分）离散信号时域变换离散信号时域变换移序移序: : y(k)=f(k-m)折叠折叠: : y(k)=f(-k)倒相倒相: : y(k)=-f(k)展缩展缩: : y(k)=f(ak)( (横坐标横坐标k k只能取整数只能取整数) ) 对任何离散时间信号对任何离散时间信号 , ,如果每次从其中取出一如果每次从其中取出一个点，就可以将信号拆开来，每次取出的一个点都可个点，就可以将信号拆开来，每次取出的一个点都可以表示为不同加权、不同位置的单位脉冲。以表示为不同加权、不同位置的单位脉冲。 序列的分解序列的分解表明：表明：任何信号任何信号 都可以被分解成移位加权的单都可以被分解成移位加权的单位脉冲信号的线性组合。位脉冲信号的线性组合。例：例：定义定义已知定义在区间已知定义在区间（ ，）上的两个函数上的两个函数x1(k)和和x2(k)，则定义和则定义和 为为x1(k)与与x2(k)的的卷积和卷积和，简称，简称卷积卷积；记为；记为 y(k)= x1(k)*x2(k)注意注意：求和是在虚设的变量：求和是在虚设的变量 i 下进行的，下进行的， i 为求和变为求和变量，量，k 为参变量。结果仍为为参变量。结果仍为k 的函数。的函数。 卷积和卷积和计算方法计算方法：有图解法、列表法、解析法（包括数值解法）。有图解法、列表法、解析法（包括数值解法）。图解法运算过程图解法运算过程： 然后将信号然后将信号 不动不动，另一个信号经反转后成另一个信号经反转后成为为 , ,再随参变量再随参变量 移位。在每个移位。在每个 值的情况值的情况下，将下，将 与与 对应点相乘，再把乘积的对应点相乘，再把乘积的各点值累加各点值累加，即即得到得到 时刻的时刻的 。例：例：例：例：用图解法求图示信号的卷积和用图解法求图示信号的卷积和用图解法求图示信号的卷积和用图解法求图示信号的卷积和y(k)=f(k)*h(k)y(k)=f(k)*h(k)y(k)=f(k)*h(k)y(k)=f(k)*h(k)。0.120.090.060.0300.080.060.040.020.08 0.06 0.04 0.02 0.08 0.06 0.04 0.020.04 0.03 0.02 0.01利用列表法计算利用列表法计算利用列表法计算利用列表法计算序列相乘法序列相乘法f(k) : 0 0.4 0.3 0.2 0.1 0h(k): 0 0.3 0.2 0.2 0.2 0.1X 0.04 0.03 0.02 0.01 0 0.08 0.06 0.04 0.02 0 0.08 0.06 0.04 0.02 0 0.08 0.06 0.04 0.02 0 0.12 0.09 0.06 0.03 00.12 0.17 0.20 0.21 0.16 0.09 0.04 0.01 0卷积和的性质卷积和的性质1.1.满足乘法的三律：交换律、分配律、结合律满足乘法的三律：交换律、分配律、结合律2 2. x(k)*(k) = x(k) ，x(k)*(k k0) = x(k k0) 3. x(k)*(k) =4. x1(k k1)*x2(k k2) = x1(k k1 k2)* x2(k) 时域离散系统系统分析的基本思想：系统分析的基本思想：1. 根据工程实际应用，对系统建立数学模型。根据工程实际应用，对系统建立数学模型。通常表现为描述输入输出关系的方程。通常表现为描述输入输出关系的方程。2. 建立求解这些数学模型的方法。建立求解这些数学模型的方法。离散时间系统离散时间系统时域离散系统的定义：时域离散系统的定义：输入信号与输出响应都是离散时间信号的系统。输入信号与输出响应都是离散时间信号的系统。差分与差分方程差分与差分方程 设有序列设有序列x(k)，则，则x(k+2)，x(k+1)，x(k-1)， x(k-2)等称为等称为x( (k) )的的移位序列移位序列。 仿照连续信号的微分运算，定义离散信号的仿照连续信号的微分运算，定义离散信号的差分差分运运算。算。 差分运算差分运算离散信号的变化率有两种表示形式：离散信号的变化率有两种表示形式：一阶前向差分定义一阶前向差分定义： x(k) =x(k+1) x(k)一阶后向差分定义一阶后向差分定义： x(k) = x(k) x(k 1)式中，式中， 和和 称为差分算子，无原则区别。本书主要用称为差分算子，无原则区别。本书主要用后向差分，简称为后向差分，简称为差分差分。因此，可定义：因此，可定义：解析描述解析描述建立差分方程建立差分方程例：某人每月初在银行存入一定数量的款，月息为例：某人每月初在银行存入一定数量的款，月息为元元/ /元，求第元，求第k个月初存折上的款数。个月初存折上的款数。 设第设第k个月初的款数为个月初的款数为y(k),这个月初的存款为这个月初的存款为x(k),上上个月初的款数为个月初的款数为y(k- -1)，利息为利息为y(k- -1),则则 y(k)=y(k- -1)+ y(k- -1)+x(k)即即 y(k)- -(1+)y(k- -1) = x(k)若设开始存款月为若设开始存款月为k=0，则有则有y(0)= x(0)。 上述方程就称为上述方程就称为y(k)与与x(k)之间所满足的差分方程。之间所满足的差分方程。所谓所谓差分方程差分方程是指由未知输出序列项与输入序列项构是指由未知输出序列项与输入序列项构成的方程。未知序列项变量最高序号与最低序号的差成的方程。未知序列项变量最高序号与最低序号的差数，称为数，称为差分方程的阶数差分方程的阶数。上述为。上述为一阶差分方程一阶差分方程。差分方程的模拟框图差分方程的模拟框图基本部件单元有：基本部件单元有： 数乘器数乘器 加法器加法器 迟延单元（移位器）迟延单元（移位器）例：例：已知框图，写出系统的差分方程。已知框图，写出系统的差分方程。解：解：设辅助变量设辅助变量w(k)如图如图w(k)w(k-1)w(k-2)即即 w(k) +2w(k-1) +3w(k-2) = x(k) y(k) = 4w(k-1) + 5w(k-2) 消去消去w(k) ，得，得 y(k) +2y(k-1) +3y(k-2) = 4x(k-1) + 5x(k-2) w(k)= x(k) 2w(k-1) 3w(k-2)由由n阶差分方程描述的系统称为阶差分方程描述的系统称为n阶系统。阶系统。描述描述LTILTI系统的是线性常系数差分方程。系统的是线性常系数差分方程。 要确定齐次解中的待定常数，也需要有一组附加条要确定齐次解中的待定常数，也需要有一组附加条件件: : 一般的线性常系数差分方程可表示为：一般的线性常系数差分方程可表示为： 与微分方程一样，它的解法也可以通过求出一个与微分方程一样，它的解法也可以通过求出一个特特解解 和通解，即齐次解和通解，即齐次解 来进行，其过程与解来进行，其过程与解微分方程类似。微分方程类似。线性：均匀性、可加性均成立；线性：均匀性、可加性均成立； 离散系统的性质：离散系统的性质：时不变系统：时不变系统：因果系统：因果系统：稳定系统：稳定系统：差分方程的特点 输出序列的第输出序列的第k个值不仅决定同一瞬间的输入样值，个值不仅决定同一瞬间的输入样值，而且还与前面输出值有关，每个输出值必须依次保留。而且还与前面输出值有关，每个输出值必须依次保留。 微分方程可以用差分方程来逼近，微分方程解是微分方程可以用差分方程来逼近，微分方程解是精确解，差分方程解是近似解，两者有许多类似之精确解，差分方程解是近似解，两者有许多类似之处。处。 差分方程描述离散时间系统，输入序列与输出序列差分方程描述离散时间系统，输入序列与输出序列间的运算关系与系统框图有对应关系。间的运算关系与系统框图有对应关系。常系数差分方程的经典解法常系数差分方程的经典解法1.1.迭代法迭代法3.3.零输入响应零输入响应+ +零状态响应零状态响应利用卷积求系统的零状态响应利用卷积求系统的零状态响应2.2.时域经典法：齐次解时域经典法：齐次解+ +特解；特解；迭代法迭代法解差分方程的基础方法解差分方程的基础方法差分方程本身是一种递推关系。差分方程本身是一种递推关系。得不到得不到y(k)输出序列的解析式输出序列的解析式由递推关系由递推关系,可得输出值：可得输出值：例已知已知y(k)=3y(k-1)+(k)，且，且y(-1)=0, 求解方程求解方程时域经典法时域经典法 齐次解（通解）：齐次方程的解齐次解（通解）：齐次方程的解指数形式指数形式 求待定系数求待定系数C由边界决定由边界决定 代入原方程，代入原方程， 齐次解齐次解求差分方程齐次解步骤求差分方程齐次解步骤差分方程差分方程特征方程特征方程特征根特征根y(k)的解析式的解析式由起始状态定常数由起始状态定常数根据特征根，解的三种情况根据特征根，解的三种情况有一个有一个m m重根（重根（r r1 1 ） ，其余为单根：，其余为单根：有共轭复数根：有共轭复数根：无重根：无重根：特解特解线性时不变系统输入与输出有相同的形式线性时不变系统输入与输出有相同的形式输入输入输出输出经典法基本步骤：经典法基本步骤：1 1）求系统数学模型；）求系统数学模型；2) 2) 写出特征方程，并求出特征根；写出特征方程，并求出特征根；3 3）根据特征根，求对应齐次方程通解；）根据特征根，求对应齐次方程通解；4 4）根据激励形式求非齐次方程特解；）根据激励形式求非齐次方程特解；5 5）写出非齐次方程全解）写出非齐次方程全解 y(k)= yh(k) + yp(k) ：6 6）根据初始值求待定系数；）根据初始值求待定系数；7 7）写出给定条件下非齐次方程解。）写出给定条件下非齐次方程解。例：例：已知某系统激励为零，初始值已知某系统激励为零，初始值y(0)=0y(0)=0， y(1)=2y(1)=2，描述，描述系统的差分方程为系统的差分方程为求系统的响应求系统的响应 y(k)y(k)。代入差分方程，可得代入差分方程，可得解：解：零输入响应零输入响应+ +零状态响应零状态响应零输入响应：零输入响应：零状态响应：零状态响应：求解方法求解方法经典法：齐次解经典法：齐次解+ +特解特解卷积法卷积法离散系统零状态响应序列的时域分解序列的时域分解任意离散序列任意离散序列x(k) 可表示为可表示为 x(k)=+x(-1)(k+1) + x(0)(k) + x(1)(k-1)+ x(2)(k-2)+ + f(i)(k i) + 离散系统零状态响应与单位响应的关系离散系统零状态响应与单位响应的关系任意任意序列作用下的零状态响应序列作用下的零状态响应h(k)(k)根据根据h(k)的定义：的定义： (k) h(k) 由时不变性：由时不变性：(k - -i)h(k - -i)由齐次性：由齐次性：x (i)(k- -i)x(i) h(k- -i)由叠加性：由叠加性：只要得到了只要得到了LTI系统对系统对 的响应的响应就可以得到就可以得到LTI系统对任何输入信号系统对任何输入信号 的响应的响应激励为单位序列信号时激励为单位序列信号时离散系统的零状态响应离散系统的零状态响应. .单位序列响应单位序列响应:单位序列响应求解单位序列响应求解递推法：递推法：等效初值法等效初值法 当当 k00， x( (k)=)= ( (k) =0) =0。系统处于零输入状。系统处于零输入状态，故可将态，故可将 (k)(k)的作用等效为系统的初始值，其的作用等效为系统的初始值，其h( (k) )形式与零输入响应形式相同。形式与零输入响应形式相同。 例例 已知某系统的差分方程为已知某系统的差分方程为y(k) -y(k-1)-2y(k-2)= f(k)求单位序列响应求单位序列响应h(k)。 解解 根据根据h(k)的定义的定义 有有 h(k) h(k 1) 2h(k 2) = (k) h(1) = h(2) = 0 h(k)= h(k 1) + 2h(k 2) +(k) h(0)= h(1) + 2h(2) + (0) = 1 h(1)= h(0) + 2h(1) + (1) = 1 求求h(k) 对于对于k 0， h(k)满足齐次方程满足齐次方程 h(k) h(k 1) 2h(k 2) = 0 其特征方程为其特征方程为 (+1) ( 2) = 0 所以所以 h(k) = C1( 1)k + C2(2)k ， k0 h(0) = C1 + C2 =1 , h(1)= C1+2C2 = 1 解得解得C1= 1/3 , C2=2/3 h(k) = (1/3)( 1)k + (2/3)(2)k , k0 或写为或写为h(k) = (1/3)( 1)k + (2/3)(2)k (k) 递推求初始值递推求初始值h(0)和和h(1) ： 例：例：若方程为：若方程为： y(k) y(k 1) 2y(k 2)=f(k) f(k 2) 求单位序列响应求单位序列响应h(k) 解解 法法1 1 h(k)满足满足 h(k) h(k 1) 2h(k 2)=(k) (k 2)令只有令只有(k)作用时，系统的单位序列响应作用时，系统的单位序列响应h1(k) , ,它满足它满足 h1(k) h1(k 1) 2h1(k 2)=(k) 根据线性时不变性，根据线性时不变性， h(k) = h1(k) h1(k 2) =(1/3)( 1)k + (2/3)(2)k(k) (1/3)( 1)k 2 + (2/3)(2)k2(k 2) 法法2 2例例 如图复合系统由两个子系统级联如图复合系统由两个子系统级联组成，其中组成，其中 h1(k) = 2cos(k)， h2(k) = ak(k)，激励激励f(k)= (k)a(k-1)，求复合系，求复合系统的零状态响应响应统的零状态响应响应yzs (k) 。 解解yzs (k) = f(k)* h1(k) * h2(k) = 2cos(k)*ak(k)*(k)a(k-1) = 2cos(k)*ak(k) - ak(k -1) = 2cos(k)* (k) = 2cos(k)解解: :例例: :因果性、稳定性因果性、稳定性对于线性移不变系统是因果系统的充要条件：对于线性移不变系统是因果系统的充要条件： 稳定性的充要条件：稳定性的充要条件：单位样值响应绝对和为有限值（绝对可和）收敛。单位样值响应绝对和为有限值（绝对可和）收敛。因果系统因果系统：输出变化不领先于输入变化的系统。：输出变化不领先于输入变化的系统。例(1)讨论因果性：讨论因果性：(2)讨论稳定性：讨论稳定性：因为是单边有起因，因为是单边有起因，所以系统是因果的所以系统是因果的