线性代数线性代数总复习总复习2014.12.23.矩阵矩阵矩阵矩阵mn个数构成的m行n列的数表加法：A+B=(aij+bij), A、B是同型矩阵 A + B = B + A, (A + B) + C = A + (B + C), A + O = A, A + ( A) = O,数乘：kA=k(aij) k(lA) = (kl)A, (k + l)A = kA + lA, k(A + B) = kA + kBcij = aikbkj. k=1s矩阵乘法：AB=C，其中C是mn矩阵.(AB)C = A(BC), A(B+C) = AB + AC,(A+B)C = AC+BC,(kA)B = k(AB).矩阵矩阵矩阵矩阵矩矩阵阵矩阵概念矩阵运算伴随矩阵逆矩阵特殊矩阵矩阵的秩初等变换.转置： A=(aij), AT=(aji) 性质：(AT)T = A, (kA)T = kAT, (A+B)T = AT + BT, (AB)T = BTAT.设A = aijnn为方阵, 元素aij的代数余子式为Aij, 则称如下矩阵为方阵A的伴随矩阵. 矩阵矩阵矩阵矩阵矩矩阵阵矩阵概念矩阵运算伴随矩阵逆矩阵特殊矩阵矩阵的秩初等变换.定义: 设A为方阵, 若存在方阵B, 使得 AB = BA = E. 则称A可逆, 并称B为A的逆矩阵. 注意：A可逆detA0(A 1) 1 = A. (AT) 1 = (A 1)T. (kA) 1 = k 1A 1. (AB) 1 = B 1A 1. 运算性质逆阵的求法:定义法用伴随矩阵用初等行变换(A E) (E A-1) 逆阵的证法: A 0，R(A)=n, 反证法 矩阵矩阵矩阵矩阵矩矩阵阵矩阵概念矩阵运算伴随矩阵逆矩阵特殊矩阵矩阵的秩初等变换.单位矩阵对角矩阵初等矩阵对称矩阵定义：非0子式的最高阶数求法：初等变换或定义法性质：经初等变换矩阵的秩不变几种常用的初等变换及对应的初等矩阵行阶梯矩阵、行最简型、标准型 矩阵矩阵矩阵矩阵矩矩阵阵矩阵概念矩阵运算伴随矩阵逆矩阵特殊矩阵矩阵的秩初等变换.其它几个重要定理及结论：矩阵等价：矩阵等价：若矩阵A经过有限次初等变换化为B, 则称A与B等价.记为A B. （注意与相似、 合同的区别）A与B等价R(A)= R(B)定理. 方阵A可逆的充要条件是A可写成有限个初等矩阵的乘积. 推论1. 方阵A可逆的充要条件是A与单位矩阵行等价。推论2. mn阶矩阵A与B等价的充要条件是存在m阶 可逆矩阵P和n阶可逆矩阵Q，使得 PAQ=B。与等价有关的重要定理定理. 对mn矩阵A进行一次初等行变换相当于在A的左 边乘以相应的初等矩阵; 对A施行一次初等列变换相当于在A的右边乘以 相应的初等矩阵. 矩阵矩阵矩阵矩阵.行行列列式式概念性质展开式计算应用= = a a1111A A1111+ +a a1212A A1212+a a1 1n nA A1 1n n a a1111 a a1212 a a1 1n n a a2121 a a22 22 a a2 2n n a an n1 1 a an n2 2 a annnn应用数学归纳法按第一行展开方式定义.性质1 行列式与它的转置行列式相等。性质2 行列式互换两行(列)，行列式变号。推论: 行列式有两行(列)相同，则此行列式为零。性质3 行列式的某一行(列)的所有元素乘以数k，等于用数k乘以该行列式。推论: 行列式的某一行(列)所有元素的公因子可以提到行列式符号外。性质4 行列式中有两行(列)的元素对应成比例，则此行列式为零。行列式行列式行列式行列式行行列列式式概念性质展开式计算应用.性质5 若行列式中某一行(列)的元素都是两数之和，即若性质6 行列式某一行(列)的k倍加到另一行(列)上，行列式值不变。则此行列式等于两个行列式之和，即行列式行列式行列式行列式行行列列式式概念性质展开式计算应用.代数余代数余子式子式一般地, 在n阶行列式中, 把元素aij所在的第i行和第j列划去, 留下来的n1阶行列式叫做元素aij的余子式, 记作Mij, 令Aij = (1)i+jMij, 并称之为aij的代数余子式. 行列式行列式行列式行列式行行列列式式概念性质展开式计算应用可按任意一行(列)展开.克拉默法则(求解线性方程组有唯一解的一种方法)齐次线性方程组有非零解的充分条件化三角行列式法化三角行列式法递推法数学归纳法降阶展开法降阶展开法拆项法 行列式行列式行列式行列式行行列列式式概念性质展开式计算应用.其它几个重要定理及结论：定理 n阶行列式的某一行(列)元素与另一行(列)的对应的代数余子式乘积之和为零. 即 ai1Aj1 + ai2Aj2 + + ainAjn = 0 (i j) a1iA1j + a2iA2j + + aniAnj = 0 (i j).上(下)三角行列式的值等于主对角线元素的乘积行列式行列式行列式行列式.例例1 1解解.例例2 2 ：求四阶行列式：求四阶行列式03103420350021112141312+rrrrrr.设设A A是是3 3阶方阵，且阶方阵，且求求例例3 3解解: :. n n维维维维向量向量向量向量 n n维向量维向量维向量维向量n维维向向量量运算线性表示线性相关性k1 1+k2 2+kn n= 0 ki均为0，则1, 2, , n线性无关 只要有一个ki不为0，1, 2, , n 线性相关 极大线性无关组：极大线性无关组：向量组A中，能找到r个向量线性无关，任意r+1个线性相关，则这r个向量构成的向量组是A的一个极大线性无关组。求法：求法：非零子式法、初等变换法极大无关组包含的向量的个数极大无关组向量组的秩.向量组与矩阵的关系矩阵A = ( 1, 2, , s) 列向量组列向量组列向量组列向量组: : 1 1, , 2 2, , , , s s 注：行向量的问题与列向量相同矩阵矩阵A A的秩的秩r( (A A) )向量组的秩向量组的秩r r 最高阶非零子式最高阶非零子式极大线性无关组极大线性无关组 n n维维维维向量向量向量向量.定义：定义：向量内积向量内积(1) 对称性对称性: , = , ; (2) 线性性线性性: k11+k22,= k11, +k22,; (3) , 0; 且, = 0 = 0 .(4) |, | , , .性质：性质：正交：正交：施密特施密特(Schmidt)正交化方法正交化方法若, = 0, 则称与正交正交. n n维维维维向量向量向量向量正交矩阵正交矩阵A为正交矩阵为正交矩阵 ATA=E . n n维维维维向量向量向量向量. n n维维维维向量向量向量向量. n n维维维维向量向量向量向量.线性方程组Ax=bb=0?齐次方程组是否非齐次方程组行阶梯形矩阵初等行变换R(A) nR(A) R(A b)解的结构基础解系有无非零解有解判定 线性方程组线性方程组线性方程组线性方程组 线性方程组线性方程组线性方程组线性方程组.向量组的线性相关性与向量组的线性相关性与非齐次方程组非齐次方程组解的关系解的关系有解 无解 向量b能由 1, 2, , n线性表示？是 否 Ax=( 1, 2, , n)x=b有无穷多组解有唯一解 有效方程数少于未知数个数？R(A)R(A b)?是 否 R(A)R(A b)n ?无 有 Ax=b有矛盾方程?方程组有解 方程组无解 否 是是 否 线性方程组线性方程组线性方程组线性方程组.向量组的线性相关性与向量组的线性相关性与齐次方程组齐次方程组解的关系解的关系有非零解 只有零解 向量组1, 2, , n线性相关？是 否 Ax=( 1, 2, , n)x=0R(A) nR(A)=n注意：齐次线性方程组不会出现矛盾方程。只有零解有无穷多组非零解 R(A)n?是 否 有效方程数少于未知数个数？否是 线性方程组线性方程组线性方程组线性方程组.例例5 5. 求的基础解系与通解. 解:初等行行变换 该方程组的基础解系可取为 通解为 线性方程组线性方程组线性方程组线性方程组.解:初等行行变换可见原方程组有解, 且例例6 6. 求方程组 的通解. 线性方程组线性方程组线性方程组线性方程组.由此可得原方程组的通解可见原方程组有解, 且 线性方程组线性方程组线性方程组线性方程组.(EA) = 0基础解系法 方阵的特征值和特征向量方阵的特征值和特征向量方阵的特征值和特征向量方阵的特征值和特征向量 方阵的特征值和特征向量方阵的特征值和特征向量方阵的特征值和特征向量方阵的特征值和特征向量特特征征值值与与特特征征向向量量A=，0 定义求法性质相似矩阵实对称阵特征值特征向量定义法 特征方程 |EA| = 0定义法1 + + n = tr(A). 1n = |A|. A 可逆1, , n全不为零.|EA| = |EAT|. .概念求法性质相似矩阵实对称阵特特征征值值与与特特征征向向量量矩阵相似，则其特征值相同。不同特征值的特征向量线性无关。k重特征值至多有k个线性无关的特征向量。A有n个线性无关的特征向量P-1AP=BR( iE-A)=n-r， i是r重特征值A有n个不同的特征值A是实对称阵定义矩阵可对角化的条件应用An=P-1 nP 方阵的特征值和特征向量方阵的特征值和特征向量方阵的特征值和特征向量方阵的特征值和特征向量.概念求法性质相似矩阵实对称阵的特性特特征征值值与与特特征征向向量量必可相似对角化不同特征值的特征向量互相正交特征值全是实数k重特征值必有k个线性无关的特征向量与对角阵合同 方阵的特征值和特征向量方阵的特征值和特征向量方阵的特征值和特征向量方阵的特征值和特征向量.矩阵等价、相似、合同、正交相似的联系与区别矩阵等价、相似、合同、正交相似的联系与区别 A,BMn, A与与B相似相似 存在可逆矩阵存在可逆矩阵P，使使P-1AP=BA与与B合同合同 存在可逆矩阵存在可逆矩阵C，使使CTAC=BA与与B正交正交相似相似 存在正交阵存在正交阵Q，使使QTAQ=Q-1AQ=B A,BMmn, A与与B等价等价 存在存在m阶可逆矩阵阶可逆矩阵P，n阶可阶可逆矩阵逆矩阵Q，使使PAQ=B共同的性质：自反性、对称性、传递性共同的性质：自反性、对称性、传递性方阵的特征值和特征向量方阵的特征值和特征向量方阵的特征值和特征向量方阵的特征值和特征向量.等价、相似、合同、正交相似的等价、相似、合同、正交相似的关系关系A与与B相似相似 A与与B合同合同 A与与B正交相似正交相似方阵方阵A与与B等价等价等价、相似、合同、正交相似的等价、相似、合同、正交相似的不变量不变量等价等价: 秩，即秩，即R(A)=R(B)相似相似: 秩，即秩，即R(A)=R(B)特征多项式，特征多项式，特征值特征值 | EA|=| EB| 合同合同: 秩，即秩，即R(A)=R(B) 对称性，即若对称性，即若A对称，则对称，则B也对称也对称 对称阵对称阵A、B对应的二次型的对应的二次型的正正(负负)惯性指数惯性指数 对称阵对称阵A、B对应的二次型的对应的二次型的规范型规范型正交相似正交相似: 相似相似+合同合同 方阵的特征值和特征向量方阵的特征值和特征向量方阵的特征值和特征向量方阵的特征值和特征向量.实对称阵对角化的步骤实对称阵对角化的步骤求求A全部特征值全部特征值（所有特征值的重根次数之和等于（所有特征值的重根次数之和等于n）对每个对每个ki重特征值重特征值 i求方程求方程(A- iE)x=0的基础解系的基础解系得出对应于特征值得出对应于特征值 i的的ki个线性无关的特征向量个线性无关的特征向量将对应于特征值将对应于特征值 i的的ki个线性无关的特征向量正交、单位个线性无关的特征向量正交、单位化（总共可以得到化（总共可以得到n个两两正交的单位特征向量）个两两正交的单位特征向量）将将n个两两正交的单位特征向量构成正交阵个两两正交的单位特征向量构成正交阵P，即可满足，即可满足P-1AP= (注意顺序注意顺序)。求方阵特征值和特征向量的步骤求方阵特征值和特征向量的步骤 计算计算| EA| 求求| EA| = 0的根的根 求求( EA)x = 0的基础解系的基础解系 方阵的特征值和特征向量方阵的特征值和特征向量方阵的特征值和特征向量方阵的特征值和特征向量.例例7 7 解解 方阵的特征值和特征向量方阵的特征值和特征向量方阵的特征值和特征向量方阵的特征值和特征向量.得基础解系得基础解系 方阵的特征值和特征向量方阵的特征值和特征向量方阵的特征值和特征向量方阵的特征值和特征向量.例例8 8解解若能对角化，求出可逆矩阵若能对角化，求出可逆矩阵若能对角化，求出可逆矩阵若能对角化，求出可逆矩阵P P，使，使，使，使P P-1-1APAP为对角阵。为对角阵。为对角阵。为对角阵。A A A A能否对角化？能否对角化？能否对角化？能否对角化？ 方阵的特征值和特征向量方阵的特征值和特征向量方阵的特征值和特征向量方阵的特征值和特征向量.解之得基础解系解之得基础解系 方阵的特征值和特征向量方阵的特征值和特征向量方阵的特征值和特征向量方阵的特征值和特征向量.所以所以 可对角化可对角化.方阵的特征值和特征向量方阵的特征值和特征向量方阵的特征值和特征向量方阵的特征值和特征向量.二次型二次型二次型二次型二二次次型型基本概念标准型化正定二次型 二次型二次型二次型二次型定义：定义：含有含有n个变量个变量x1, x2, , xn的二次齐的二次齐次函数次函数矩阵表示：矩阵表示：f = xTAxA对称，称对称，称A为为f的矩阵，称的矩阵，称f 为为A的二次的二次型，且型，且f与与A一一对应。一一对应。标准形：标准形：只含平方项只含平方项规范型：规范型：ki在在-1,0,1,中取值中取值二次型的秩：二次型的秩：R(f) = R(A)惯性定理惯性定理.基本概念标准型化正定二次型二二次次型型配方法正交变化法写出二次型矩阵A将A相似对角化，同时得正交变换矩阵Q令x=Qy，即得标准型定义 x 0 f(x) 0 充要条件特征值全大于0正惯性指数等于nA与E合同顺序主子式全大于0有可逆阵Q, 使A = QTQ 二次型二次型二次型二次型.解解1)1)写出对应的二次型矩阵，并求其特征值写出对应的二次型矩阵，并求其特征值例例9 9 二次型二次型二次型二次型.从而得特征值从而得特征值2)2)求特征向量求特征向量3)3)将特征向量正交化将特征向量正交化得正交向量组得正交向量组 二次型二次型二次型二次型.4)4)将正交向量组单位化，得正交矩阵将正交向量组单位化，得正交矩阵P 二次型二次型二次型二次型.于是所求正交变换为于是所求正交变换为 二次型二次型二次型二次型.