复数代数形式的四则运算复数代数形式的四则运算乘除运算乘除运算六安市新安中学数学组六安市新安中学数学组胡永祥胡永祥一、知识回顾一、知识回顾复数的加复数的加/ /减运算法减运算法则：加法运算规律：对任意加法运算规律：对任意z1,z2,z3 C.有有二、新课教学二、新课教学1.复数乘法运算：复数乘法运算：我们规定，复数乘法法则如下：我们规定，复数乘法法则如下：设设z1=a+bi z2=c+di 是任意两个复数是任意两个复数，那那么它们的乘积为：么它们的乘积为： (a+bi)(c+di )= ac+adi+bci+bdi2 = ac+adi+bci-bd = (ac-bd)+(ad+bc)i注意：注意：两个复数的积是一个确定的复数两个复数的积是一个确定的复数2.应用举例应用举例计算计算 (3+4i)(-2-3i)解：原式解：原式= -6-9i-8i-12i2 = -6-17i+12 = 6-17i分析：类似两个多项式相乘，把分析：类似两个多项式相乘，把i2换成换成-13.探究：探究：复数的乘法是否满足交换律，结合律复数的乘法是否满足交换律，结合律以及乘法对加法的分配律？以及乘法对加法的分配律？对任意复数对任意复数z1=a+bi,z2=c+di,z3=m+ni则则z1z2=(a+bi)(c+di )=ac+adi+bci+bdi2 =ac+adi+bci-bd =(ac-bd)+(ad+bc)i而而z2z1= (c+di )(a+bi)=ac+bci+adi+bdi2 =(ac-bd)+(ad+bc)iz1z2=z2z1(交换律交换律)4.乘法运算律乘法运算律对任意对任意z1 , z2 , z3 C. 有有 z1z2=z2z1 (交换律交换律) (z1z2)z3= z1(z2z3) (结合律结合律)z1(z2+z3)=z1z2+z1z3 ( (分配分配律律) )5.例题讲解例题讲解例例3.计算计算(3+4i)(3-4i)(1+i)2原式原式= 9-12i+12i-16i2 = 9-(-16) = 25解：解： 原式原式= (1+i)(1+i) = 1+2i+i2 = 1+2i-1 = 2i注：注：可用实数系中乘法相应公式进行运算可用实数系中乘法相应公式进行运算分析：可利用复分析：可利用复数的乘法法则计数的乘法法则计算算(是一个虚数是一个虚数)(是一个实数是一个实数)与实数系与实数系中完全平中完全平方展开式方展开式一样一样6.共轭复数共轭复数记记法法：复复数数z=a+bi的的共共轭轭复复数数记记作作= a-bi定义：实部相等，虚部互为相反数的两定义：实部相等，虚部互为相反数的两 个复数叫做互为个复数叫做互为共轭复数。共轭复数。口答：口答：说出下列复数的共轭复数说出下列复数的共轭复数z=2+3iz= 3z= -6i注意：注意：当当a=0a=0时的共轭复数称为共轭虚数时的共轭复数称为共轭虚数 ( (如上如上) ) 实数的共轭复数是它本身实数的共轭复数是它本身( (如上如上) )( =2-3i ) (=6i)(=3)7.思考思考？若若z1 , z2是共轭复数，那么是共轭复数，那么在复平面内，它们所对应的在复平面内，它们所对应的点点有怎样的位置关系？有怎样的位置关系？z1z2是一个怎样的数？是一个怎样的数？解：解：作图作图得出结论得出结论：在复平面内，共轭复在复平面内，共轭复数数z1 ,z2所对应的点关于所对应的点关于实轴实轴对对称。称。令令z1=a+bi,则则z2=a-bi则则z1z2=(a+bi)(a-bi) =a2-abi+abi-bi2 =a2+b2结论：结论：任意两个互为共轭复任意两个互为共轭复数的乘积是一个数的乘积是一个实数实数。yx(a,b)(a,-b)z1=a+bioyx(a,o)z1=aoxyz1=bi(0,b)(0,-b)o8.复数的除法法则复数的除法法则探究：我们规定复数的除法是乘法的逆运算，试探探究：我们规定复数的除法是乘法的逆运算，试探 究复数除法的法则究复数除法的法则.复数除法的法则是：复数除法的法则是： (c+di0) 提示：这里分子分母都乘以分母提示：这里分子分母都乘以分母的的“实数化因式实数化因式”（共轭复数）从而使分母（共轭复数）从而使分母“实数化实数化”。例例4.计算计算 (1+2i) (3-4i)先写成分先写成分式形式式形式然后分母实数化然后分母实数化分子分母同时乘分子分母同时乘以分母的共轭复以分母的共轭复数数结果化简成结果化简成代数形式代数形式9.沙场练兵沙场练兵 (1-2i)(3+4i)(-2+i)计算计算: 原式原式= (3+4i-6i-8i2)(-2+i) = (11-2i)(-2+i) = -22+11i+4i-2i2 = -20+15i解解:三.小结复数乘法的运算法则、运算规律，共轭 复数概念.复数除法运算法则.四.作业 P62.练习习题：习题：解：解：返回返回