排列与排列数的计算排列与排列数的计算武陵源一中武陵源一中 赵群龙赵群龙情景引入情景引入游戏：游戏： 盒子里面放有盒子里面放有10白白10黑共黑共20粒棋子，现任粒棋子，现任意取出意取出10粒棋子，取一次粒棋子，取一次20元人民币。若取元人民币。若取出的棋子全是同一种颜色，奖出的棋子全是同一种颜色，奖100元；元；若取出两种颜色的棋子之比为若取出两种颜色的棋子之比为9:1，奖，奖80元；元；若取出两种颜色的棋子之比为若取出两种颜色的棋子之比为8:2，奖，奖50元；元；若取出两种颜色的棋子之比为若取出两种颜色的棋子之比为7:3，奖，奖20元；元；若取出两种颜色的棋子之比为若取出两种颜色的棋子之比为6:4，奖，奖10元；元；若取出两种颜色的棋子之比为若取出两种颜色的棋子之比为5:5，奖，奖0元。元。同学们今天赚了还是亏了？以后还会赌博吗？同学们今天赚了还是亏了？以后还会赌博吗？复习两个基本原理复习两个基本原理1 分类计数原理（加法原理）分类计数原理（加法原理） 如果完成一件事，有如果完成一件事，有n类方式。第一类方类方式。第一类方式有式有k1种方法，第二类方有种方法，第二类方有k2种方法，种方法，第，第n类方式有类方式有kn种方法，那么完成这种方法，那么完成这件事的方法共有件事的方法共有 N=k1+k2+kn（种）（种）复习两个基本原理复习两个基本原理2 分步计数原理（乘法原理）分步计数原理（乘法原理） 如果完成一件事，需要分成如果完成一件事，需要分成n个步骤。完成个步骤。完成第一个步骤有第一个步骤有k1种方法，完成第二个步骤种方法，完成第二个步骤有有k2种方法，种方法，完成第，完成第n个步骤有个步骤有kn种种方法，并且只有这方法，并且只有这n个步骤都完成后，这个步骤都完成后，这件事才能完成，那么完成这件事的方法共件事才能完成，那么完成这件事的方法共有有 N=k1k2kn(种）种）动脑思考动脑思考问题问题1 从从32班甲、乙、丙三名同学中选出两名，班甲、乙、丙三名同学中选出两名，一名担任班长，一名担任副班长，则共一名担任班长，一名担任副班长，则共有多少种不同的选法？并列出所有的选有多少种不同的选法？并列出所有的选法。法。动脑思考动脑思考 把问题把问题1中被取的对象叫做元素，于是问中被取的对象叫做元素，于是问题题1可叙述为：可叙述为： 从从3个不同的元素中，任取个不同的元素中，任取2个，按照一定个，按照一定的顺序排成一列，一共有多少种不同的排的顺序排成一列，一共有多少种不同的排列方法，并列出所有不同的排法。列方法，并列出所有不同的排法。动脑思考动脑思考问题问题2 由由1、2、3、这、这3个数字排成一个三位数，个数字排成一个三位数，共可得到多少个不同的三位数？共可得到多少个不同的三位数？ 1-2-3 1-3-2 2-1-3 2-3-1 3-1-2 3-2-1探究新知探究新知排列：一般的，从排列：一般的，从n个不同元素中，任取个不同元素中，任取m（m n)个元素个元素,按照一定的顺序排成一列，按照一定的顺序排成一列，叫做从叫做从n个不同元素中取出个不同元素中取出m个元素的一个个元素的一个排列。排列。 mn时叫做选排列时叫做选排列; m=n时叫做全排列。时叫做全排列。问题：你能归纳一下排列的特征吗？问题：你能归纳一下排列的特征吗？探究新知探究新知排列的特征：排列的特征： 1）元素不能重复；）元素不能重复； 2）“按一定顺序按一定顺序”就是与位置有关，这就是与位置有关，这是判断一个问题是否是排列问题的关键。是判断一个问题是否是排列问题的关键。注意：两个排列相同，不仅要求元素完全注意：两个排列相同，不仅要求元素完全相同，而且排列的顺序也要完全相同。相同，而且排列的顺序也要完全相同。巩固新知巩固新知 典型例题典型例题例例1 写出从写出从4个元素个元素a,b,c,d中任取中任取3个元素的个元素的所有排列。所有排列。探究新知探究新知排列数：从排列数：从n个不同元素中，取出个不同元素中，取出m(m n)个元素个元素的所有排列的个数，叫做从的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取个不同元素中取出出m个元素的排列数。个元素的排列数。 用符号用符号 表示。表示。 如例如例1中的排列数为中的排列数为 ，可以看到，可以看到 =24.探究新知探究新知注意：排列数与排列的区别注意：排列数与排列的区别 一个一个“排列排列”是指从是指从n个不同元素中，任取个不同元素中，任取m（m n)个元素个元素,按照一定的顺序排成一列，按照一定的顺序排成一列，不是数。不是数。 “排列数排列数”是指从是指从n个不同元素中，取出个不同元素中，取出m(m n)个元素的所有排列的个数，是一个个元素的所有排列的个数，是一个数。数。探究新知探究新知排列数公式：排列数公式： =n(n-1)(n-2)（n-m+1） 特征：特征：1）公式右边第一个数是）公式右边第一个数是n; 2）以后每一个数都比前一个数小）以后每一个数都比前一个数小1； 3）总共有）总共有m个数相乘；个数相乘； 4）最后一个数是）最后一个数是n-m+1. 探究新知探究新知全排列数：全排列数：n个不同元素全部取出的一个排列，叫个不同元素全部取出的一个排列，叫做全排列。所有全排列的个数叫做全排列数。做全排列。所有全排列的个数叫做全排列数。记为记为 ，且，且 由由1到到n的正整数的连乘积，叫做的正整数的连乘积，叫做n的阶乘，记作的阶乘，记作n! 即即 Pnn=n!=n(n-1)(n-2)321.巩固新知巩固新知 典型例题典型例题例例2 计算：计算： （1）P52； （2）P44； （3）P63.例例3 证明：证明：例例4 已知已知Pn2=30,求求n. 小结小结1.排列的定义排列的定义2.排列数的定义排列数的定义3.排列数公式排列数公式小试牛刀小试牛刀1.若Pnm= 201918176,则n= ,m .2.P55= . 3.P83= . 4.解方程：3P83=2P9x-1.巩固新知巩固新知 典型例题典型例题例1 有五本不同的书，借给三名同学，每人一本，共有多少种不同的借法？ 分析：借书方法的种数，就是从五本书中任取三本书的排列数，即 P53=543=60（种）答：共有60种不同的借书方法。巩固新知巩固新知 典型例题典型例题例2 某段铁路线上有10个火车站，共需要准备多少种不同的车票？巩固新知巩固新知 典型例题典型例题例3 用09这十个数字可以组成多少个没有重复数字的三位数？巩固新知巩固新知 典型例题典型例题例4 七个人站成一排照相，求符合下列条件的不同站法数。（1）甲、乙必须在两端；（2）甲必须在中间；（3）甲、乙不在两端；（4）甲不在排头，乙不在排尾；（5）甲、乙两人相邻；（6）甲、乙不能邻；（7）甲在乙的左边；（8）甲、乙中间有两人。小结小结有限制条件的排列问题的解题原则和方法：基本原则基本原则：优先考虑特殊元和特殊位。基本方法基本方法：1 间接法排除法 2 直接法 1)分步：a 特殊元素先定位 b 特殊位置先定元 c 捆绑法 d 插空法 2)分类